Taylor 中值定理余項的統(tǒng)一及證明

杜爭光

（隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系，甘肅，成縣 742500）

1 引言及主要引理

文獻[1]對 Taylor公式“中點函數(shù)”的可微性進行了研究，在附加了單調(diào)的條件下，證明了“中點函數(shù)”的可微性，并得到了該函數(shù)在a的導(dǎo)數(shù)公式，推廣了漸進性的相關(guān)結(jié)論；文獻[2]進一步推廣了這一結(jié)果，討論了廣義Taylor中值定理“中點函數(shù)”的性質(zhì)，得到了更加一般的一個結(jié)；文獻[3]將微分中值定理和積分中值定理統(tǒng)一在一個表達式中，并對已有成果進行了推廣；文獻[4]討論了推廣之后的微積分中值定理“中間點”的漸進性，得到了一個一般性的結(jié)論。

本文將繼續(xù)對Taylor中值定理進行推廣，得到了一個更具一般性的余項形式，對Taylor中值定理的 Peano余項、Lagrange余項、Cauchy余項、Schlomilch-Roche余項、積分型余項和廣義積分型余項等六個余項進行了統(tǒng)一表述。討論了該余項“中間點”的漸進性，推廣了已有的一些結(jié)論，可作為文獻[1-4]的補充和完善。文中需要幾個重要引理，現(xiàn)引述如下：

引理1[5]若函數(shù)f(x)在a的某鄰域內(nèi)存在n＋1階導(dǎo)數(shù)，且存在實數(shù)α≥0，對?x∈有

引理2若函數(shù)φ(x)在a的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且存在實數(shù)，對?x∈有

其中，=是Beta函數(shù)。

引理3[3]若函數(shù)在閉區(qū)間上存在n+1階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在閉區(qū)間上存在階導(dǎo)數(shù)，且，，則至少存在一點，使得

2 主要結(jié)果

定理1若函數(shù)在a的某鄰域內(nèi)存在n＋1階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則對于，，至少存在一點在a與x之間，有

證明 對于，(不妨設(shè)x＞a，對于x＜a的情形同理可證)，構(gòu)造函數(shù)

現(xiàn)考查函數(shù)，

(i) 在閉區(qū)間上連續(xù)；

(ii) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；

(iii)

由 Rolle定理，存在一點，使得，而

綜合(5)-(9)，便有

整理上式，并注意到，便有

注在定理 1中，當(dāng)時，積分是定積分，結(jié)論成立。而當(dāng)時，積分是反常積分，且以t=x為瑕點的瑕積分，而由于在內(nèi)連續(xù)和p∈(-1 , 0)，容易證明反常積分是收斂的，結(jié)論仍然成立。后續(xù)的定理中存在同樣的問題，不再贅述。

以上證明過程中，沒有考慮的非零性，即當(dāng)有零點時，不影響結(jié)論的正確性。若時有時，便有如下結(jié)論。

定理2若函數(shù)在a的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且，，則對于，，至少存在一點在a與x之間，有

這是一個更具有一般性的余項形式，這里是實數(shù)，且有以下特殊形式：

1. 當(dāng)≡ 1 時，，包含了以下四種余項形式：

1) 當(dāng)p=n時，是Lagrange余項；

2)當(dāng)p=n時，o((x-a)n)，這是Peano余項；

3)當(dāng)p= 0 時，這是Cauchy余項；

4) 當(dāng)p=q- 1時，，這是Schlomilch-Roche余項，此時。

2.當(dāng)時，

這是一個積分型余項的推廣形式，當(dāng)p=n時，

是Taylor中值定理余項的一個推廣，它涵蓋了Taylor中值定理所有余項的一般余項形式。

下面討論，由公式(11)中余項所確定的“中間點”的漸進性。

定理3若函數(shù)在a的某鄰域內(nèi)存在n＋1階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，，，且存在實數(shù)，，對

證明由于函數(shù)在內(nèi)存在階導(dǎo)數(shù)，對于實數(shù)α≥0和，構(gòu)造函數(shù)

另一方面，由定理1和引理2（注意到時

綜合式（13）和式(14)，有

所以，

這一漸進性的結(jié)果比文獻[1-5]的結(jié)果更具有一般性和廣泛性。

當(dāng)p=m∈N時，有以下推論：

推論若函數(shù)在a的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，，，且存在實數(shù)α≥0，β≥0，對?x∈有則對于且m≤n，由引理3的(3)式所確定的“中間點”ξ滿足

這一結(jié)果與文獻[5]的定理1一致，這也表明(12)更具有一般性。

另外，當(dāng)定理 3中的參數(shù)n，p，α，β取不同的值時都會有一些特殊形式的結(jié)果，這里不再敘述，可以參考文獻[1-8]。

[1]李丹,張樹義.關(guān)于泰勒公式中間點函數(shù)的可微性[J].井岡山大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版,2016,37(6):11-14.

[2]趙美娜,張樹義,鄭曉迪. 廣義 Taylor 中值定理 “中間點函數(shù)” 的性質(zhì)[J]. 南通大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2016,15(3):80-85.

[3]杜爭光.微積分中值定理的統(tǒng)一及推廣[J].荊楚理工學(xué)院學(xué)報,2011,26(2):34-37.

[4]杜爭光.微積分中值定理“中間點”的漸進性的統(tǒng)一[J].湖南工程學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,22(3):60-62.

[5]杜爭光.廣義Cauchy中值定理“中間點”的漸進性[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2015,45(13):268-272.

[6]趙美娜,張樹義,鄭曉迪.泰勒公式“中間點函數(shù)”的一個注記[J].魯東大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2016,32(4):302-306.

[7]布仁白乙拉,蘇雅拉圖.某些含有Dini導(dǎo)數(shù)的微分中值定理“中間點”的漸近性[J].井岡山大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2017,38(2):25-29.

[8]劉冬紅,張樹義,鄭曉迪.二元函數(shù)柯西中值定理“中間點”的漸近估計式[J].井岡山大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2017,38(4):13-17.