一個(gè)具Logistic-型源和非線(xiàn)性信號(hào)產(chǎn)出的趨化系統(tǒng)解的漸近行為

宋芳芳， 陶有山

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

趨化性是指細(xì)胞朝信號(hào)濃度變化大的地方遷移。除隨機(jī)擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)外，趨化性是生物世界中細(xì)胞遷移的最普遍機(jī)制之一，其在斑圖形成、細(xì)菌聚集和人口遷移等生物過(guò)程中起著極其重要的作用。經(jīng)典的趨化數(shù)學(xué)模型在1970年由Keller和Segel[1]首次提出。數(shù)學(xué)上，該模型的一個(gè)顯著特征是：在多維空間情形下，解有可能在有限時(shí)間爆破。在過(guò)去的40多年里，趨化模型已被廣泛研究[2-3]，其中,一些學(xué)者定性研究了交叉擴(kuò)散、Logistic阻尼和非線(xiàn)性信號(hào)產(chǎn)出對(duì)解的性質(zhì)的影響。本文考慮以下初邊值問(wèn)題

(1)

0≤g(s)≤sβ對(duì)所有的s≥0

(2)

式中：β為正常數(shù)。

α>β

(3)

或者

(4)

那么對(duì)任何給定的非負(fù)的u0∈W1,∞(Ω),初邊值問(wèn)題(1)在Ω×(0,∞)上存在唯一且有界的整體古典解。

此外，文獻(xiàn)[5]通過(guò)構(gòu)造上、下解的方法研究了解的長(zhǎng)時(shí)間漸近行為。與文獻(xiàn)[5]不同，本文通過(guò)構(gòu)造Lyapunov泛函方法，獲得了一個(gè)新解的漸近性結(jié)果。更精確地說(shuō)，有如下結(jié)果：

式中：M≥1為給定的常數(shù)。

時(shí)，該古典解u(x,t)具有下列漸近性質(zhì)，即對(duì)所有的t>0, 式(5)和(6)成立。

‖u(·,t)-1‖L∞(Ω )≤Ce-λt

(5)

‖v(·,t)-1‖L∞(Ω )≤Ce-λt

(6)

式中：C>0,λ>0,且兩者為常數(shù)。

1 整體存在性和有界性

利用標(biāo)準(zhǔn)的不動(dòng)點(diǎn)定理可證明系統(tǒng)(1)的局部解存在性，詳細(xì)證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。

進(jìn)一步，如果Tmax<∞,則有

下面的質(zhì)量性質(zhì)容易驗(yàn)證。

引理2系統(tǒng)(1)的古典解(u,v)滿(mǎn)足

(7)

證明對(duì)系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程關(guān)于x在Ω上積分，并利用分部積分及系統(tǒng)(1)中的零流邊界條件可得

由H?lder不等式可得

再應(yīng)用常微分方程比較原理推得式(7)，引理2得證。

現(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)一個(gè)基本的能量型不等式。

引理3對(duì)任何p>1,系統(tǒng)(1)的古典解(u,v)滿(mǎn)足：對(duì)所有的t∈(0,Tmax),式(8)成立。

(8)

證明根據(jù)系統(tǒng)(1)直接計(jì)算并利用分部積分，由條件式(2)和v的非負(fù)性得：

以式(8)為出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)α>β時(shí)可以建立u的Lp先驗(yàn)估計(jì)。

引理4假設(shè)α>β,則對(duì)任何p>1,存在常數(shù)C(p)>0使得系統(tǒng)(1)的古典解滿(mǎn)足

(9)

證明由式(8)得到

(10)

(11)

因此，如果取C(p):=c2(p),則式(9)得證。

當(dāng)α=β時(shí)，對(duì)適當(dāng)范圍的p可以建立u的Lp先驗(yàn)估計(jì)。

(12)

證明由于假設(shè)α=β,由式(8)得

(13)

從而，利用Young不等式可知：

結(jié)合此不等式與式(13)得到

假設(shè)式(4)成立，以式(8)為基礎(chǔ)，利用引理5并結(jié)合Gagliardo-Nirenberg不等式也能建立u的Lp先驗(yàn)估計(jì)。

(14)

(15)

(16)

接下來(lái)，利用假設(shè)α=β,由式(8)和Young不等式得到：

(17)

(18)

式中：

從而，由于p0的取法保證：2p0>Nα,因此有

據(jù)此并利用Young不等式可以進(jìn)一步處理式(18)右端的第一項(xiàng)：

(19)

由式(17)～(19)得到

從而引理6得證。

由引理4和6并結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)的Moser迭代技術(shù)，可證明u的有界性。

引理7假設(shè)定理1的條件成立,則存在常數(shù)C>0 使得系統(tǒng)(1)的古典解滿(mǎn)足

‖u(·,t)‖L∞(Ω )≤C, 對(duì)所有的t∈(0,Tmax)

(20)

證明在定理1的假設(shè)之下，由引理4和6得到：對(duì)任何p>1,存在常數(shù)c1(p)>0使得系統(tǒng)(1)的解滿(mǎn)足

(21)

據(jù)此并注意到式(2)這個(gè)假設(shè)，由系統(tǒng)(1)中的第二個(gè)橢圓方程及橢圓方程的正則性理論[8]可知：如果在式(21)中當(dāng)p>N,則有

‖v(·,t)‖L∞(Ω )≤c2(p),t∈(0,Tmax)

(22)

