纖維增強復(fù)合薄殼固有特性計算及驗證

周正學(xué) 李 暉 薛鵬程 吳懷帥 陳姝瑤

1.東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院，沈陽，110819 2.東北大學(xué)理學(xué)院，沈陽，110819

0 引言

纖維增強復(fù)合薄殼相對于金屬薄殼，具有質(zhì)量小、耐腐蝕、絕緣性好等特點，被越來越多地應(yīng)用于航空航天、船舶、海洋工程、石油化工、兵器制造以及核工業(yè)等重要領(lǐng)域［1］。纖維增強復(fù)合薄殼通常處于一端約束的懸臂邊界條件下，如航空發(fā)動機的機匣、復(fù)合鼓筒、復(fù)合雷達罩等［2］。復(fù)合薄殼的振動問題突出，容易產(chǎn)生共振、疲勞和損傷等故障［3-6］。對懸臂邊界下的纖維增強復(fù)合薄殼固有特性進行理論及實驗驗證的研究還不夠完善，因此，研究懸臂邊界下纖維增強復(fù)合薄殼的振動特性問題有著重要的工程及學(xué)術(shù)意義［7］。

固有特性是深入研究結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動特性的基礎(chǔ)，對理論分析、動態(tài)設(shè)計、故障診斷都有著重要的指導(dǎo)作用。長期以來，國內(nèi)外學(xué)者在研究纖維增強復(fù)合材料薄殼的固有特性方面做了很多的工作，已經(jīng)取得了階段性的研究成果。AZARAFZA等［8］基于Love殼體理論，采用一階剪切變形理論分析了簡支邊界下復(fù)合薄壁圓柱殼的固有特性問題。LI等［9］采用傳遞矩陣以及有限元法求解了懸臂狀態(tài)下金屬薄壁圓柱殼的固有特性問題，并通過實驗測試對理論方法進行了驗證。RIBEIRO［10］將薄殼理論和一階剪切變形理論計算獲得的固有頻率，與有限元方法獲得的結(jié)果進行了對比，結(jié)果表明一階剪切變形理論的計算結(jié)果更加準確。HASHEMIAN等［11］通過理論解析的方法計算獲得了復(fù)合實心薄圓柱殼和復(fù)合網(wǎng)狀薄圓柱殼的固有頻率，并采用有限元法對理論解析結(jié)果進行了驗證，最后發(fā)現(xiàn)，尺寸及物理參數(shù)相同時，網(wǎng)殼的固有頻率小于實心殼的固有頻率。CHEN等［12］利用Navier-Stokes理論和Flügge薄殼理論，對帶有阻尼層的復(fù)合薄殼的固有頻率影響因素進行了分析，研究表明復(fù)合薄殼固有頻率隨涂層密度的增大而減小，隨涂層彈性模量的增大而增大。宋旭圓［13］采用Rayleigh-Ritz法研究了簡支邊界條件下纖維增強復(fù)合薄殼的固有特性問題，發(fā)現(xiàn)纖維鋪設(shè)角度的變化對復(fù)合殼體振動特性的影響呈明顯的周期性。項爽［14］通過數(shù)值積分方法，分析了簡支-簡支、自由-簡支兩種邊界條件下纖維增強復(fù)合薄殼的固有特性問題，發(fā)現(xiàn)隨著厚徑比的增大，簡支-簡支邊界條件下復(fù)合薄殼的固有頻率逐漸增大，而自由-簡支邊界條件下復(fù)合薄殼的固有頻率卻逐漸減小。李學(xué)斌［15］采用分離變量法和Flügge經(jīng)典殼體理論，計算了正交各向異性圓柱殼在懸臂邊界條件下的固有頻率和模態(tài)振型，但僅獲得了量綱一固有頻率。戴亦?。?6］采用Donnell簡化殼體理論，通過配點法計算了含有液體的復(fù)合薄殼的固有頻率和模態(tài)振型，并將其與實驗求得的頻率進行比較，結(jié)果表明，復(fù)合殼內(nèi)液體會使圓柱殼的固有頻率下降，且含水量越大，其各階固有頻率越低。樓玲娜［17］利用Donnell殼體理論得出殼體振動方程，并研究了纖維增強復(fù)合薄殼在懸臂邊界條件下的固有特性，但沒有將計算結(jié)果與其他相關(guān)論文或?qū)嶒炦M行對比驗證。

