提取圖形幾何特征 培養(yǎng)直觀想象能力—以求常見(jiàn)多面體外接球球心為例

廣東省中山市桂山中學(xué)(528463) 邱志權(quán)

直觀想象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六大內(nèi)容之一,它以抽象圖形為研究對(duì)象,利用幾何直觀和空間想象來(lái)認(rèn)知和體味事物的形狀與性質(zhì),借助圖形來(lái)分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.主要內(nèi)涵包括建立形與數(shù)的關(guān)系、利用幾何圖形描述問(wèn)題、借助幾何直觀理解問(wèn)題及發(fā)揮空間想象能力認(rèn)識(shí)事物.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,多面體的外接球問(wèn)題是考察空間直觀想象能力的高頻考點(diǎn),因?yàn)榍蚺c多面體的外接是空間中一種非常特殊的位置關(guān)系,而且因?yàn)檩^難畫(huà)出直觀圖形而使得問(wèn)題變得抽象難懂,所以它是一塊試金石,全方位、多角度、深層次地考察學(xué)生幾何直觀想象能力.下文從課堂教學(xué)出發(fā),立足基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,以求幾類(lèi)常見(jiàn)多面體外接球的球心方法為例,談?wù)剶?shù)學(xué)直觀想象能力的培養(yǎng).

一、以軸定心

球是空間中最具對(duì)稱性的幾何體,當(dāng)多面體為長(zhǎng)方體、正方體、正棱錐、正棱柱、圓錐等具有較明顯幾何對(duì)稱特征時(shí),根據(jù)直觀想象,容易判定外接球的球心一定在多面的“對(duì)稱軸”上,甚至球心與多面體的“中心”是合一的.

例1 正六棱錐底面邊長(zhǎng)為側(cè)棱是底面邊長(zhǎng)的2倍,則它的外接球表面積為_(kāi)__.

解析由定義可知,正六棱錐底面為正六邊形,所有側(cè)棱相等,頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心.頂點(diǎn)與底面中心的這條連線,它上面的任一點(diǎn)到底面的每一個(gè)頂點(diǎn)距離都相等,類(lèi)比線段的中垂線,我們可以定義它為這個(gè)面的“中垂線”;同時(shí)這條連線上任一點(diǎn)都可以在側(cè)面上找兩個(gè)點(diǎn)以它為中心對(duì)稱,所以我們也可以定義它為該幾何體的“中軸線”.它雖然并不是嚴(yán)格意義上的對(duì)稱軸,但在兩個(gè)維度方向上與球都具有對(duì)稱性,所以根據(jù)幾何直觀,球心一定在這條“中軸線”上,最終球心的定位只須滿足它到正六棱錐的頂點(diǎn)的距離等于到它底面任某一個(gè)頂點(diǎn)即可.

解答如圖1,作正六棱錐P?ABCDEF,PO⊥平面ABCDEF,在PO上取點(diǎn)G,當(dāng)PG=GB時(shí),點(diǎn)G為外接球的球心.3.設(shè)PG=BG=R,則在Rt△GBO中:R2=(3?R)2+3,解得:R=2,從而外接球表面積為16π.

圖1

由上例可推而廣之,所有正棱錐的外接球球心都在它的“中軸線”上,并滿足一般性結(jié)論:若正棱錐的高為h,底面中心到頂點(diǎn)距為d,則外接球的半徑R滿足:

拓展若是圓錐的外接球半徑,只需將d置換為圓錐底面半徑r即可.

二、以形補(bǔ)形

我們知道,正方體、長(zhǎng)方體外接球心與長(zhǎng)方體、正方體的幾何中心是重合的,即外接球的球心為長(zhǎng)方體對(duì)角線的中點(diǎn),所以外接球直徑等于長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng).當(dāng)長(zhǎng)方體三邊長(zhǎng)分別為a,b,c時(shí),則半徑(特別的:正方體外接球半徑為

例2 三棱錐P?ABC三側(cè)棱兩兩垂直,PA=5,PB=4,PC=3,求它外接球表面積.

解析三棱錐三側(cè)棱兩兩垂直,根據(jù)幾何直觀,它具有長(zhǎng)方體一個(gè)“角”的幾何特征.所謂“窺一斑而知全豹”,我們可運(yùn)用空間想象能力,將這個(gè)幾何體拓展成一個(gè)長(zhǎng)方體,也就是說(shuō),根據(jù)它的幾何特征,將它“補(bǔ)形“為一個(gè)長(zhǎng)方體,問(wèn)題就化歸為長(zhǎng)方體外接球的問(wèn)題,則迎刃而解了.

解答作長(zhǎng)方體PAMB?CNRQ,如圖2,若PA=5,PB=4,PC=3,則三棱錐P?ABC為題目所給三棱錐,它的外接球直徑為長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng),所以半徑外接球表面積:

圖2

由此可見(jiàn),同一點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直,具有長(zhǎng)方體局部的幾何特征,一般情況下,都可以“以形補(bǔ)形”,將其補(bǔ)成長(zhǎng)方體.除此之外,一條側(cè)棱垂直于矩形底面的四棱錐、一條側(cè)棱垂直于直角三角形底面的三棱錐和底面是直角三角形的直三棱柱都可以補(bǔ)形為相應(yīng)長(zhǎng)方體.若推廣到更一般的結(jié)論:有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐,若存在外接球,則以該棱錐底面為下底面,將它補(bǔ)形為一個(gè)直棱柱,直棱柱上下底面的外心(外接圓圓心)連線的中點(diǎn)就是該棱錐的外接球球心.

例3 已知三棱錐則求三棱錐A?BCD外接球的表面積.

