需求和成本雙擾動下三級供應(yīng)鏈價格折扣契約

賈 磊

（福建江夏學(xué)院工程學(xué)院，福建福州，350108）

一、文獻(xiàn)綜述

經(jīng)濟(jì)全球化和信息技術(shù)的快速發(fā)展加劇了供應(yīng)鏈運營環(huán)境的不確定性。機器設(shè)備故障、工人罷工、地震、海嘯等突發(fā)事件，會導(dǎo)致原材料價格的變化、生產(chǎn)成本的變動、市場需求及生產(chǎn)提前期的變化等問題，給供應(yīng)鏈帶來不同程度的干擾。在供應(yīng)鏈管理實踐中，如何以最優(yōu)的方案應(yīng)對突發(fā)事件帶來的影響成為亟待解決的問題。

契約是協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈的重要方法之一。早期關(guān)于突發(fā)事件下供應(yīng)鏈契約協(xié)調(diào)的研究大多針對二級供應(yīng)鏈的單因素擾動展開。Cachon G.P.針對常見的契約合同下的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。[1]QI X、BARD J F和YU G研究利用數(shù)量折扣契約來應(yīng)對突發(fā)事件。[2]Xu等針對價格需求關(guān)系為非線性的情形進(jìn)行探討。[3]于輝、陳劍和于剛分別針對回購契約和批發(fā)價契約，提出在突發(fā)事件引起需求分布變化情形下二級供應(yīng)鏈的應(yīng)對策略。[4,5]一些學(xué)者對三級供應(yīng)鏈在單因素擾動下的契約協(xié)調(diào)進(jìn)行了研究:胡可松、王虹針對突發(fā)事件引起市場需求變化的單因素擾動，提出具有改進(jìn)抗突發(fā)事件性的價格折扣契約；[6]龐慶華基于收益共享契約展開研究。[7]然而，供應(yīng)鏈所處環(huán)境的復(fù)雜性決定了只針對某個單因素擾動進(jìn)行研究具有局限性，因此學(xué)術(shù)界開始關(guān)注市場需求和生產(chǎn)成本等因素同時擾動情形下的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題。在二級供應(yīng)鏈方面，曹二保和賴明勇利用收益共享契約對突發(fā)事件展開系列研究；[8-10]吳忠和、陳宏和趙千則結(jié)合期權(quán)契約探討二級供應(yīng)鏈對突發(fā)事件的應(yīng)對。[11]

現(xiàn)有文獻(xiàn)主要集中于對二級供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的研究，對多級供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的研究還比較少。大多文獻(xiàn)均假設(shè)供應(yīng)鏈中只有供應(yīng)商生產(chǎn)成本或市場需求等單個要素發(fā)生擾動，鮮有考慮供應(yīng)鏈中多個要素同時發(fā)生擾動的研究。本文的創(chuàng)新之處為在突發(fā)事件引起市場需求分布和生產(chǎn)成本同時擾動的情形下，研究三級供應(yīng)鏈價格折扣契約協(xié)調(diào)。通過調(diào)整價格折扣契約參數(shù)，使供應(yīng)鏈具有抗突發(fā)性。

二、基準(zhǔn)的價格折扣契約模型

Bernstein于2005年提出價格折扣契約。[12]根據(jù)價格折扣契約，制造商的批發(fā)價格和回購價格分別與產(chǎn)品零售價格的變化量（銷售季節(jié)中產(chǎn)品實際的零售價格與契約中規(guī)定的初始零售價格之差）保持預(yù)先約定的線性或非線性關(guān)系。該契約在最大程度上促使零售商與供應(yīng)鏈的最優(yōu)決策趨向一致，從而達(dá)成供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)。

（一）研究假設(shè)

本研究中的三級供應(yīng)鏈由單供應(yīng)商（s）、單制造商（m）和單零售商（r）組成，供應(yīng)商和制造商之間、制造商和零售商之間均存在價格折扣契約。在銷售季節(jié)開始前，供應(yīng)鏈中的節(jié)點企業(yè)分別根據(jù)價格折扣契約決定訂貨量、零售價格、批發(fā)價格和回購價格等。假設(shè)供應(yīng)商、制造商和零售商間信息對稱，且無明顯風(fēng)險偏好。

設(shè)零售價格為p，零售商向制造商訂貨的數(shù)量為q，制造商對零售商的批發(fā)價格為ωmr，供應(yīng)商對制造商的批發(fā)價格為ωsm，零售商的單位持有成本為c1，制造商的單位持有成本為c2，供應(yīng)商的單位持有成本為c3，單位產(chǎn)品殘值為v，制造商的單位回購價格為bmr，供應(yīng)商的單位回購價格為bsm，零售商由于單位產(chǎn)品缺貨的信譽損失為，制造商由于單位產(chǎn)品缺貨的信譽損失為，供應(yīng)商由于單位產(chǎn)品缺貨的信譽損失為。零售商面臨的市場需求為D，分布函數(shù)為，密度函數(shù)為可微且嚴(yán)格增加，，期望需求

