二階常微分方程邊值問題Green函數(shù)的研究

劉 慧

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇 南京 210023)

常微分方程邊值問題是微分方程理論研究中的一個基本問題,其中利用Green函數(shù)是研究討論邊值問題的一種重要方法.我們可以利用Green函數(shù)將微分方程轉(zhuǎn)化成積分方程,從而應(yīng)用非線性泛函分析中的不動點(diǎn)定理研究積分方程解的存在性.

本文所求二階常微分方程邊值問題的一般形式為

則邊值問題(1)、(2)的解為

(3)

其中G(t,s)則為邊值問題(1)、(2)的Green函數(shù).

盡管孫經(jīng)先給出了Sturm-Liouville兩點(diǎn)邊值問題的Green函數(shù)表達(dá)式[1],沈以淡給出了定解問題的常微分方程的Green函數(shù)表達(dá)式[2],葛渭高給出了非共振條件下邊值問題的Green函數(shù)表達(dá)式[3].但是在許多證明積分方程的解的存在性的文獻(xiàn)中并沒有給出Green函數(shù)的具體算法[4-5].

本文主要研究形如二階常微分方程(1)在不同邊值條件下的Green函數(shù).本文首先研究常微分方程(1)在兩點(diǎn)周期邊值下的Green函數(shù)，主要利用Green函數(shù)的性質(zhì)來求得,可是隨著邊值條件的增加，利用性質(zhì)來計算Green函數(shù)往往會比較復(fù)雜,所以本文在第二部分又研究了常微分方程在多點(diǎn)邊值條件下的Green函數(shù)的求法,最后給出求Green函數(shù)具體實(shí)例.

1 二階常微分方程周期邊值問題的Green函數(shù)

在本節(jié)中我們主要利用性質(zhì)來給出求Green函數(shù)的一般方法.

考慮非線性二階常微分方程

un(t)+λu(t)=f(t,u(t)).λ>0,t∈[a,b]

(4)

在周期邊值條件

u(a)=u(b),u＇(a)=u＇(b)

(5)

下的Green函數(shù).

定理1 若u(t)∈C2[a,b]是二階常微分方程邊值問題(4)、(5)的解，則

(6)

是邊值問題(4)、(5)的Green函數(shù).

證明定理之前先給出Green函數(shù)的四條性質(zhì)[3]：

(i)在a≤t≤b上，G(t,s)本身連續(xù)；

(ii)G(t,s)關(guān)于t的一階導(dǎo)數(shù)以t=s為第一類間斷點(diǎn)且躍度為-1,

(iii)作為t的函數(shù)G(t,s)在[a,s)及(s,b)]上是(1)的解；

(iv)滿足邊值條件(2).

下面我們將根據(jù)Green函數(shù)的性質(zhì)來證明該定理.

應(yīng)該滿足邊值條件(5)，則有

根據(jù)性質(zhì)(i)，可設(shè)Green函數(shù)的形式如下

(7)

其中α1,α2,β1,β2,為s的待定系數(shù).

設(shè)

χk(s)=βk(s)-αk(s),k=1,2

可得到關(guān)于χk(s)的線性方程組

即

解得

將α1,α2,β1,β2帶入(7)式，整理可得(6).

以上證明過程同時給出了兩點(diǎn)周期邊值問題Green函數(shù)的構(gòu)造方法.

2 二階常微分方程多點(diǎn)邊值問題的Green函數(shù)

隨著邊值條件的增加，上述方法求Green函數(shù)則會比較復(fù)雜，本節(jié)討論多點(diǎn)邊值問題的Green函數(shù)的求法.

定義算子

L：C2[a,b]→C[a,b]

滿足

Lu=un+λ1u'+λ2u

(8)

其中λ1,λ2∈C[a,b].U:C[a,b]→Rn.

再定義算子

U:C[a,b]→Rn

滿足

(9)

其中ak,(k=0,1,…,m-1)滿足

a=a0≤a1≤…≤am-1=b

顯然L,U是線性算子.

考慮二階常微分多點(diǎn)邊值問題(8)、(9)在非共振情況下的解.這里我們記

其中u1,u2是u"+λ1u'+λ2u=0的基礎(chǔ)解系.

則當(dāng)detQ(u)≠0,我們稱(8)、(9)為非共振邊值問題.

定理2 當(dāng)非線性邊值問題(8)、(9)為非共振情況,即detQ(u)≠0,存在唯一的Green函數(shù)G(t,s)使(8)、(9)的解為

其中

(10)

證明當(dāng)detQ(u)≠0設(shè)方程Lu=0的基礎(chǔ)解系為u1(t),u2(t),記W(t)為Wronsky行列式，顯然W(t)≠0,t∈[a,b].有

記

(11)

由常數(shù)變易法知方程(8)的一個通解為

帶入邊值條件(9)中有

即

易知上述G(t,s)滿足Green函數(shù)的四條性質(zhì)，換句話說Green函數(shù)也可以定義為滿足性質(zhì)(i)-(iv)的函數(shù).[2]

以上證明過程給出了非共振情況下邊值問題的的Green函數(shù)的構(gòu)造方法.

3 求Green函數(shù)的實(shí)例

例1 求：

的Green函數(shù).

應(yīng)該滿足邊值條件(13)，則有

根據(jù)性質(zhì)(i)，可設(shè)Green函數(shù)的形式如下

(14)

其中α1,α2,β1,β2為s的待定系數(shù).

設(shè)

χk(s)=βk(s)-χk(s),k=1,2

可得到關(guān)于χk(s)的線性方程組

即

解得

將α1,α2,β1,β2帶入(14)式，整理可得BVP(12)、(13)的Green函數(shù)為：

例2 求：

的Green函數(shù)，其中η∈(0，1)，0<βη<1.

證明這里L(fēng)u=u",U1(u)=u(0),U2(u)=u(1)-βu(η)

則Lu=0有基礎(chǔ)解系

1,t

且相應(yīng)的Wronsky行列式為

及

則

故

則 BVP(15)、(16)為非共振的,存在唯一Green函數(shù).

下面分區(qū)間討論其Green函數(shù):

①當(dāng)0≤t≤η時，

(i)0≤s≤t≤η,

(ii)0≤t≤s≤η,

(iii)0≤t≤η≤s≤1,

②當(dāng)η≤t≤1時.

(i)0≤s≤η≤t≤1,

(ii)η≤s≤t≤1,

(iii)0≤η≤t≤s≤1,

故BVP(15)、(16)對應(yīng)的Green函數(shù)為

4 總結(jié)

(1)在計算Green函數(shù)時不管是齊次方程還是非齊次方程，我們只需要考慮求齊次部分的基礎(chǔ)解即可.

(2)Green函數(shù)的給定和非齊次項(xiàng)t(t)在等式中的位置有關(guān)，如果f(t)在等式左方，所求Green函數(shù)和我們在本文中所求的Green函數(shù)相差一個“-”號.

[參考文獻(xiàn)]

[1]孫經(jīng)先.非線性泛函分析及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

[2]葛渭高.非線性常微分方程邊值問題[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[3]沈以淡.積分方程(第三版)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2012.

[4]姚慶六.一類奇異二階邊值問題的正周期解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2007(6)：1357-1364.

[5]Sun Jingxian,Liu Yansheng. Multiple Positive Solutions of Singular Third-order Periodic Boundary Value Problem[J].Acta Mathematica Scientia,2005(1):81-88.