帶有擾動和阻尼項的波動方程的精確能控性

郭利軍，張建文，王銀珠

(1.太原理工大學(xué) 力學(xué)學(xué)院，太原 030024；2.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

在過去的幾十年里，精確能控性問題受到相當(dāng)多學(xué)者的關(guān)注，并且取得了許多研究成果，文獻(xiàn)[1]研究了偏微分方程的控制和穩(wěn)定問題，用HUM(希爾伯特唯一性方法)研究波動方程精確能控性首次出現(xiàn)在文獻(xiàn)[2].文獻(xiàn)[3]詳細(xì)地介紹用乘子法討論線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和精確能控性，文獻(xiàn)[4]用黎曼幾何討論了變系數(shù)波動方程的精確能控性，也有一些學(xué)者討論非線性方程的能控性問題如文獻(xiàn)[5-6]，文獻(xiàn)[7]證明了阻尼足夠小的情況下波動方程的精確能控性，受以上成果的啟發(fā)我們討論一類帶有擾動項和阻尼項的波動方程的精確能控性。

(1)

在陳述主要結(jié)果之前，先介紹幾個與證明有關(guān)的幾個引理。

引理1[10]如果M是帶邊的緊流形,X是M上光滑的向量場,v是M邊界上指向外部的法向量,則下式成立,

(2)

引理2[10]如果M是帶邊的緊流形,u是光滑函數(shù),X是M上光滑的向量場,v是M邊界上指向外部的法向量,則下式成立,

(3)

引理3[10]如果M是帶邊的緊流形,對于u,υ∈C∞(M),下式成立,

(4)

1 主要結(jié)果

y(T)=w0和y'(T)=w1.

(5)

記號L,P0,λ的含義將在證明中給出,為了簡化一些計算,讓w0=w1=0,這樣,將證明系統(tǒng)(1)是精確零控的。事實上,對于部分波動方程來說,精確能控和精確零控是等價的。

由于間接處理精確能控問題比較容易,因此考慮系統(tǒng)(1)的對偶系統(tǒng)

(6)

接下來,考慮

(7)

有解y,且(y,y')∈L2(Ω)×H-1(Ω).

(8)

〈，〉被定義為〈(f1,f2),(g1,g2)〉L2(Ω)×L2(Ω)=(f1,g1)L2(Ω)+(f2,g2)L2(Ω).

現(xiàn)在,為了簡化不等式(8),需定義系統(tǒng)(6)的能量為：

(9)

令

(10)

易證存在C>0,使得

E0(t)≤E(t)≤CE0(t) .

(11)

因為

因此E(t)≥E(0)；另一方面,

故有

E(0)≤E(t)≤e2Q tE(0),0≤t≤T.

(12)

易證存在正的常數(shù)C1,C2使得,

C1E0(0)≤E0(t)≤C2E0(0),0≤t≤T.

(13)

按照〈，〉的定義,則有

(14)

根據(jù)系統(tǒng)(7),y(T)=0,y'(T)=0,

(15)

(16)

通過式(10)能得到以下等式。

(17)

結(jié)合式(14)-式(17),可以把不等式轉(zhuǎn)化成以下形式：

(18)

為了證明不等式 (18),將用到以下記號：

對于固定點x0∈Rn,令

〈·〉這里表示Rn中的內(nèi)積,v是邊界Γ上指向外部的法向量。

現(xiàn)在首先考慮不等式(18)的右邊,并且得到如下結(jié)果。

(19)

證明：用H(u)乘以u",然后在(0,T)×Ω上積分

(20)

用H(u)乘Δu-p(x)u+q(x)u',利用引理1和引理2,可以推導(dǎo)

(21)

接下來,在(0,T)×Ω上積分

(22)

利用u"-Δu+p(x)u-q(x)u'=0,有

(23)

用u乘u"=Δu-p(x)u+q(x)u'利用格林公式,得到如下形式,

然后在(0,T)×Ω上積分,再重新組合,有

(24)

把等式(24)插入式(23)當(dāng)中,得到

〈H·v〉)dΓdt=[(u'(u',u)〗|T0+∫T0∫Ω|u|2dxdt+∫Ωn-12p(x)u2+p(x)H(u)udxdt-∫T0∫Ωn-12q(x)u'u+q(x)H(u)u'dxdt=[(u'(u',u)〗|T0+12∫T0∫Ω(u')2+'u+q(x)H(u)u'dxdt .

(25)

作為結(jié)果,則有下列等式

(26)

另一方面,縮減式(25)的左面,得到如下不等式。

(27)

結(jié)果

(28)

(29)

(30)

利用不等式(28)-(30),放大不等式(27)的右邊,能推斷如下不等式

(31)

根據(jù)式(13),讓

不等式(19)成立。

然后考慮不等式(18)的左邊,為了方便,給出如下概念,

λ0是使

(32)

成立的最大常數(shù)

令

(33)

不等式(18)的左邊被詳細(xì)地陳述如下。

當(dāng)T≥T0時，系統(tǒng)(6)的解滿足不等式

(34)

證明：重新組合等式 (25),縮減它的右邊,擴大它的左邊,得到如下不等式

(35)

現(xiàn)在,首先考慮

參考式(32),當(dāng)n≥2時，

(36)

當(dāng)n=1時,

(37)

結(jié)合式(33),可以得到如下不等式

(38)

(39)

(40)

(41)

2 定理1的證明

〈Λ(u0,u1),(U0,U1)〉L2×H-1=0 .

(42)

(u1,y1)L2(Ω)=〈(u0,u1),J(y0,y1)〉L2(Ω)×L2(Ω).

(43)

(44)

：

[1] RUSSELL D J.Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations:recent progress and open questions[J].Siam Review,1978,20(4):639-739.

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