令根據(jù)供應(yīng)鏈管理和數(shù)理統(tǒng)計的相關(guān)知識，可得:期望銷量期末期望庫存，期末期望缺貨量

（二）模型構(gòu)建

參照易雪輝等提出的價格折扣契約[13]作為基準(zhǔn)模型，相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下:

其中，是制造商的基準(zhǔn)批發(fā)價格；是供應(yīng)商的基準(zhǔn)批發(fā)價格；0p為參考零售價格；為常量，且相應(yīng)的回購價格為:

由公式（1）至公式（6）可以得到:

則供應(yīng)鏈系統(tǒng)期望收益為:

由于是嚴(yán)格遞增函數(shù)，是嚴(yán)格凹函數(shù)，因此供應(yīng)鏈最優(yōu)訂貨量*q唯一，同時滿足

零售商期望收益為:

制造商期望收益為:

供應(yīng)商期望收益為:

可以看出，在價格折扣契約下，零售商、制造商和供應(yīng)商的期望收益均為供應(yīng)鏈系統(tǒng)收益函數(shù)的仿射函數(shù)。因此，零售商、制造商和供應(yīng)商的最優(yōu)訂貨量均等于供應(yīng)鏈系統(tǒng)的最優(yōu)訂貨量*q。和的具體取值由節(jié)點企業(yè)的討價還價能力決定，通過調(diào)整參數(shù)kmr和ksm的取值大小可以分配零售商、制造商和供應(yīng)商的收益份額，因此整條供應(yīng)鏈達(dá)到協(xié)調(diào)。

一般情況下，回購價格小于批發(fā)價格，則要求:

命題1 在“供應(yīng)商-制造商-零售商”的分散化三級供應(yīng)鏈中，對任何參考價格0p和滿足公式（15）和（16）的任意kmr和ksm值，由公式（7）、（8）、（9）、（10）確定的價格折扣契約能夠協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈。

三、市場需求和成本同時擾動對供應(yīng)鏈系統(tǒng)的影響

在相對穩(wěn)定的市場環(huán)境下，根據(jù)價格折扣契約，零售商在銷售開始之前制定最優(yōu)訂貨量*

q，制造商和供應(yīng)商據(jù)此分別安排生產(chǎn)。若突發(fā)事件引起原材料成本變化，零售商、制造商和供應(yīng)商的相關(guān)成本分別發(fā)生?c1、?c2和?c3的變化。與此同時，市場的需求分布由G變?yōu)镕。此時供應(yīng)鏈的收益函數(shù)為:

其中，表示需求分布函數(shù)F下的期望銷量。分別表示由突發(fā)事件引起的節(jié)點企業(yè)因打破原采購計劃和生產(chǎn)計劃等所帶來的額外成本，其中分別表示時，制造商和供應(yīng)商由于臨時加班、外包等所增加的單位成本；2λ表示時，處理庫存帶來的單位成本。

設(shè)突發(fā)事件下的供應(yīng)鏈系統(tǒng)的最優(yōu)訂貨量為，即

引理1 （1）當(dāng)

（2）當(dāng)

證明:用反證法來證明引理1（1）。

假設(shè)當(dāng)時，則公式（17）所示的供應(yīng)鏈?zhǔn)找婧瘮?shù)變?yōu)?

又由假設(shè)有:

由于F(q)嚴(yán)格遞增，有此結(jié)論與原假設(shè)相矛盾，原假設(shè)不成立。因此當(dāng)

同理，可證引理1（2），證明過程略。

引 理2 設(shè)q1為時滿足的一階最優(yōu) 解，q2為時滿足的一階最優(yōu)解。同時 ，q1和q2分 別 滿 足 :，當(dāng)突發(fā)事件引起市場需求和相關(guān)成本同時發(fā)生變化時，供應(yīng)鏈系統(tǒng)的最優(yōu)訂貨量應(yīng)滿足:

證明:當(dāng)時，根據(jù)引理1（1），有供應(yīng)鏈?zhǔn)找鏋?

