淺談教學(xué)中如何幫助學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

廣東省廣州市綠翠現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)學(xué)校(510300) 唐秋萍

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是:學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能動(dòng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),并使自己得到全面發(fā)展的過程.數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是要造就學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),以滿足后繼的學(xué)習(xí)需要,最終提高學(xué)生的問題解決能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何幫助學(xué)生建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),是推進(jìn)實(shí)施有效教學(xué)策略所面臨的一項(xiàng)重要課題.本文將從以下幾個(gè)方面來闡述如何幫助學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

一、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)概念的界定

(一)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的含義

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是學(xué)生頭腦里獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu),只不過是一種經(jīng)過學(xué)生主觀改造后的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu),它是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生心理結(jié)構(gòu)相互作用的產(chǎn)物,其內(nèi)容包括數(shù)學(xué)知識(shí)和這些數(shù)學(xué)知識(shí)在頭腦里的組織方式與特征.學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是在后天的學(xué)習(xí)活動(dòng)中逐步形成和發(fā)展起來的,由于不同主體對知識(shí)內(nèi)容的理解和組織方式不同,所以數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是有個(gè)體差異的.

(二)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系與區(qū)別

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是兩個(gè)不同的概念,它們之間既有密切的內(nèi)在聯(lián)系,又在嚴(yán)格的區(qū)別.兩者的聯(lián)系主要反映為學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是由教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來的,數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)賴以形成的物質(zhì)基礎(chǔ)和客觀依據(jù)、兩者的區(qū)別主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:(1)概念的內(nèi)涵不同;(2)信息的表達(dá)方式不同;(3)結(jié)構(gòu)的構(gòu)造方式不同;(4)結(jié)構(gòu)的完備性不同;(5)內(nèi)容的科學(xué)性不同.

在強(qiáng)調(diào)知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的區(qū)別的同時(shí),并不否認(rèn)二者之間的密切聯(lián)系,數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)通過內(nèi)化在學(xué)習(xí)者頭腦中,形成觀念的內(nèi)容和組織,就構(gòu)成數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).所謂內(nèi)化就是數(shù)學(xué)知識(shí)通過感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知活動(dòng)轉(zhuǎn)化為學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.

二、良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是造就學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),以滿足后繼學(xué)習(xí)的需要,最終促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.那么,具備什么特征的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)才是良好的呢?前人從不同的角度進(jìn)行了探討,簡述如下:

(一)根據(jù)美國教育心理學(xué)家奧蘇貝爾的觀點(diǎn)可知,良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有以下三個(gè)特征:

(1)可利用性,即在學(xué)習(xí)者原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有適當(dāng)?shù)钠鹜饔玫挠^念可以利用;

(2)可辨別性,即新知識(shí)與學(xué)習(xí)者原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)觀念是可辨別的;

(3)穩(wěn)定性,即同化新知識(shí)的原有的觀念是清晰和穩(wěn)定的.

(二)華南師大何小亞先生從問題解決出發(fā),認(rèn)為良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征包括以下四個(gè):

(1)足夠多的觀念;(2)具備穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式;(3)層次分明的觀念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu);(4)一定的問題解決策略的觀念.

(三)嚴(yán)正香和黃德成老師從實(shí)際教學(xué)出發(fā),認(rèn)為學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有以下特征:

(1)有序性;(2)廣闊性;(3)構(gòu)建性;(4)策略性.