雖然人們已對纖維增強復(fù)合薄殼的固有特性進行了深入研究，但上述研究工作絕大部分針對理想的邊界條件，在懸臂狀態(tài)下通過理論與實驗相結(jié)合的方法對其固有特性進行研究的較少，且絕大多數(shù)文獻得出的頻率多為量綱一頻率，并未得到實驗數(shù)據(jù)驗證。為此，有必要繼續(xù)研究懸臂邊界下該類型復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的固有特性。

本文對懸臂狀態(tài)下纖維增強復(fù)合薄殼的固有頻率和模態(tài)振型進行了計算及實驗驗證。在考慮纖維增強復(fù)合材料纖維方向影響的前提下，對纖維增強復(fù)合薄殼進行了理論建模，并采用正交多項式法來表示復(fù)合薄殼的振型函數(shù)，隨后通過Ritz法對該類型復(fù)合薄殼的固有頻率進行了求解。將計算獲得的某階固有頻率對應(yīng)的特征向量回代入振型函數(shù) u(x,θ,t)、v(x,θ,t)和 w(x,θ,t)中，即可獲得復(fù)合薄殼結(jié)構(gòu)的某階模態(tài)振型，重復(fù)以上步驟可獲得復(fù)合薄殼的各階固有頻率。

1 固有特性理論計算

1.1 理論建模

所研究的纖維增強復(fù)合薄殼是由N層具有正交各向異性的纖維和基體材料組合而成的（圖1）。首先，將復(fù)合薄殼的中面作為參考平面，建立XθZ坐標系。纖維方向與整體坐標系 X軸方向的夾角為 β，殼體長為 L，中面半徑為R，殼體厚度為h，每一層位于Z坐標軸較低表面hk-1和較高表面hk之間，每層的厚度均相同。圖1中，1代表纖維縱向，2代表纖維橫向。假設(shè)纖維增強復(fù)合薄殼平行纖維方向的彈性模量為E1，垂直纖維方向的彈性模量為E2，1-2平面內(nèi)的剪切彈性模量為G12，1方向作用應(yīng)力引起1、2方向應(yīng)變的泊松比為 μ1，2方向作用應(yīng)力引起1、2方向應(yīng)變的泊松比為 μ2。

圖1 纖維增強復(fù)合薄殼理論模型Fig.1 The theoretical model of FRCS

根據(jù)板殼振動理論，將位移場寫為

其中，u、v、w分別為殼內(nèi)任意一點在 X、θ、Z三個方向的坐標位置；n為圓柱殼的周向波數(shù)；ω為復(fù)合材料層圓柱殼的固有圓頻率；U(x)為 X方向的振型函數(shù)；V(x)為θ方向的振型函數(shù)；W(x)為Z方向的振型函數(shù)。

對于正交各向異性材料，平面應(yīng)力狀態(tài)主方向有下列關(guān)系：

當(dāng)材料主軸與整體坐標系之間有一定夾角β時，用應(yīng)力-應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式計算得到第k層殼體在整體坐標系下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

式中，βk為第k層薄殼的纖維方向與整體坐標系X軸的夾角。

薄殼振動的動能

其中，ρ為纖維增強復(fù)合薄殼的密度。

彈性體因受力變形而在結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)變和應(yīng)力，所以使結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生了變形勢能。根據(jù)板殼振動理論假設(shè)，薄壁圓柱殼的應(yīng)變能EU為

根據(jù)Love殼體理論，可得

纖維增強復(fù)合薄殼結(jié)構(gòu)的薄膜剛度矩陣為

其中，第k層的較高表面、較低表面到參考平面的距離分別為Hk與 Hk-1。

將位移公式（式（1））和應(yīng)力公式（式（3））代入式（4）、式（5），可以得到復(fù)合薄殼的動能和應(yīng)變能：

1.2 Ritz法求解

由于解析法很難得到懸臂薄殼的精確解，故本文采用Ritz近似解法。根據(jù)Ritz法，中面位移為

其中，aM、bM、cM為系數(shù)；ψu(ξ)、ψv(ξ)、ψw(ξ)是滿足幾何邊界條件與力學(xué)邊界條件正交的Schmidt函數(shù)，ξ=x/L；T為通過Ritz法截取的項數(shù)。

