改進的粗糙直覺模糊集

王金英，王艷平，齊 爽

WANG Jinying,WANG Yanping,QI Shuang

遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001

Science College,Liaoning University of Technology,Jinzhou,Liaoning 121001,China

1 引言

波蘭科學(xué)家Pawlak于1982年首次提出了粗糙集理論[1]，幾十年來，粗糙集模型不斷被擴展。例如，1990年Dubois等[2]將粗糙集與模糊集相融合，提出了粗糙模糊集和模糊粗糙集的概念。2000年Boixader等[3]給出了模糊集的上下近似。2002—2003年Rizvi[4]和Cornelis等[5]基于粗糙模糊集的概念，分別定義了粗糙直覺模糊集和直覺模糊粗糙集。2008—2009年Zhou等[6-7]利用構(gòu)造性方法和公理化方法，給出了直覺模糊粗糙集的上下近似算子。2010年Zhang[8]建立了區(qū)間值粗糙直覺模糊集模型，并討論了模型的一些性質(zhì)；鞏增泰等[9]建立了覆蓋粗糙直覺模糊集模型，并研究了其不確定性度量。2011年Thomas等[10]研究了格上的粗糙直覺模糊集。2012年Zhang[11]利用直覺模糊關(guān)系和閾值對，定義了一個新的粗糙集模型。2013年薛占熬等[12]在模糊近似空間中，結(jié)合直覺模糊等價關(guān)系，構(gòu)造了新的粗糙近似算子。2014年Huang等[13]結(jié)合多粒度粗糙集和直覺模糊粗糙集，建立了直覺模糊多粒度粗糙集模型；王艷平[14]將變精度粗糙集與直覺模糊集相融合，建立了變精度粗糙直覺模糊集模型。2015年Liu等[15]采用直覺模糊集和粗糙集的思想和方法，構(gòu)建了一種新的直覺模糊粗糙集模型。2016年薛占熬等[16]構(gòu)建了新的覆蓋粗糙直覺模糊集和新的覆蓋粗糙區(qū)間值直覺模糊集兩種模型。上述文獻的工作都是著眼于將Pawlak粗糙集模型中的經(jīng)典集合推廣到其他各種模糊集合，或者將Pawlak粗糙集模型中的經(jīng)典等價關(guān)系推廣到模糊關(guān)系、直覺模糊關(guān)系、覆蓋等。

粗糙集理論的本質(zhì)思想是在一定的知識粒空間中，用一對可定義的上、下近似集來近似描述邊界模糊的目標(biāo)集合。隨著知識粒度的減小，即人們對事物認(rèn)知的加深，下近似集會逐步增大，而上近似集會逐步減小，從而使粗糙集的精度隨之增大，由此可以更準(zhǔn)確地描述目標(biāo)集合。然而，在短時間內(nèi)，人們對事物的認(rèn)知不容易有較大的改進，那么在知識粒度不變的情況下，能否得到目標(biāo)集合更好的近似集，即提高近似集的精度，并且增加近似集和目標(biāo)集合之間的相似度，是一個值得深入探討的問題。對此，2012年張清華等人[17]針對Pawlak粗糙集，利用當(dāng)前知識空間中的知識粒，構(gòu)建了目標(biāo)集合的近似集，并分析其近似集的優(yōu)越性；2015年張清華等人[18]在文獻[17]的基礎(chǔ)上，針對Pawlak粗糙模糊集，分別給出了目標(biāo)集合的模糊近似集和近似精確集。盡管文獻[17-18]都是在當(dāng)前知識粒度不變的情況下，構(gòu)建了目標(biāo)集更好的近似集，但它們都是用單一的集合來近似目標(biāo)集，并沒有對原有的粗糙集和粗糙模糊集進行優(yōu)化。為此，本文針對Pawlak近似空間中直覺模糊集的近似問題，借鑒文獻[17-18]的思想，從另外的一個角度，利用直覺模糊粗糙隸屬函數(shù)，構(gòu)造了比現(xiàn)有粗糙直覺模糊集模型近似程度更好的一對上、下近似算子，從而為粗糙直覺模糊集模型在不確定性推理中的應(yīng)用提供更好的理論基礎(chǔ)。

