異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)下含有相關(guān)系數(shù)的SIR傳染病模型的建立和分析

楊嬋 張菊平

摘要：在疾病傳播過程中，染病者和易感者有多大的傾向接觸是傳染病是否流行的關(guān)鍵因素。為了研究相關(guān)系數(shù)在疾病傳播過程中的動(dòng)力學(xué)行為以及其對于傳染病傳播動(dòng)力學(xué)特性的影響，將狀態(tài)節(jié)點(diǎn)之間的相關(guān)系數(shù)作為動(dòng)態(tài)變量，利用二元組的反卷積逼近方法，在異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上建立了含有相關(guān)系數(shù)的SIR傳染病動(dòng)力學(xué)模型，分析了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性，給出了染病者與易感者之間相關(guān)系數(shù)存在正值的條件。在泊松分布下，模擬出了平衡狀態(tài)下相關(guān)系數(shù)的三維變化圖。通過生物學(xué)意義，用概率的方法，給出了系統(tǒng)的最終規(guī)模。結(jié)果表明，通過分析含有相關(guān)系數(shù)的SIR傳染病模型，得到SIR傳染病模型復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性態(tài)，即當(dāng)染病者數(shù)量趨于零時(shí)，染病者與易感者之間的相關(guān)系數(shù)不為零。研究模型在控制傳染病傳播的動(dòng)力學(xué)研究方面具有一定的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：微分動(dòng)力系統(tǒng)；相關(guān)系數(shù)；反卷積逼近；最終規(guī)模；平衡點(diǎn)

中圖分類號(hào)：O175.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Adoi： 10.7535/hbgykj.2018yx01002

Establishment and analysis of SIR epidemic model with correlation coefficient under heterogeneous network

YANG Chan， ZHANG Juping

（Complex Systems Research Center， Shanxi University， Taiyuan， Shanxi 030006， China）

Abstract：In the course of disease transmission， how much contact between the infected and the susceptible is key factor of infectious diseases prevalence. Therefore， in order to study the dynamic behavior of correlation coefficients and its influence on the dynamics of disease transmission， with the correlation coefficient between the state nodes as dynamic variables， the SIR epidemic dynamic models with correlation coefficient is constructed by using deconvolution approximation method on heterogeneous network. The existence of each equilibrium of the model is analyzed， and the condition for the existence of positive correlation coefficients between the infected and susceptible individuals is derived. In the Poisson distribution， the threedimensional variation plot of the correlation coefficient under the equilibrium state is simulated. Through biological meaning， the final size of the system is given by probabilistic method. Through analyzing the SIR epidemic model with correlation coefficient， the complicate dynamics behavior of the SIR epidemic model is obtained， namely when the infected individuals tends to be zero， the correlation coefficient between the infected and susceptible individuals is not zero. The study model has reference value in the dynamic research of controlling infectious disease transmission.

Keywords：differential dynamical systems； correlation coefficient； deconvolution approximation； the final size； equilibrium point

研究傳染病的傳播機(jī)制，有效控制傳染病的流行一直是研究者們不斷研究的課題。傳染病動(dòng)力學(xué)是通過數(shù)學(xué)模型從理論上分析和研究疾病傳播形式的科學(xué)。因?yàn)槿后w水平的疾病傳播主要通過社會(huì)接觸網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行，所以利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論研究疾病傳播與實(shí)際更加貼合。

采取復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和傳染病結(jié)合的方法已成為傳染病動(dòng)力學(xué)建模的主要趨勢。 在大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)中，特別是社會(huì)網(wǎng)絡(luò)不同節(jié)點(diǎn)的度有非常大的差異，網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性發(fā)揮了很大的作用，因此，異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中傳染病動(dòng)力學(xué)模型的研究變得尤為重要。VOLZ[1]基于概率母函數(shù)封閉方法建立了SIR傳染病模型；HOUSE等[2]給出了異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中SIS二元組逼近模型。MILLER[3]在文獻(xiàn)[1]模型研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步簡化了模型。在對網(wǎng)絡(luò)傳染病模型的研究中，網(wǎng)絡(luò)的特性如何影響傳染病的流行也是十分重要的一方面。相關(guān)系數(shù)作為描述網(wǎng)絡(luò)相關(guān)性的一種特征量，刻畫了網(wǎng)絡(luò)中具有某種特征的個(gè)體之間是否更傾向于相互連接的現(xiàn)象，例如，社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的社會(huì)語種、種群、年齡等特征都是具有相關(guān)性的。對于傳染病而言，在染病期內(nèi)，染病者和易感者之間有多大的接觸傾向，無疑是傳染病是否流行的關(guān)鍵因素。KEELING[4]給出了狀態(tài)節(jié)點(diǎn)之間相關(guān)系數(shù)的定義，通過對相關(guān)系數(shù)的動(dòng)力學(xué)分析，給出了SIR傳染病動(dòng)力學(xué)模型的基本再生數(shù)；NEWMAN[56]給出了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度的同配系數(shù)的定義和相關(guān)結(jié)論；KEELING等[7]結(jié)合相關(guān)系數(shù)建立了兒童疾病的相關(guān)性模型；BAUCH[8]通過引入相關(guān)系數(shù)比較了不同逼近方法的精確性；KIM等[910]推導(dǎo)出了HIV染病者與易感者之間的相關(guān)系數(shù)，定義了男女易感者與染病者之間的相關(guān)系數(shù)，進(jìn)一步研究了HIV性傳播疾病；秦文惠等[11]引入相關(guān)系數(shù)，研究了具有交叉感染的雙菌株模型。另外，傳染病流行的最終規(guī)模也是傳染病研究的重要方面[1215]，SHERBORNE等[13]研究了多階段傳播對于疾病峰值和最終規(guī)模的影響。在本研究中，筆者考慮網(wǎng)絡(luò)的度分布，通過將狀態(tài)之間的相關(guān)系數(shù)作為變量，建立了含有相關(guān)系數(shù)的SIR傳染病動(dòng)力學(xué)模型，并且給出了疾病的最終規(guī)模。