獲得了估計(jì)式(21)和(22)之后，可以運(yùn)用Moser迭代技巧推得式(20)，詳細(xì)證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]。

定理1的證明：定理1是引理1和7的直接推論。

2 解的漸近行為

本節(jié)重點(diǎn)討論解的長(zhǎng)時(shí)間行為，將用到下列簡(jiǎn)單的代數(shù)引理。

引理8設(shè)M≥1為常數(shù)，則對(duì)任何α>0,式(23)成立。

(s-1)(sα-1)≥K(s-1)2,

對(duì)所有的s∈[0,M]

(23)

證明共分4種情形。

情形1α≥1,s≥1。在此情形下，顯然有

(s-1)(sα-1)≥(s-1)(s-1)=(s-1)2

情形2α≥1,0≤s<1。在此情形下，有

(s-1)(sα-1)=(1-s)(1-sα)≥
(1-s)(1-s)=(1-s)2

情形30<α<1,s≥1。在此情形下，由拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈(1,s)?(1,M),使得

情形40<α<1,0≤s<1。在此情形下，再由拉格朗日中值定理可知，存在η∈(0,s)?(0,1),使得

即式(23)成立。

下列引理是研究有界古典解的漸近行為的關(guān)鍵，本質(zhì)是構(gòu)造了系統(tǒng)(1)的一個(gè)Lyapunov泛函。由于考慮有界解的長(zhǎng)時(shí)間漸近性質(zhì)，所以下文均可假設(shè)

引理9假設(shè)g(s)=s,u0?0,則系統(tǒng)(1)的解滿(mǎn)足微分不等式：

(24)

證明由于u0≡/ 0,所以由拋物方程的強(qiáng)最大值原理可知，當(dāng)t>0時(shí)，u>0。利用系統(tǒng)(1)中的第一個(gè)方程進(jìn)行直接計(jì)算，基于分部積分和基本不等式(23)得

(25)

再利用Young不等式進(jìn)一步處理式(25)右端的第二項(xiàng)得

(26)

利用假設(shè)g(s)=s,將系統(tǒng)(1)中的第二個(gè)方程改寫(xiě)成如下形式：

-Δv=-(v-1)+(u-1),x∈Ω,t>0

在上述方程兩邊同時(shí)乘以v-1之后，對(duì)x∈Ω積分，并再次利用Young不等式得

(27)

結(jié)合式(25)～(27)得：

即式(24)成立。

由不等式(24)可以推出：當(dāng)t→∞時(shí)，u(·,t)在L∞(Ω)中的收斂性。

(28)

則系統(tǒng)(1)的解滿(mǎn)足

‖u(·,t)-1‖L∞(Ω )→0 當(dāng)t→∞時(shí)

(29)

證明若式(28)中的假設(shè)成立，有

在上述不等式兩邊關(guān)于時(shí)間t在(1,t)上積分得

(30)

注意到：對(duì)任何s≥0,成立s-lns-1≥0,在式(30)中令t→∞,并結(jié)合式(28)有

(31)

得到了估計(jì)式(31)之后，接下來(lái)的證明與文獻(xiàn)[10]中的Lemma 3.10的證明類(lèi)似。為便于理解，在此給出簡(jiǎn)短證明。由于u是古典解，由拋物方程的Schauder理論[11]得到某個(gè)常數(shù)c1>0使得

(32)

φ(xj,tj)≥c2, 對(duì)所有的j∈N

而式(32)意味著函數(shù)φ在Ω×[1,∞)上是一致連續(xù)的，因此可以找到小的常數(shù)r>0和τ>0使得對(duì)任何j∈N成立

既然Ω的光滑性保證：存在某個(gè)常數(shù)c3>0,使得

|Br(x)∩Ω|≥c3, 對(duì)所有的x∈Ω.

據(jù)此推得

(33)

但另一方面，根據(jù)式(31)及廣義積分的收斂準(zhǔn)則得到

而這與式(33)矛盾，從而式(29)成立。

下面進(jìn)一步研究解的收斂速率，先研究解在L2(Ω)中的收斂速率。

引理11假設(shè)g(s)=s,u0?0,并假設(shè)式(28)成立，則系統(tǒng)(1)的解滿(mǎn)足

‖u(·,t)-1‖L2(Ω )≤Ce-δt,t>0

(34)

式中：C>0,δ>0,且兩者均為常數(shù)。

證明首先注意到如下簡(jiǎn)單事實(shí)

據(jù)此及式(29)可知，存在T>0充分大，使得

(35)

記

則利用不等式(24)和(35)得到

從而

據(jù)此并利用式(35)中左邊第一個(gè)不等式得到

如果取

則式(34)成立。

然后討論解在L∞(Ω)中的收斂速率。

引理12假設(shè)g(s)=s,u0≡/ 0,并假設(shè)式(28)成立，則系統(tǒng)(1)的解滿(mǎn)足

‖u(·,t)-1‖L∞(Ω )≤Ce-λt,t>0

(36)

式中：C>0,λ>0,且兩者均為常數(shù)。

證明根據(jù)定理1及拋物方程的正則性理論可以找到某個(gè)常數(shù)c1>0滿(mǎn)足

‖u(·,t)-1‖W1,∞(Ω )≤c1,t>0

從而由引理11及Gagliardo-Nirenberg插值不等式可知：存在某個(gè)常數(shù)c2>0和c3>0使得

定理2的證明定理2中的式(5)是引理12的直接推論，而式(6)由式(5)及最大值原理推得。

參 考 文 獻(xiàn)

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