本文通過對滿足懸臂邊界條件的多項式函數(shù)進行正交化處理，來獲得一系列的正交多項式：

將式（10）代入式（8）、式（9），得到用待定參數(shù)aM、bM、cM表示的應(yīng)變能和動能表達式，即可得到最大應(yīng)變能 EUmax和最大動能 Ekmax的表達式。那么，能量方程為

采用Ritz法對式（11）進行求解，可以得到

由式（12）可得到由3個方程組成的方程組，將此方程組采用矩陣的表達，可以得到特征方程：

式中，K、M分別為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；q為特征向量，q=(aM,bM,cM)Τ。

此時，K、M中的元素是所有待定參數(shù)的系數(shù)。為保證式（13）有解，需要系數(shù)矩陣的行列式為0，即

最后，對式（14）進行求解可得到特征方程的特征值，此特征值即為復(fù)合薄殼的某階次固有頻率。通過改變圓柱殼的周向波數(shù)n，并重復(fù)式（10）～式（14）的步驟可依次獲得各階模態(tài)的固有頻率。式（10）中，T的取值越大，固有頻率計算結(jié)果就越精確，通常取T=8即可達到足夠的精度。最后，將計算獲得的某階固有頻率對應(yīng)的特征向量代入振型函數(shù) u(x,θ,t)、v(x,θ,t)和w(x,θ,t)，即可獲得復(fù)合薄殼結(jié)構(gòu)的某階模態(tài)振型。反復(fù)將獲得的不同階次的固有頻率代入式（13），可得到不同階次固有頻率對應(yīng)的特征向量，將特征向量代入振型函數(shù)，就可依次獲得所關(guān)注的全部振型。

2 固有特性求解流程

2.1 輸入復(fù)合薄殼的幾何參數(shù)和材料參數(shù)

給出纖維增強復(fù)合薄殼的長度、半徑、厚度及每層纖維角度等幾何參數(shù)。然后，輸入纖維縱向和纖維橫向的彈性模量、剪切模量、泊松比和密度等材料參數(shù)，為后續(xù)動能和應(yīng)變能的計算做好準備。

2.2 計算獲得最大動能

將位移（式（1））代入動能表達式（式（4）），得到用中面位移表示的動能的一般表達式，然后基于正交多項式法表示振型函數(shù)，并令表達式中的諧波分量 sin ωt=1，即可得到最大動能的表達式。

2.3 計算獲得最大應(yīng)變能

在考慮纖維方向與整體坐標系X軸方向夾角θ的基礎(chǔ)上，首先利用應(yīng)力-應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式計算獲得每一層鋪層的應(yīng)力（式（3）），隨后將應(yīng)力、應(yīng)變代入式（5）即可獲得每一層對應(yīng)的用中面位移表示的應(yīng)變能。然后，將每一層的應(yīng)變能進行疊加，即可得到總應(yīng)變能表達式。最后采用正交多項式來表示振型函數(shù)，并將其代入總應(yīng)變能表達式中，可求得最大應(yīng)變能。

2.4 采用Ritz求解固有頻率和模態(tài)振型

將上述步驟中計算獲得的最大動能和最大應(yīng)變能代入式（11），可以獲得能量方程的表達式。根據(jù)Ritz法，將能量函數(shù)Π對所有待定參數(shù)求偏導(dǎo)，可以得到薄殼振動的特征方程（式（13）），對此特征方程求解特征值，可獲得纖維增強復(fù)合薄殼的一階固有頻率，通過改變圓柱殼的周向波數(shù)n，并重復(fù)式（10）～式（14）的步驟可依次獲得各階模態(tài)的固有頻率。最后將求得的固有頻率對應(yīng)的特征向量代入振型函數(shù)中，即可獲得復(fù)合薄殼的全部振型。

3 實驗驗證

本文以T300碳纖維/環(huán)氧樹脂基復(fù)合薄殼為研究對象，對其固有特性進行了測試，薄殼長度為150 mm，內(nèi)半徑為132.5 mm，厚度為3 mm，安裝邊半徑為165 mm，安裝邊厚度為7 mm，密度ρ=1 570 kg/m3，纖維縱向彈性模量E1=134 GPa，纖維橫向彈性模量E2=8.5 GPa，剪切模量G12=3.36 GPa，泊松比 μ1=0.30。該類型復(fù)合薄殼為對稱正交鋪設(shè)，即[±4512]，共有24層，且每一鋪層具有相同的厚度和纖維體積分數(shù)。

