為數(shù)學(xué)點(diǎn)贊
——名師例析數(shù)學(xué)文化（4）從楊輝三角到二項(xiàng)式定理

■北京市第十二中學(xué)高中部 高慧明

■北京市教育學(xué)院豐臺(tái)分院 張 琦

本刊特邀欄目專家簡(jiǎn)介:

高慧明 首屆全國(guó)十佳班主任,全國(guó)著名數(shù)學(xué)特級(jí)教師,國(guó)家教育部課程改革“全國(guó)先進(jìn)工作者”,全國(guó)著名高考數(shù)學(xué)命題與考試研究專家,國(guó)家教育部“國(guó)培計(jì)劃”全國(guó)中小學(xué)教師培訓(xùn)、班主任培訓(xùn)、校長(zhǎng)培訓(xùn)特邀主講專家,受邀在全國(guó)各地做有關(guān)高考科學(xué)備考、班級(jí)管理等多場(chǎng)專題報(bào)告?，F(xiàn)任教于北京市第十二中學(xué)高中部。

高中數(shù)學(xué)教材人教A版《選修2—3》中用了較大篇幅介紹“楊輝三角”,并在探究與發(fā)現(xiàn)一欄中詳細(xì)介紹了“楊輝三角”中的一些秘密。究其原因,主要是“楊輝三角”蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容,由它可以直觀看出二項(xiàng)式定理的性質(zhì)。同時(shí)“楊輝三角”又是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的研究成果之一,它的發(fā)現(xiàn)顯示了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的卓越智慧和才能。

在介紹這部分內(nèi)容之前,我們先來看看另外一部分大家不是很熟悉的內(nèi)容——筆算開平方。整數(shù),它與3×20的和,再乘以它本身,等于256。

為便于求得a,可用下面的豎式來進(jìn)行計(jì)算:

根號(hào)上面的數(shù)3是平方根的十位數(shù)。將256試除以20×3,得4。由于4與20×3的和64,與4的積等于256,4就是所求的個(gè)位數(shù)a。豎式中的余數(shù)是0,表示開方正好開盡。于是得到1156=342,或 1156=34。

上述求平方根的方法,稱為筆算開平方法,用這個(gè)方法可以求出任何正數(shù)的算術(shù)平方根,它的計(jì)算步驟如下:

1.將被開方數(shù)的整數(shù)部分從個(gè)位起向左每隔兩位劃為一段,用撇號(hào)分開,分成幾段,表示所求平方根是幾位數(shù)。

2.根據(jù)左邊第一段里的數(shù),求得平方根的最高位上的數(shù)(如上面豎式中的3)。

3.從第一段的數(shù)減去最高位上數(shù)的平方,在它們的差的右邊寫上第二段數(shù)組成第一個(gè)余數(shù)(如上面豎式中的256)。

4.把求得的最高位數(shù)乘以20去試除第一個(gè)余數(shù),所得的最大整數(shù)作為試商(3×20除256,所得的最大整數(shù)是4,即試商是4)。

5.用商的最高位數(shù)的20倍加上這個(gè)試商再乘以試商。如果所得的積小于或等于余數(shù),試商就是平方根的第二位數(shù);如果所得的積大于余數(shù),就把試商減小再試(如上面豎式中(20×3+4)×4=256,說明試商4就是平

一、筆算開平方

現(xiàn)在我們都知道,要想求某個(gè)數(shù)的平方根,最簡(jiǎn)單的方法就是用計(jì)算器。但是在計(jì)算器出現(xiàn)之前,古人是怎么求一個(gè)數(shù)的平方根呢?本文做一簡(jiǎn)單介紹。先一起來研究一下,怎樣求 1156,這里1156是四位數(shù),所以它的算術(shù)平方根的整數(shù)部分是兩位數(shù),且易觀察出其中的十位數(shù)是3。于是解決問題的關(guān)鍵在于:怎樣求出它的個(gè)位數(shù)a?為此,我們從a所滿足的關(guān)系式來進(jìn)行分析。

根據(jù)兩數(shù)和的平方公式,可以得到:

