談?wù)剬Ω咧袛?shù)列問題的認知

花海平

在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列一直以來都是一個相對獨立的存在，在教材中有專門的章節(jié)進行詳細講解.可以說，數(shù)列處在高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵性位置.同時，數(shù)列知識有著同其他數(shù)學(xué)知識相互關(guān)聯(lián)的可能性.對于其中一些綜合性較強的問題而言，無論是解題技巧，或者是解題思路，均視數(shù)列為必然的背景知識.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供數(shù)列知識的技巧引導(dǎo)，幫助學(xué)生理解該部分內(nèi)容.下面談?wù)剬Ω咧袛?shù)列問題的認知.

一、對基本概念和性質(zhì)的探索

首先，教師要指導(dǎo)學(xué)生把握通項及求和公式應(yīng)用的方法.當(dāng)面對這種類型的問題時，一般來說是無需特定技巧的，學(xué)生只要對有關(guān)的公式加以熟練把握，然后使之準確代入到問題中進行使用即可.比如，已知{an}屬于一個等差數(shù)列，而Sn是這個等差數(shù)列前n項之和，同時n∈N*.如果a3=6，S20=20，那么S10的數(shù)值是多少？在掌握基本概念和性質(zhì)后，再對已知條件加以分析，學(xué)生只要根據(jù)等差數(shù)列通項公式，還有前n項和求和公式等知識，就能求得此題中的數(shù)列首項及公差，并最終得到答案.這種類型的問題，均是側(cè)重于學(xué)生理解數(shù)列基本概念、性質(zhì)還有公式程度的考查.為了使這些問題得到順利解決，教師在教學(xué)過程中要關(guān)注學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解，以保證學(xué)生知識積累的有效性.

其次，教師要讓學(xué)生靈活應(yīng)用基礎(chǔ)的數(shù)列性質(zhì).在一些試題中，轉(zhuǎn)變說法、變換形式的現(xiàn)象比較普遍，學(xué)生如果不能靈活應(yīng)用基礎(chǔ)的數(shù)列性質(zhì)，就會在面對具體問題時茫然失措.比如，已知等差數(shù)列{an}里面，a3+a7=37，那么a2+a4+a6+a8的結(jié)果是多少？此題具有一定的靈活性，如果直接套用公式，學(xué)生無法得到結(jié)果.它考查的重點在于學(xué)生對于數(shù)列基本性質(zhì)相關(guān)知識的扎實理解與靈活應(yīng)用.因此，教師要在教學(xué)過程中給予必要的關(guān)注，側(cè)重于學(xué)生在理解基礎(chǔ)上的靈活應(yīng)用.

二、對通項公式的理性認知

通過分析近年的高考數(shù)學(xué)試題可以發(fā)現(xiàn)，與數(shù)列中通項公式有關(guān)的考點屢屢出現(xiàn)，是一種常見題型.同時，數(shù)列求和的重要性一直以來都未被忽視，也屬必學(xué)必考的要點.一般來說，數(shù)列求和可以采取錯位相減、分組或者合并求和等方法加以處理.

首先，我們看錯位相減法的應(yīng)用.該方法突出強調(diào)了推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式應(yīng)用，是一種常規(guī)做法.利用該類型的解題方法，可以應(yīng)用到如{等差數(shù)列·等比數(shù)列}數(shù)列的前n項和求取問題中.比如，已經(jīng)知道數(shù)列{an}，其前n項之和是Sn.另外，a1=1，an+1=2Sn，且n∈N*.請分別給出數(shù)列{an}之通項an，以及數(shù)列{nan}前n項和.要想對此類問題進行正確處理，我們就應(yīng)當(dāng)考慮到所求數(shù)列屬于等差數(shù)列同等比數(shù)列對應(yīng)項相乘求和類型.由此，充分借助錯位相減策略，第一步先得到等比數(shù)列an首項以及公比等，接下來讓等比公式得到表示，且逐步加以解決.在此過程中，利用錯位相減法，最終得到n的范圍是N*.通過實踐引導(dǎo)，使學(xué)生逐步認識到，錯位相減法一般在{等差數(shù)列·等比數(shù)列}數(shù)列前n項和求取過程中有較廣泛的應(yīng)用可能性.在后續(xù)的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練過程中，教師和學(xué)生再對此類問題進行歸納總結(jié)，學(xué)生便會對這樣的一般性規(guī)律產(chǎn)生深刻印象，當(dāng)再遇到相關(guān)習(xí)題時，就能及時尋求到問題的處理方法.

其次，對于分組求和法來說，其在數(shù)列試題考查過程中，可以應(yīng)用到那些既和等差數(shù)列無關(guān)，又貌似不屬于等比數(shù)列的問題之中.研究發(fā)現(xiàn)，如果把這類問題中的數(shù)列加以拆分，便能將之劃分成若干不同等差數(shù)列或者是等比數(shù)列.學(xué)生在老師的指導(dǎo)下對此類數(shù)列分組求和，即將之拆分為成容易得到結(jié)果的數(shù)列，分別給予求和處理，再合并，就能得到滿意的結(jié)果.合并求和與分組求和有相類似之處，它所面對的也是一些特殊數(shù)列，合并求和能使該類問題化難為易.

三、對經(jīng)典數(shù)列進行文化引介

按照新課程改革的理念，教師在教學(xué)過程中需要適當(dāng)講解數(shù)學(xué)和人類文化發(fā)展的關(guān)系，明確該學(xué)科的歷史價值，以幫助學(xué)生形成科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念.對于數(shù)列問題的講解過程來說，這項任務(wù)同樣需要完成.事實上，與數(shù)列知識有關(guān)的數(shù)學(xué)文化背景內(nèi)容非常豐富，如國外的斐波那契數(shù)列，我國的楊輝三角等.教師可以一邊給學(xué)生提供數(shù)列問題處理策略指導(dǎo)，一邊幫助學(xué)生對于經(jīng)典數(shù)列進行文化引介，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維.

總之，在高中數(shù)學(xué)學(xué)科中，數(shù)列知識所引發(fā)的問題，由于其本身所具有的特殊性，再加上和其他數(shù)學(xué)知識有非常緊密的聯(lián)系，以及其在各種類型考試中出現(xiàn)的高頻次，都使之成為教師授課的重點與難點.為了提高學(xué)生處理該類問題的效率，教師要在課堂教學(xué)中關(guān)注促進學(xué)生認知能力以及解題技巧提高的問題，使學(xué)生在遇到此類問題時能夠行有余裕地處理好，快速計算出正確結(jié)果.