本文研究的纖維增強復(fù)合薄壁圓柱殼的一端帶有安裝邊，在圓環(huán)壓板上擰緊12個M10螺栓來將復(fù)合圓柱殼固定到一個剛性和質(zhì)量都很大的夾具平臺上，夾具平臺通過多組螺栓實現(xiàn)與振動臺臺面的剛性連接。固定12個M10螺栓時，采用對稱安裝的方式，即先安裝兩個相對的螺栓，并不完全擰緊，當(dāng)12個螺栓全部采用對稱安裝的方式固定之后，再用定力矩扳手以70 N·m的力矩將其擰緊，以此來保證較好的懸臂約束效果。

為了驗證本文所提出的懸臂邊界下纖維增強復(fù)合薄殼固有頻率計算方法的正確性，搭建了圖2所示的實驗系統(tǒng)來測試其固有頻率和振型。采用多點激勵單點響應(yīng)測試的方法，對復(fù)合薄殼進行模態(tài)測試。

首先，建立其線框模型，并在模型上以每隔5°的間隔來設(shè)定錘擊點。然后，分別在復(fù)合圓柱殼的上、中、下3個圓周位置進行錘擊法模態(tài)實驗，測點總數(shù)為216。實際測試時，通過PCB 208C03模態(tài)力錘對復(fù)合薄殼進行脈沖激勵，使用Polytec PDV-100激光多普勒測振儀來獲取其振動響應(yīng)，同時利用LMS16通道數(shù)據(jù)采集儀來獲得激勵和響應(yīng)信號。表1給出了測試獲得的前8階固有頻率和振型。同時，為了便于比較，將通過MATLAB程序獲得的復(fù)合薄殼固有頻率的計算結(jié)果也列入表1，并對其誤差進行了詳細分析，表中的m、n分別為軸向半波數(shù)和周向波數(shù)。

圖2 纖維增強復(fù)合薄殼固有特性測試系統(tǒng)Fig.2 Natural characteristic test system of FRCS

通過與實驗結(jié)果進行對比可知，基于正交多項式法的纖維增強復(fù)合薄殼固有頻率計算結(jié)果與實驗結(jié)果之間的誤差范圍是2.2%～9.3%，處于誤差允許的范圍內(nèi)，且計算振型也與測試振型結(jié)果吻合度很高，進而驗證了所提出的固有特性計算方法的正確性，利用本文所提出計算方法可以較好地實現(xiàn)懸臂邊界下該類型復(fù)合薄殼固有特性的分析與預(yù)測。固有頻率的誤差可能來自于理論建模和實驗測試兩個方面。理論誤差包括在建模過

表1 計算和測試獲得的纖維增強復(fù)合薄殼前8階固有頻率和模態(tài)振型Tab.1 The first 8 natural frequencies and modal shapes of FRCS obtained by calculation and test

程中沒有考慮橫向剪切應(yīng)力、纖維排列不規(guī)則、界面缺陷、殘余應(yīng)力以及復(fù)合材料參數(shù)分散性的影響；實驗過程中的諸多因素也會導(dǎo)致誤差的產(chǎn)生，如測試時的邊界條件（夾具夾緊程度）不準確、儀器靈敏度漂移、錘擊點偏離、實驗方法不當(dāng)?shù)仍斐傻挠绊憽?/p>

4 結(jié)論

（1）推導(dǎo)了具有k層纖維增強薄殼的應(yīng)變能和動能，并計算了懸臂狀態(tài)下纖維增強薄殼的固有頻率和振型。

（2）給出了計算纖維增強復(fù)合薄殼固有特性的4個關(guān)鍵步驟：輸入復(fù)合薄殼的幾何參數(shù)和材料參數(shù)；獲得復(fù)合薄殼的最大動能；獲得復(fù)合薄殼的最大應(yīng)變能；求解固有頻率和振型。

（3）以TC300碳纖維/樹脂復(fù)合薄殼為研究對象，計算獲得了其固有頻率和振型，并將其與測試結(jié)果進行了對比，固有頻率誤差范圍是2.2%～9.3%，且計算振型也與測試振型結(jié)果吻合得很好，驗證了理論計算方法的正確性。

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