解析該三棱錐最明顯的幾何特征是對(duì)棱異面且兩兩相等,而長(zhǎng)方體每個(gè)面內(nèi)的一條對(duì)角線在相對(duì)面內(nèi)存在一條對(duì)角線與它異面且相等,由幾何直覺(jué)可知,該三棱錐包含于一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi),反之由該三棱錐可補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體.

圖3

解答作長(zhǎng)方體EBFA?DGCH,如圖3,設(shè)AE=x,AF=y,AH=z,連接AB,BC,CD,DA,DB,AC,則三棱錐A?BCD滿足AB=CD,BC=AD,AC=BD,當(dāng)時(shí)則,三式平方相加可求出x2+y2+z2=77,即長(zhǎng)方體對(duì)角線為因?yàn)槿忮F與長(zhǎng)方體的外接球?yàn)橥磺蛎?所以外接球半徑從而外接球的表面積為S=4πR2=77π.

由兩道例題可知,當(dāng)一個(gè)幾何體的幾何特性符合另外一個(gè)幾何體的局部特征,則可以“以形補(bǔ)形”,將問(wèn)題化歸為另一個(gè)更規(guī)則的幾何體問(wèn)題,化繁為易.

三、以心追心

所有幾何體外接球問(wèn)題,其核心就是球心的定位,就是要在空間中找到一點(diǎn),使它到多面體的每一個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等.一般情況下是不可能“一箭中的”,需要我們先“定圓心”再“定球心”.

例4 在四面體S?ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,則求四面體外接球表面積.

解析本題三棱錐底面為非等腰的鈍角三角形,無(wú)法通過(guò)“補(bǔ)形”的辦法化歸到長(zhǎng)方體,只好通過(guò)先找底面的外接圓,因?yàn)檫@個(gè)外接圓為外接球的一個(gè)截面圓,根據(jù)球的幾何性質(zhì),球心一定在過(guò)截面圓圓心且垂直于截面的直線上,這樣我們就找到第一類(lèi)問(wèn)題中所定義的底面ABC的“中垂線”,(其實(shí)兩者是一致的,都是過(guò)底面外心且垂直于底面的直線,當(dāng)?shù)酌鏋檎噙呅螘r(shí),外心就是它的“中心”).

圖4

解答如圖4,在△ABC中,BC2=AC2+AB2?2AC×則 △ABC外接圓直徑設(shè)外接圓圓心為O,則作OG⊥平面ABC,當(dāng)GA=GS時(shí),點(diǎn)G為外接球球心,則所以外接球表面積為

如果類(lèi)比多邊形的外接圓性質(zhì):多邊形外心為各邊中垂線的共同交點(diǎn),則多面體的外接球的球心為各面的“中垂線”的共同交點(diǎn).但在空間中找兩條直線的交點(diǎn),一般情況下則不容易解決,除非在特殊的情況下,所以一般都是先到找一個(gè)面的截面圓的圓心,也就是先“定圓心”,然后再在過(guò)這個(gè)圓心的垂線上找一點(diǎn),使它與底面某頂點(diǎn)和其它頂點(diǎn)的距離相等,就是第二步的“定球心”.

例5 《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬;將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐P?ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為()

A.8πB.12πC.20πD.24π

解析本題三棱錐每一個(gè)面都是直角三角形,斜邊中點(diǎn)為其外心,所以找任何一個(gè)面的“中垂線”都較簡(jiǎn)單,甚至兩個(gè)面的“中垂線”的交點(diǎn)也不難確定.

解答因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以△PAB和△PAC已是為Rt△ ,要△ABC和△PBC也為Rt△ 必須有BC⊥AB且BC⊥PB.

(方法一)如圖5:可知底面Rt△ABC的外心為AC中點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作平面ABC垂線交PC于點(diǎn)O,則點(diǎn)O為PC中點(diǎn).在Rt△PAC中,因?yàn)樾边匬C中點(diǎn)O滿足OA=OP,所以O(shè)P=OA=OB=OC,從而點(diǎn)O為外接球球心.

圖5

(方法二)如圖6:Rt△PBC的外心為PC中點(diǎn)O,Rt△PAC的外心也為PC中點(diǎn)O,這兩個(gè)三角形的“中垂線”都經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,從而點(diǎn)O為兩個(gè)面的“中垂線”的交點(diǎn),所以點(diǎn)O為外接球的球心.

圖6

所以外接球半徑表面積S=20π,正確選項(xiàng)為C.

四、以數(shù)解形

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老,也是最基本的研究對(duì)象,我們可以利數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性來(lái)定義或描述形的幾何屬性,反之亦可用幾何直觀來(lái)闡釋數(shù)的關(guān)系.球作為三維空間里最基本的幾何圖形,它的最重要的幾何特征是球面上任一點(diǎn)到球心的距離都為定值,若將多面體與其外接球安置于空間直角坐標(biāo)系下,則空間每一點(diǎn)與空間坐標(biāo)對(duì)應(yīng)起來(lái),球的幾何屬性通過(guò)數(shù)的“表達(dá)”,則非常通透明了.

圖7

以前面例5為例,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC、BA所在直線為X、Y軸,以過(guò)點(diǎn)B且平行于PA的直線為Z軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.則圖中各點(diǎn)坐標(biāo)為:設(shè)外接球的方程為:(x?a)2+(y?b)2+(z?c)2=r2,依次代入四點(diǎn)坐標(biāo)得:,可解出:即外接球球心位置為半徑為所求面積S=20π.

培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一,它可通俗地可表達(dá)為要讓學(xué)生“會(huì)想到,能解決”.所以我們?cè)谄匠＝虒W(xué)中,必須立足基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能,注重提取空間幾何體的基本屬性和幾何特性,抓住幾何關(guān)系的本質(zhì)和規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力.