圓錐曲線的焦點(diǎn)弦長公式

王樹新

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）20-0127-02

一個平面從不同角度截一個圓錐面所得的曲線稱為圓錐曲線，截得的結(jié)果可以是圓、橢圓、雙曲線、拋物線、直線、兩相交直線、點(diǎn)。不過，狹義上講，圓錐曲線僅指橢圓、雙曲線、拋物線，狹義圓錐曲線有一個統(tǒng)一的定義如下：

到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e的動點(diǎn)軌跡稱為圓錐曲線，當(dāng)01時軌跡是雙曲線，當(dāng)e=1時軌跡是拋物線。

定點(diǎn)F稱為圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線l稱為圓錐曲線的準(zhǔn)線，定點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離稱為焦準(zhǔn)距（記為p），常數(shù)e稱為離心率。（橢圓和雙曲線都有兩個焦點(diǎn)和對應(yīng)的兩條準(zhǔn)線）

如下圖1所示，P為某圓錐曲線上任意一點(diǎn)，則P1是P到準(zhǔn)線的射影，則=e

過焦點(diǎn)的直線與圓錐曲線交于兩個點(diǎn)A、B，這兩點(diǎn)之間的線段成為圓錐曲線的焦點(diǎn)弦，當(dāng)直線繞焦點(diǎn)轉(zhuǎn)動起來時，焦點(diǎn)弦的傾斜角和長度都在變化。

當(dāng)焦點(diǎn)弦與準(zhǔn)線平行時稱為圓錐曲線的通徑。

一、拋物線的焦點(diǎn)弦長公式

例1. 如下圖2，已知拋物線的方程是y2=2px（p>0），AB是過焦點(diǎn)F的弦。

（1）若A（x1，y1），B（x2，y2），求焦點(diǎn)弦長；

（2）若焦點(diǎn)弦的傾斜角是？茲，求焦點(diǎn)弦長。

解：焦點(diǎn)弦AB被焦點(diǎn)F截成兩段，為了方便，我們分別記m=|AF|、n=|BF|則|AB|=m+n

（1）記A1、B1分別為A、B在準(zhǔn)線l上的射影，根據(jù)拋物線的定義，m=|AA1|，n=|BB1|則焦點(diǎn)弦長為：

三、圓錐曲線的焦點(diǎn)弦長公式

例3.如下圖6，某圓錐曲線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，焦準(zhǔn)距為p，過焦點(diǎn)F的弦AB與對稱軸（過焦點(diǎn)與準(zhǔn)線垂直的直線）夾角為？茲，求焦點(diǎn)弦AB的長。

解：記m=|AF|、n=|BF|，如圖7，作A1、B1分別為A、B在準(zhǔn)l線上的射影，作FC⊥AA1于C，作BD⊥于對稱軸于D，則在Rt△ADC中，

要注意到，以上解題并不嚴(yán)密，還得繼續(xù)考查其他圖像情況 ，當(dāng)點(diǎn)F在焦點(diǎn)弦外（此時的圓錐曲線為雙曲線）類似可得 |AB|=

綜上所述，無論是橢圓、雙曲線還是拋物線，它們有相同的焦點(diǎn)弦長公式，其公式為|AB|=，其中p指焦準(zhǔn)距。

四、焦點(diǎn)弦中通徑最短

例4.當(dāng)焦點(diǎn)弦AB與準(zhǔn)線平行時，稱為通徑，求通徑的長，證明通徑是最短的焦點(diǎn)弦。

解：如上圖7所示

|AB|=2|AF|，且=e，即|AF|=e|AA1|=ep

所以通徑|AB|=2ep

如圖8，我們?nèi)∠褹B的中點(diǎn)為E，作A1、E1、B1分別為A、E、B在準(zhǔn)線上的射影則梯形AA1B1B中，|AA1|+|BB1|=2|EE1|

則|AB|=|AF|+|BF|=e|AA1|+e|BB1|=e（|AA1|+|BB1|）=e（2|EE1|）=2e|EE1|

從圖8中容易看出|EE1|≥p

所以|AB|=2e|EE1|≥2ep

即焦點(diǎn)弦長不小于通徑，當(dāng)且僅當(dāng)E與F重合時，焦點(diǎn)現(xiàn)場等于通徑。簡而言之，焦點(diǎn)弦中通徑最短。