淺談初中幾何三角形中的開放性問題

王志華

摘要：初中幾何三角形中的開放性問題是比較常見的，其開放性包括解題條件開放、解題過(guò)程開放和解題結(jié)果開放。

關(guān)鍵詞：三角形，開放性；條件開放；過(guò)程開放；結(jié)果開放

初中幾何三角形中的開放性問題是比較常見的，其開放性包括解題條件開放、解題過(guò)程開放和解題結(jié)果開放。在一個(gè)具體的問題中，其開放性，或居其一、或居其二，或三者有之。在此，舉例談?wù)勛约旱囊恍┐譁\看法。

一、解題條件開放

在一些三角形的問題中，條件往往是開放的，即條件不是唯一的，由這些條件或其中的某些條件，可以得到相同的結(jié)論。例如：如圖1，在△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE相交于點(diǎn)O，現(xiàn)給出下列四個(gè)條件：

①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；BE=CD；④OB=OC

（1）上述四個(gè)條件中，由哪兩個(gè)條件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序號(hào)寫出所有情形）。

（2）選擇第（1）小題中的一種情形，證明△ABC是等腰三角形（本題選自八年級(jí)數(shù)學(xué)第十一章單元目標(biāo)檢測(cè)試題）。

解：（1）共有四種情形：

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

（2）由①④來(lái)證明，即已知：∠EBD=∠DCO，OB=OC，證明：△ABC是等腰三角形。

在△OBC中

∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB

又∠EBD=∠DCE

∴∠OBC+∠EBD=∠OCB+∠DCE

即∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等腰三角形

二、解題過(guò)程開放

在很多三角形問題中，條件和結(jié)論都是唯一的，但其解法是多種多樣的，也就是解題過(guò)程開放。例如：如圖2，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分別是E、F，求證：AD是∠BAC的角平分線（本題選自八年級(jí)數(shù)學(xué)第十一章單元目標(biāo)檢測(cè)試題）。

解法1：

∵DF⊥AB，DF⊥AC

∴∠BED=∠CFD=90°

在Rt△BED和Rt△CFD中

BD=CD （中點(diǎn)定義）

∵

BF=CF

∴在Rt△BED≌Rt△CFD（HL）

∴∠B=∠C

∴AB=AC（等角對(duì)等邊）

又BD=CD

∴AD是△ABC的解平分線（等腰三角形的頂角平分線與底邊上的中線重合）

解法2：

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠BED=∠AFD=90°

在Rt△BED和Rt△CFD中

BD=CD（中點(diǎn)定義）

∵

BE=CF

∴在Rt△BED≌Rt△CFD （HL）

∴DE=DF

又DE⊥AB，DF⊥AC

∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上（到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線。

解法3：

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠BED=∠CFD=∠AED=∠AFD=90°

在Rt△BED和Rt△CFD中

BD=CD（中點(diǎn)定義）

∵

BE=CF

∴Rt△BED≌Rt△CFD （HL）

∴DE=DF

在Rt△AED和Rt△AFD中

AD=AD

∵

DE=DF

∴Rt△AED≌Rt△AFD （HL）

∴∠BAD=∠CAD

即AD是△ABC的角平分線（角平分線定義）。

解法4：

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠BED=∠CFD=90°

在Rt△BED和Rt△CFD中

BD=CD

∵

BF=CF

∴Rt△BED≌Rt△CFD （HL）

∴∠B=∠C

∴AB=AC

在△ABD和△ACD中

AB=AC

∵ BD=CD

AD=AD

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠ABD=∠ACD

即AD是△ABC的角平分線。

三、解題結(jié)果開放

在一些三角形問題中，結(jié)果往往不是唯一的。例如：等腰三角形的一個(gè)角是80°，它的另兩個(gè)角是多少度？（本題選自八年級(jí)數(shù)學(xué)教材上冊(cè)第56頁(yè)第1題第（2）小題）。

解：分兩種情況：

（1）當(dāng)頂角為80°時(shí)，其余兩個(gè)角都是50°；

（2）當(dāng)?shù)捉菫?0°時(shí)，其余兩個(gè)角分別是80°和20°。

四、解題條件、解題過(guò)程和解題結(jié)果同時(shí)開放

在某些三角形問題中，解題條件、解題過(guò)程和解題結(jié)果的開放不是單一的，而是并存的，例如：如圖3，在△ABC中，BD和CE分別是AC和AB邊上的高，請(qǐng)你增加一個(gè)條件，寫出一個(gè)結(jié)論，并證明你寫出的結(jié)論（本題選自八年級(jí)數(shù)學(xué)第十二章單元目標(biāo)檢測(cè)試題）。

解法1：條件：OE=OD，結(jié)論：EB=DC.

∵BD和CE是高

∴∠BEO=∠CDO=90°

在△BEO和△CDO中∠BEO=∠CDO

∵ OE=OD

∠BOE=∠COD

∴△BEO≌CDO（ASA）

∴EB=DC

解法2：條件：EB=DC， 結(jié)論：BD=CE.

∵BD和CE是高

∴∠BEC=∠CDB=90°

在Rt△BEC和Rt △CDB中

EB=DC

∵

BC=BC 圖3

∴Rt△ BEC≌Rt△CBD（HL）

∴BD=CE.

解法3：條件：AD=AE，結(jié)論：AB=AC

∵BD和CE是高

∴∠ADB=∠AEC=90°

在△ADB和AEC中

∠A=∠A

∵ AD=AE

∠ADB=∠AEC

∴△ADB =△AEC （ASA）

∴AB=AC

本題的解題方法不只以上三種，還有若干種解法，在此選擇了其中的三種解法，以起到拋磚引玉的作用。

總之，三角形中的開放性問題是比較常見的，其開放性包括解題條件開放、解題過(guò)程開放和解題結(jié)果開放。