1156=(30+a)2=302+2×30a+a2。

所以1156-302=2×30a+a2,即256=(3×20+a)a,這就是說,a是這樣一個(gè)正方根的第二位數(shù))。

6.用同樣的方法,繼續(xù)求平方根的其他各位上的數(shù)。

按照上面步驟求 85264,可得到下面左邊的豎式。

于是得到

如遇開不盡的情況,可根據(jù)所要求的精確度求出它的近似值。例如求的近似值(精確到0.01),可列出上面右邊的豎式,并根據(jù)這個(gè)豎式得到。

二、楊輝三角

上述求平方根的方法是一個(gè)非常有效和高度機(jī)械化的算法,可適用于任意高次方。這種隨乘隨加、能反復(fù)迭代計(jì)算減根變換方程各項(xiàng)系數(shù)的方法,不論是在古代還是現(xiàn)代都有深遠(yuǎn)的意義,而這也剛好是“開方做法本源”的本質(zhì)。我們下面就對(duì)“開方做法本源”進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹。

楊輝是我國(guó)南宋時(shí)期的一位杰出的數(shù)學(xué)家。在他所著的《詳解九章算法》一書中,畫了一張表示二項(xiàng)式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形,稱為“開方做法本源”,現(xiàn)在簡(jiǎn)稱為“楊輝三角”,它是世界的一大重要研究成果。根據(jù)楊輝的自注,這個(gè)三角形并不是楊輝發(fā)明的,因?yàn)樗凇对斀饩耪滤惴ā分斜硎銎洹俺觥夺屾i算書》,賈憲用此術(shù)”。所以,我們也可將其稱為“賈憲三角”。這一三角形的用途主要是開方,或者說解形如xn=A的高次方程。下面以求x3=2018的正根為例加以說明:

由于2018是四位數(shù),可知其立方根在10～100之間,并由于2018大于103且小于203知其立方根的十位數(shù)字為1,故可設(shè)x=10+a,于是有(10+a)3=2018,按楊輝三角的第4行(1,3,3,1),可知103+3×102a+3×10a2+a3=2018,移項(xiàng)有300a+30a2+a3=1018。之后估計(jì)a的值,明顯能估算a大于2小于3,所以設(shè)a=2+b,重復(fù)上述過程,能夠達(dá)到想要的近似值。

為了能夠更好地說明“楊輝三角”的性質(zhì),我們暫時(shí)借用二項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行說明。按圖1排成的三角形每一行的外側(cè)的數(shù)都是1,中間的數(shù)字等于其兩肩的數(shù)字的和。這一三角形最早發(fā)現(xiàn)于我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《詳解九章算法》一書(1261年),在我國(guó)通常稱為楊輝三角。

圖1

首先,讓我們來看看楊輝三角的某些性質(zhì)。

1.項(xiàng)數(shù):在楊輝三角的第n行的項(xiàng)數(shù)為(n+1)。

2.系數(shù):在楊輝三角的第n行,各項(xiàng)的系數(shù)分別為:

楊輝三角的第n行的系數(shù)和為C0n+

3.總項(xiàng)數(shù):在楊輝三角形的n行及以上,

4.通項(xiàng)公式:

令Crn表示第n行第(r+1)個(gè)數(shù),則這個(gè)

5.最大值:

在楊輝三角的第n行中:

當(dāng)n=2m(m∈N*)時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為,即中間的一項(xiàng)最大;

當(dāng)n=2m+1(m∈N*)時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為,即中間的兩項(xiàng)最大。

我們通過一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來體會(huì)一下“楊輝三角”的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

例1 如圖2所示,從甲地到乙地共有多少種不同的最近走法?

圖2

解析:為了討論方便,我們采取歸納猜想的方法進(jìn)行求解。首先看最簡(jiǎn)單的形式如圖3?？芍獜募椎氐揭?地有2種走的方法。

之后我們可以將甲乙兩地之間的距離加大,到每個(gè)交叉點(diǎn)的走法剛好是如圖4所示標(biāo)記的數(shù)字。

圖3

圖4

圖4所示從甲到每一個(gè)交叉點(diǎn)的走法與楊輝三角很相似,由此當(dāng)我們遇到上面所示的路徑的問題時(shí),我們可以根據(jù)楊輝三角來確定它到另一端的走法。其實(shí)這個(gè)圖形在西方數(shù)學(xué)史上也有記載,它是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡發(fā)現(xiàn)的,被稱為“帕斯卡三角形”。