1異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中含有相關(guān)系數(shù)的SIR 傳染病動(dòng)力學(xué)模型

筆者考慮異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)下含有相關(guān)系數(shù)的SIR傳染病模型，用[Sk]=[Sk]（t），[Ik]=[Ik]（t），[Rk]=[Rk]（t）和[Nk]=[Nk]（t）分別表示t時(shí)刻，網(wǎng)絡(luò)中度為k的易感者數(shù)量、染病者數(shù)量、恢復(fù)者數(shù)量以及總的節(jié)點(diǎn)數(shù)，[SkI]（t）=[SkI]表示t時(shí)刻第1節(jié)點(diǎn)狀態(tài)為易感者且度為k，第2個(gè)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)為染病者的二元組數(shù)量，則有：

式中：λ表示一個(gè)易感者和一個(gè)染病者接觸被傳染的概率；γ表示恢復(fù)率系數(shù)，k=0，1，2，…，∞，因?yàn)榍?個(gè)方程中不含有[Rk]，則只需考慮前2個(gè)方程。

根據(jù)基于節(jié)點(diǎn)的異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)的二元組反卷積逼近[1]，有：

2最終規(guī)模

由式（4）可知：

其中θ∞=θ（∞），則為了計(jì)算疾病的最終規(guī)模，必須計(jì)算出θ∞值。

由θ（t）=[S1]（t）/N1的定義，θ（t）可表示t時(shí)刻，任意一條連接到易感者節(jié)點(diǎn)的邊未發(fā)生感染的概率，故θ∞表示任意一條連接到易感者節(jié)點(diǎn)的邊從未發(fā)生感染的概率，θk∞表示度為k的易感者節(jié)點(diǎn)從未發(fā)生感染的概率。

定義FI為一個(gè)染病者傳染病需要的時(shí)長，F(xiàn)R為一個(gè)染病者恢復(fù)需要的時(shí)長，假設(shè)傳染與恢復(fù)的時(shí)間是相互獨(dú)立的，則隨機(jī)選擇一個(gè)易感節(jié)點(diǎn)， 記為m，則m被一個(gè)染病者鄰居感染概率[1516]為P（FI≤FR），且

定義ω（t）為t時(shí)刻m節(jié)點(diǎn)的一個(gè)鄰居未被感染的概率，因?yàn)檫@個(gè)鄰居度k的概率為kp（k）/〈k〉，又這個(gè)鄰居只能從除了節(jié)點(diǎn)m以外的其他邊傳染，故有：

3結(jié)語

利用反卷積逼近方法，引入節(jié)點(diǎn)狀態(tài)之間的相關(guān)系數(shù)，將狀態(tài)之間的相關(guān)系數(shù)作為變量，建立了含有相關(guān)系數(shù)的SIR傳染病動(dòng)力學(xué)模型，將網(wǎng)絡(luò)中的高維性降低，提高了模型的可分析性。在以前的研究中，是對一些量進(jìn)行近似分析，分析不夠完整。本研究考慮了網(wǎng)絡(luò)的度分布，分析無病平衡點(diǎn)的存在性，給出了平衡狀態(tài)下易感者和染病者之間的相關(guān)系數(shù)存在正值的條件，在泊松分布下，模擬出了狀態(tài)之間相關(guān)系數(shù)的變化圖，更直觀地顯示了無病平衡點(diǎn)的存在性，并且利用θ的生物學(xué)意義，用概率方法給出了系統(tǒng)的最終規(guī)模，對于控制疾病的規(guī)模有很大的意義。

本研究假設(shè)了總?cè)丝跀?shù)保持常數(shù)，沒有考慮出生死亡，如果在模型中加入這些因素將會(huì)產(chǎn)生其他的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。本研究發(fā)現(xiàn)易感者與易感者之間的相關(guān)系數(shù)與易感者與染病者的相關(guān)系數(shù)存在著某種關(guān)系，之后將結(jié)合具體的疾病以及數(shù)據(jù)，探討是否能得到兩者之間的具體表達(dá)關(guān)系，這對于傳染病動(dòng)力學(xué)的發(fā)展具有研究意義。

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