2 相關(guān)基本知識

為討論方便，首先給出相關(guān)的基本概念和性質(zhì)。

定義1[19]設(shè)U是一非空集合，稱

為U上的直覺模糊集，其中，?x∈U，μA(x)∈[0,1]和vA(x)∈[0,1]分別為U中元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度，且滿足條件0≤μA(x)+νA(x)≤1，?x∈U 。

在下文中，記IF(U)為論域U上直覺模糊集的全體。在不引起混淆的情況下，{＜x,1,0＞|x∈U}簡記為U ，{＜x,0,1＞|x∈U}簡記為?。

定義2[19]設(shè)U是一個非空經(jīng)典集合，A,B∈IF(U)，規(guī)定序及運算如下：

（1）A?B當(dāng)且僅當(dāng) μA(x)≤μB(x)且νA(x)≥νB(x)，?x∈U；

（2）A=B 當(dāng)且僅當(dāng) μA(x)=μB(x)且 νA(x)=νB(x)，?x∈U；

（3）～A={＜x,νA(x),μA(x)＞|x∈U}。

定義3[4]設(shè)(U,R)為Pawlak近似空間，對?A∈IF(U)，A關(guān)于(U,R)的下近似(A)和上近似(A)定義為U上的一對直覺模糊集，對?x∈U，有

其中，[x]R={y∈U|(x,y)∈R}表示 x所在的R等價類，序?qū)?A),(A))稱為粗糙直覺模糊集。若(A)=(A)，則稱A是可定義的。

定義4[20]設(shè)A∈IF(U)，定義A的基數(shù)為：

定義5[21]設(shè)(U,R)是Pawlak近似空間，對?A∈IF(U)，則A的粗糙隸屬函數(shù)R(A):IF(U)→IF(U)定義為：

定理1[21]設(shè)(U,R)是Pawlak近似空間，直覺模糊集的粗糙隸屬函數(shù)具有如下性質(zhì)：

（1）?A,B∈IF(U)，若 A?B，則 R(A)?R(B)；

（2）若 A∈IF(U)，則 R(～A)=～R(A)。

由于直覺模糊集A的粗糙隸屬函數(shù)R(A)為一直覺模糊集，表示對象x隸屬于直覺模糊集A的不確定程度，同一等價類中的對象其粗糙隸屬度、非隸屬度相等，因此有如下結(jié)論：

定理2設(shè)(U,R)為Pawlak近似空間，對 ?A∈IF(U)，有

證明（1）因為

所以

（2）因為

于是有

所以

即

定理2表明直覺模糊集A的粗糙隸屬函數(shù)R(A)為一可定義的直覺模糊集，且介于直覺模糊集A的上、下近似之間。

3 改進的粗糙直覺模糊集及其性質(zhì)

在Pawlak近似空間中，直覺模糊集A的下近似算子與上近似算子均為直覺模糊集。對象x關(guān)于下近似(A)的隸屬度為[x]R中所有元素隸屬度的最小值，非隸屬度為[x]R中所有元素非隸屬度的最大值；對象x關(guān)于上近似(A)的隸屬度為[x]R中所有元素隸屬度的最大值，非隸屬度為[x]R中所有元素非隸屬度的最小值；對象x關(guān)于粗糙隸屬函數(shù)R(A)的隸屬度為[x]R中所有元素隸屬度的平均值，非隸屬度為[x]R中所有元素非隸屬度的平均值。于是，用等價類中的最大值或最小值來近似目標(biāo)集合有時顯然不夠精確，那么，能否利用[x]R中所有元素隸屬度的平均值以及非隸屬度的平均值來構(gòu)造目標(biāo)集合的近似集呢？從直觀上看，這種近似應(yīng)該更趨合理，為此本文建立如下的模型。

定義6設(shè)(U,R)為Pawlak近似空間，對?A∈IF(U)，A關(guān)于(U,R)的改進的下近似(A)和上近似(A)定義為U上的一對直覺模糊集合，對?x∈U，有