三、帕斯卡三角形

說到“帕斯卡三角形”,一定不能不提的就是概率論。

分賭注問題是概率論歷史上最著名的問題。1654年,職業(yè)賭徒德·梅累向法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)使他苦惱很久的分賭本問題:甲、乙兩賭徒賭技相同,各出賭注50法郎,每局中無平局。約定誰先贏滿5局,誰就獲得全部賭金。賭了半天,A贏了4局,B贏了3局,時(shí)間很晚了,他們都不想再賭下去了。那么,這個(gè)錢應(yīng)該怎么分?是不是把錢分成7份,贏了4局的就拿4份,贏了3局的就拿3份呢?或者,因?yàn)樽钤缯f的是滿5局,而誰也沒達(dá)到,所以就一人分一半呢?

這個(gè)問題難住了帕斯卡,他苦苦思考了兩三年,才算有了點(diǎn)眉目。于是他寫信給自己的好友費(fèi)馬,兩人討論結(jié)果,取得了一致的意見:既不是按4∶3分配,也不是按一人一半分配,而應(yīng)該是按3∶1進(jìn)行分配。

帕斯卡給費(fèi)馬的信中寫道:由于第一人已得4分,另一人只有3分,他們擲下次時(shí),若第一人贏了,他將獲得全部100法郎;若另一人贏了,他們的比分是4∶4,在這種情況下分賭注的話,每人將拿回自己所下的賭金,即50法郎。綜上,第一個(gè)人贏了,將獲得100法郎,如果他輸了,50法郎將屬于他。假設(shè)他不愿意繼續(xù)賭下去而要分賭金的話,第一個(gè)人應(yīng)該說:我一定能得50法郎,即使我下一輪輸了,也應(yīng)該把它們給我。至于另外的50法郎,也許我得到它們,也許你得到它們,機(jī)會(huì)是均等的。所以在分給我50法郎后,讓我們均分另外的50法郎吧。這樣,他將得到75法郎,而另外一個(gè)人只能得到25法郎。

如果是誰贏滿6局誰就獲得全部賭金,同樣甲贏了4局,乙贏了3局,如何分配賭資呢?費(fèi)馬的解法是,如果繼續(xù)賭局,最多只要再賭4輪便可決出勝負(fù),如果用“甲”表示甲方勝,用“乙”表示乙方勝,那么最后4輪的結(jié)果,不外乎以下16種排列:

甲甲甲甲 甲甲乙乙 甲乙乙乙

甲甲甲乙 甲乙甲乙 乙甲乙乙

甲甲乙甲 甲乙乙甲 乙乙甲乙

甲乙甲甲 乙乙甲甲 乙乙乙甲

乙甲甲甲 乙甲乙甲 乙乙乙乙

乙甲甲乙

甲方勝 乙方勝

在這16種排列中,當(dāng)甲出現(xiàn)2次或2次以上時(shí),甲方獲勝,這種情況共有11種;當(dāng)乙出現(xiàn)3次或3次以上時(shí),乙方勝出,這種情況共有5種。因此,賭金應(yīng)當(dāng)按11∶5的比例分配。

而帕斯卡解決這個(gè)問題則利用了他的“算術(shù)三角形”的數(shù)陣(見圖5,轉(zhuǎn)個(gè)觀察角度可以發(fā)現(xiàn),其實(shí)就是一個(gè)楊輝三角,每條對(duì)角線上數(shù)就是二項(xiàng)展開式逐項(xiàng)的系數(shù),帕斯卡還用組合數(shù)意義對(duì)其進(jìn)行了解釋),歐洲人常稱之為“帕斯卡三角形”。

圖5

在一般情況下,如果甲需要再贏a局獲勝,乙需要再贏b局獲勝,那么就可以選擇“算術(shù)三角形”中第a+b條對(duì)角線,并求出這條對(duì)角線上前a個(gè)元素的和與后b個(gè)元素的和,賭注再按所得和之比來分配。由圖5可知,三角形第五行上的數(shù)恰好是甲出現(xiàn)次數(shù)的組合數(shù),其中1是甲出現(xiàn)4次的組合數(shù),4是甲出現(xiàn)3次的組合數(shù),……因此賭金應(yīng)按照11∶5的比例分配,這與費(fèi)馬得到的結(jié)果是完全一致的。