總之,良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征是有利于產(chǎn)生層次更高的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

三、教學(xué)中構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)策略

(一)幫助學(xué)生構(gòu)建合理的知識(shí)結(jié)構(gòu),完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

根據(jù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知理論,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知過程,即新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程包括三個(gè)階段:新知識(shí)輸入階段,新舊知識(shí)相互作用階段和新知識(shí)進(jìn)行操作階段.奧蘇貝爾強(qiáng)調(diào),學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)是決定新的學(xué)習(xí)的最重要的因素.他指出,“如果我不得不把全部心理學(xué)還原為一條原理的話,那么我會(huì)說,影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么,根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況進(jìn)行教學(xué).”由此可見,教師在向?qū)W生輸入新的知識(shí)時(shí),必須注意學(xué)生原有的知識(shí)水平和認(rèn)知水平,換句話說,學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須具有適當(dāng)?shù)闹R(shí),即合理的知識(shí)結(jié)構(gòu).因此,教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中就要幫助學(xué)生構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu),完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

(二)幫助學(xué)生優(yōu)化定理教學(xué),構(gòu)建學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)主要是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念之間的本質(zhì)聯(lián)系,使學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的兩個(gè)或者多個(gè)固定點(diǎn)聯(lián)系起來,在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中形成一個(gè)新的固定點(diǎn),有效的教學(xué)方法能使學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)觀念之間穩(wěn)定的聯(lián)系,從而使學(xué)生在頭腦中形成關(guān)于所學(xué)定理的穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu),從而完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

數(shù)學(xué)定理內(nèi)化后是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要組成部分,隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的不斷發(fā)生,數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的內(nèi)部觀念在不斷地分化和抽象,形成了許多大大小小的“金字塔”結(jié)構(gòu),這些小“金字塔”結(jié)構(gòu)又互相聯(lián)系成了一種立體網(wǎng)狀結(jié)構(gòu).每個(gè)定理的形成都包含如下兩個(gè)過程:一是相關(guān)的數(shù)學(xué)觀念的形成過程;二是定理觀念的形成.

為構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),筆者在數(shù)學(xué)定理教學(xué)中采取如下措施:

(1)形成穩(wěn)定清晰可辯別的相關(guān)數(shù)學(xué)概念;

(2)引導(dǎo)學(xué)生在問題情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理;

(3)讓學(xué)生掌握最基本的邏輯知識(shí)、邏輯規(guī)律和邏輯方法;

(4)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)理解和掌握定理之間的關(guān)系.

(三)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透,形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)通過內(nèi)化形成數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的精髓,是數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)核,正是由于數(shù)學(xué)思想方法的存在,才使得數(shù)學(xué)知識(shí)不再是孤立的單點(diǎn)或離散的片段,使得解決問題的方法不再是刻板的套路和個(gè)別的一招一式,因此數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中起著固定的作用.聶春霞老師在其《數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的層次及轉(zhuǎn)化》一文中認(rèn)為,含有數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)可稱之為高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),反之便是低層次的.因此,要想實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)由低到高的轉(zhuǎn)化,必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).筆者認(rèn)為至少要從兩方面入手:(1)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的課堂滲透;由于數(shù)學(xué)思想方法具有隱蔽性強(qiáng),抽象度高等特征,學(xué)生自己概括和總結(jié)不易得到,所有教師必須在課堂上有意識(shí)的滲透其載體及數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的思想方法建立聯(lián)系.課堂中滲透數(shù)學(xué)思想方法有下面措施:是在知識(shí)的發(fā)生過程中滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法;是在在解決數(shù)學(xué)問題中滲透數(shù)學(xué)思想方法;是化隱為顯,揭示數(shù)學(xué)思想方法.(2)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的及時(shí)加強(qiáng);數(shù)學(xué)思想方法是高度抽象化的,僅憑學(xué)生在課堂上的學(xué)習(xí)和理解是不夠的.隱私做相應(yīng)的練習(xí)必不可少.由于數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含在多個(gè)分支中,所以綜合性問題與實(shí)際問題的解決對鞏固數(shù)學(xué)思想方法會(huì)更加有效.

總之,想讓學(xué)生將數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用自如,需學(xué)生在解題實(shí)踐中反復(fù)練習(xí)和運(yùn)用,使數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)化為自己的“經(jīng)驗(yàn)”和“習(xí)慣”,這樣才能讓學(xué)生形成對數(shù)學(xué)思想方法有良好認(rèn)知結(jié)構(gòu).