設(shè)此時則:

由于故為嚴(yán)格凹函數(shù)。根據(jù)一階條件，可以得到q1滿足:

此處分兩種情況討論:

1.當(dāng)時，有:

（1）若則由于F(q)是嚴(yán)格增函數(shù)，因此得:

（2）若則由于 ()F q是嚴(yán)格增函數(shù)，因此得:

2.同理可知，當(dāng)時，有:

（1）若則

（2）若則

證明:根據(jù)引理1，可知此時供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨量會大于或小于原計劃訂購量q*。若仍采用原價格折扣契約，則零售商的收益函數(shù)為:

制造商的收益函數(shù)為:

供應(yīng)商的收益函數(shù)為:

此時，三級供應(yīng)鏈中節(jié)點企業(yè)的收益函數(shù)均不是供應(yīng)鏈系統(tǒng)收益函數(shù)的仿射函數(shù)，供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)被打破。

四、需求和生產(chǎn)成本同時擾動下協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈的應(yīng)對策略

根據(jù)命題2，當(dāng)需求分布和成本同時擾動，滿足或時，若仍采用原價格折扣契約，則三級供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)將被打破。此時需要對價格折扣契約進(jìn)行調(diào)整。令:

其中:

當(dāng)時，有:

當(dāng)時，有:

命題3 滿足公式（22）至公式（27）的價格折扣契約能夠協(xié)調(diào)三級供應(yīng)鏈。

證明:針對滿足公式（22）至公式（27）的價格折扣契約，零售商收益為:

可以看出，零售商收益為供應(yīng)鏈?zhǔn)找娴姆律浜瘮?shù)。

同理，當(dāng)*q≥q時，制造商收益為:

當(dāng)q＜q*時，制造商收益為:

分析q≥q*和q＜q*兩種情況，可以發(fā)現(xiàn)制造商收益為供應(yīng)鏈?zhǔn)找娴姆律浜瘮?shù)，供應(yīng)鏈實現(xiàn)了協(xié)調(diào)。

五、算例分析

假設(shè)市場需求x=y(p)ε。其中:y(p)為與零售價格負(fù)相關(guān)的確定性函數(shù)，ε為獨立于p的隨機變量，h(ε) 為變量ε的概率密度函數(shù)，H(ε)是其分布函數(shù)。隨機需求x的概率密度和分布函數(shù)分別為和，根據(jù)公式（11），有則最優(yōu)訂貨量為:其中

設(shè)零售商、制造商和供應(yīng)商的成本分別為c1=1、c2=2和c3=3，產(chǎn)品殘值為v=0.5，單位懲罰成本分別為g1=0.5、g2=0.5和g3=1。設(shè)y(p) = 4 000p-2，在ε區(qū)間[2 ,4]上均勻分布，則分布函數(shù)計算可得:*8.93p= ，設(shè)，則根據(jù)公式（7）至公式（10），得:設(shè)出現(xiàn)擾動后，市場需求函數(shù)變?yōu)?/p>

若仍采用原價格折扣契約，計算可得若采用調(diào)整后的價格折扣契約，即: =0.18355X計算可得:

表1顯示了突發(fā)事件前后采用價格折扣契約對供應(yīng)鏈參數(shù)及利潤的影響情況:

表1 突發(fā)事件前后采用價格折扣契約對供應(yīng)鏈參數(shù)及利潤的影響

可以看出，采用重新設(shè)計的價格折扣契約后，零售價降低，訂貨量顯著提高，整體供應(yīng)鏈的總利潤也有所提高。同時，由于供應(yīng)商、制造商和零售商的利潤份額已由三者的討價還價能力決定，供應(yīng)鏈上各實體的分配利潤都得到了提高。

六、總結(jié)

穩(wěn)定環(huán)境下，價格折扣契約能夠有效協(xié)調(diào)三級供應(yīng)鏈（命題1）。當(dāng)突發(fā)事件引起市場需求和生產(chǎn)成本同時擾動時，若擾動在一定范圍內(nèi)，系統(tǒng)最優(yōu)訂貨量保持不變（引理2），供應(yīng)鏈系統(tǒng)具有一定的魯棒性；若擾動超過某范圍，原價格折扣契約下的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)將被打破（命題2）。通過重新設(shè)計契約參數(shù)，能夠使突發(fā)事件引起需求和成本同時擾動下的三級供應(yīng)鏈重新協(xié)調(diào)（命題3）。針對市場需求為指數(shù)需求函數(shù)的情形，通過算例分析驗證了調(diào)整后價格折扣契約的有效性。

本研究建立在供應(yīng)鏈節(jié)點企業(yè)均完全理性、風(fēng)險中性、信息對稱等假設(shè)前提之下。實際上，通常很難做到信息完全對稱，各節(jié)點企業(yè)對待風(fēng)險的態(tài)度也有一定差異，有各自的決策偏好，這些都值得進(jìn)一步研究。

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