:IF(U)→IF(U)和:IF(U)→IF(U)分別稱為改進的直覺模糊下近似算子和上近似算子。序?qū)?(A),(A))稱為改進的粗糙直覺模糊集。若(A)=(A)，則稱A是可定義的。

定理3設(shè)(U,R)為Pawlak近似空間，對?A,B∈IF(U)，改進的下近似(A)和上近似ˉ(A)算子具有如下性質(zhì)：

證明（1）由定理2和定義6，顯然成立；

（2）因為

所以

同理可證：。

（3）若 A?B，則有

于是

進一步可得：

又因為定義6等價于：

下面，分情況討論：

所以

所以

所以

綜上①②③，有。

同理可證：。

（4）由于，于是根據(jù)（3）有

所以

同理可證：。

需要指出的是不一定成立。

定義7設(shè)(U,R)為Pawlak近似空間，對?A∈IF(U)，定義A關(guān)于(U,R)的近似精度為：

當(dāng)(A)=? 時，約定αR(A)=1。顯然，0≤αR(A)≤1。若A是可定義的，則αR(A)=1。

如果用表示改進的粗糙直覺模糊集近似集合A的近似精度，那么有下面的結(jié)論。

定理4設(shè)(U,R)為Pawlak近似空間，對 ?A∈IF(U)，有

證明根據(jù)定理3，可知

又由定義2和定義4，易知

所以

可見，用改進的粗糙直覺模糊近似算子來近似直覺模糊集A時，其近似精度會增大。

接下來，討論改進的粗糙直覺模糊近似算子與直覺模糊集A的相似度情況?，F(xiàn)有的直覺模糊集各種形式的相似度公式[22]已有很多類型，這里不再贅述。為了下文中定理證明以及例題計算的簡便，本文采用下面的相似度計算公式。

設(shè)U={x1,x2,…,xn}，對?A,B∈IF(U)，A與 B之間的相似度公式為：

引理1[18]設(shè)x1,x2,…,xn是n個實數(shù)，令則當(dāng)時，y取得最小值。

定理5設(shè)(U,R)為Pawlak近似空間，對 ?A∈IF(U)，有

證明由相似度計算公式，得

根據(jù)定義5和引理1，容易得到：

于是

所以

同理可證，S(A,(A))≥S(A,(A))。

定理5表明，相比文獻[4]中的粗糙直覺模糊近似算子，本文構(gòu)造的改進的粗糙直覺模糊近似算子與直覺模糊集A有更好的相似度，因而能夠更準(zhǔn)確地近似描述直覺模糊集A。

下面通過一個具體的算例來說明改進的粗糙直覺模糊近似算子的求法，并驗證上述性質(zhì)的正確性。

例1設(shè)論域U={x1,x2,…,x7}，R為U上的等價關(guān)系，U/R={X1,X2,X3}，其中X1={x1,x2,x3}，X2={x4,x5}，X3={x6,x7}。設(shè)A為U上的直覺模糊集，為簡單起見，用向量形式來表示：

計算可得：

（1）比較模型改進前后直覺模糊集A的近似精度改進前：

其中，

改進后：

可見改進后模型的近似精度比改進前有了很大的提高。

（2）比較模型改進前后近似算子與直覺模糊集A的相似度

改進前：

改進后：

可見改進后模型的近似算子與直覺模糊目標(biāo)集合的貼近度更大。

4 結(jié)束語

本文基于直覺模糊集的粗糙隸屬函數(shù)構(gòu)建了一個改進的粗糙直覺模糊集模型，該模型中新的上、下近似算子既依賴于同一等價類中元素對目標(biāo)集合的隸屬度、非隸屬度的最大值和最小值，也與等價類中元素對目標(biāo)集合的隸屬度、非隸屬度的平均值有關(guān)，因此，它能更好地接近目標(biāo)集合。下一步，一方面可以考慮將本文的方法推廣到其他各種擴展的粗糙模糊集模型，如粗糙區(qū)間值模糊集、粗糙區(qū)間直覺模糊集等；另一方面，可以利用本文改進的粗糙直覺模糊集模型，實現(xiàn)直覺模糊信息系統(tǒng)的屬性約簡，對其應(yīng)用進行拓展研究。

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