后來,數(shù)學(xué)家雅可布·伯努利將其推廣到兩個(gè)水平不同,獲勝機(jī)會(huì)不均等的情形,而結(jié)果與二項(xiàng)式定理又有著結(jié)構(gòu)上的驚人的相似:如果甲獲勝的概率為p,乙獲勝的概率為1-p,則甲在n局中能夠勝r局的概率為Crnpr(1-p)n-r。這就是教材中介紹的“二項(xiàng)分布”。

四、二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式定理,又稱牛頓二項(xiàng)式定理。牛頓于1664年提出之后,歷經(jīng)幾個(gè)世紀(jì)的應(yīng)用與發(fā)展,其經(jīng)典性不言而喻。歷史上的二項(xiàng)式定理,和我們現(xiàn)在教科書中介紹的還是有些區(qū)別的,下面進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。

牛頓二項(xiàng)式用現(xiàn)在的式子及記號(hào)表示為:

上式對(duì)于正整數(shù)α顯然成立,這也就是我們高中階段介紹的二項(xiàng)式定理。牛頓猜想對(duì)于任意的α∈R,上式都成立。萊布尼茨請(qǐng)牛頓說明是如何得到的,牛頓在信件中詳細(xì)說明了其發(fā)現(xiàn)過程。

牛頓注意到對(duì)n取偶數(shù)時(shí),列出了不同次冪的系數(shù):

牛頓發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律:將每一行中的第i項(xiàng)與第i-1項(xiàng)相加即可得到下一行中的第i項(xiàng)。

接下來,牛頓考慮n為奇數(shù)的情況。牛頓仔細(xì)研究了其中數(shù)字的形式,直到可以讀懂字里行間的意思。牛頓發(fā)現(xiàn)了其中規(guī)律:

上面“階梯”的第1列是:1;

第2列是:n;

……

以此類推。

表1

按照上述方法,牛頓得到了:

對(duì)上式微分,有:

牛頓清楚地知道他是如何得到上述式子的,他還通過其他方法對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)都是正確的,從而,使他確信所得結(jié)果正確。由此,牛頓得到其著名的公式:

牛頓還運(yùn)用這個(gè)“牛頓二項(xiàng)式定理”處理了許多有趣的級(jí)數(shù),比如,他由此推出了反正弦函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式及正弦函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。

當(dāng)α為正整數(shù)時(shí),就是我們高中階段介紹的二項(xiàng)式定理。下面我們通過幾個(gè)例題體會(huì)一下相關(guān)知識(shí)在試題中是怎么體現(xiàn)其作用的。

例2 (2004年上海春季高考卷)如圖6,在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中,第____行中從左到右第14個(gè)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3。

圖6

解析:本題是關(guān)于“楊輝三角”的一道高考題。楊輝三角中蘊(yùn)含著許多有趣的數(shù)量關(guān)系,與排列、組合和概率的關(guān)系非常密切。因此,理解和掌握楊輝三角的一些性質(zhì),對(duì)發(fā)現(xiàn)某些數(shù)學(xué)規(guī)律是很有幫助的。

由圖6我們能發(fā)現(xiàn),第1行中的數(shù)是,;第2行中的數(shù)是;第3行中的數(shù)是;…;第n行中的數(shù)是。設(shè)第n行中從左到右第14個(gè)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3,則=2∶3,解得n=34。

例3 觀察下列數(shù)表,問此表最后一個(gè)數(shù)是什么,并說明理由。

解析:本題是一道以“楊輝三角”為背景的一道考題。通過觀察找出每一行數(shù)據(jù)間的相互聯(lián)系以及行與行間數(shù)據(jù)的相互聯(lián)系。然后對(duì)數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學(xué)式子將它表達(dá)出來,使問題得解。因?yàn)榈谝恍杏?00個(gè)數(shù),以后每一行都比前一行少一個(gè)數(shù),因此共有100行。

通過觀察可以得到:

第1行首尾兩項(xiàng)之和為101;

第2行首尾兩項(xiàng)之和為101×2;

第3行首尾兩項(xiàng)之和為101×22;

第4行首尾兩項(xiàng)之和為101×23;

……

第99行首尾兩項(xiàng)之和為101×298。

因?yàn)閺牡?行開始每一個(gè)數(shù)字是它肩上兩個(gè)數(shù)字之和,所以最后一個(gè)數(shù)字即第100行的數(shù)字是它肩上第99行首尾兩個(gè)數(shù)字之和,即為101×298。