(四)充分暴露數(shù)學(xué)思維過程,調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中存在著三種思維活動(dòng),即數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng),數(shù)學(xué)教師的思維活動(dòng)和學(xué)生的思維活動(dòng).在數(shù)學(xué)教學(xué)中,暴露數(shù)學(xué)思維過程,就是重視數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的思維過程.教師既要暴露數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng),又要暴露教師的思維活動(dòng),還要讓學(xué)生暴露他們自己的思維過程.這樣才能使知識(shí)的邏輯展開與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律相結(jié)合,讓學(xué)生參與知識(shí)的形成過程,弄清知識(shí)的來龍去脈,在“揭露”的過程中優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性.那么在教學(xué)過程中應(yīng)該如何暴露學(xué)生的思維過程呢?筆者認(rèn)為需要做到以下兩點(diǎn):一是教師必須讓學(xué)生正真參與到知識(shí)的探索中去,不能以教師的教去代替學(xué)生的學(xué);二是教師必須尊重學(xué)生的思維選擇,盡量沿著學(xué)生的思維軌道,對思維展開調(diào)控.

(五)幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò),培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)的思維導(dǎo)圖

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建是指學(xué)生把所學(xué)知識(shí)與多方面的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行串聯(lián),建構(gòu)起新知識(shí)與各方面因素間的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)架.但同時(shí)教師對其要有透徹的認(rèn)識(shí),才能幫助學(xué)生不僅在形式上建立如概念圖的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),而且使其結(jié)構(gòu)中的信息流通暢順,即結(jié)構(gòu)中各知識(shí)點(diǎn)之間有著其數(shù)學(xué)本質(zhì)意義的聯(lián)系.

例如:學(xué)完“數(shù)列”一章概念即可幫助學(xué)生構(gòu)建如下知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖:

通過這個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò),對數(shù)列這章的所有定理和公式都能清楚的梳理,也能從系統(tǒng)的看數(shù)列知識(shí)的考點(diǎn)和聯(lián)系.所以教師應(yīng)該幫助學(xué)生主動(dòng)地對所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行分類和歸納、整理和提煉,構(gòu)建出適合自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),以便在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)更快地提取有關(guān)知識(shí)點(diǎn),達(dá)到提高問題解決的能力.

(六)培養(yǎng)學(xué)生良好的反思習(xí)慣,鞏固學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,良好的反思習(xí)慣有助于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).所謂反思,就是學(xué)習(xí)者對自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程,以及活動(dòng)過程中涉及的有關(guān)事物的學(xué)習(xí)特征的反向思考.筆者認(rèn)為學(xué)生對知識(shí)的反思分為兩種:一是總結(jié)性反思,即考慮解題的關(guān)鍵步驟用到了哪些定理、法則、體現(xiàn)了什么思想方法.對解題中出現(xiàn)的挫折要找出原因,弄清哪部分知識(shí)不熟悉造成,這樣從正反兩個(gè)方面強(qiáng)化了所學(xué)知識(shí),提高了數(shù)學(xué)思維能力;二是提高性反思,即對所解的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行發(fā)散性擴(kuò)展或是收效性概括.發(fā)散性擴(kuò)展,指通過改變習(xí)題條件,擴(kuò)大外延的一題多變的思考,培養(yǎng)發(fā)散性思維;收斂性概括,是對所解的題目從結(jié)構(gòu)上和思路上進(jìn)行抽象、概括和歸納,以便形成高層次的題型模式和數(shù)學(xué)思維模式.

總之,反思學(xué)習(xí)是智能發(fā)展的高層次表現(xiàn),是建構(gòu)學(xué)說在教學(xué)實(shí)踐中的主要體現(xiàn).唯有反思,才能控制思維操作,才能促進(jìn)理解,提高學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平,從而促進(jìn)教學(xué)觀點(diǎn)的形成和發(fā)展,不斷完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)良好的循環(huán).

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