高斯白噪聲激勵(lì)下粘彈性碰撞系統(tǒng)的穩(wěn)定性

謝秀峰，李俊林，劉 迪

(1.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024；2.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，太原 030006)

隨著新材料、新結(jié)構(gòu)的應(yīng)用發(fā)展，粘彈性材料[1]被廣泛用于航空航天、造船、汽車(chē)、鐵路、建筑、紡織等行業(yè)。粘彈性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的研究具有重要的理論意義和工程意義，引起了越來(lái)越多學(xué)者的重視。BISHOP et al[2]討論了具有粘彈阻尼船舶模型的響應(yīng)。ADHIKARI et al[3]研究了粘彈阻尼的線(xiàn)性振子的特征值和定性動(dòng)力學(xué)特征。噪聲廣泛存在于實(shí)際工程中，其對(duì)系統(tǒng)的影響不容忽視，所以研究隨機(jī)激勵(lì)下粘彈性系統(tǒng)的相關(guān)問(wèn)題受到很多學(xué)者的關(guān)注[4-6]。ARIARATNAM[7]應(yīng)用隨機(jī)平均方法研究了線(xiàn)性粘彈性系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性。XIE[8]研究了有界噪聲激勵(lì)下二維粘彈性系統(tǒng)的矩Lyapunov穩(wěn)定性。

由碰撞、干摩擦等非光滑因素增加了動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜性[9]，光滑系統(tǒng)的很多理論與成果不能直接應(yīng)用到非光滑系統(tǒng)的分析當(dāng)中。DIMENTBERG et al[10]利用Dirac delta函數(shù)和符號(hào)函數(shù)對(duì)非光滑系統(tǒng)進(jìn)行光滑化處理，將碰撞系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為不含碰撞的動(dòng)力系統(tǒng)，然后用能量平均法，分析了碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)問(wèn)題。FENG et al[11]借助平均Poincare映射研究了隨機(jī)激勵(lì)下的線(xiàn)性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)。ZHAO et al[12]研究了隨機(jī)激勵(lì)下粘彈性碰撞系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

綜上所述，對(duì)于粘彈性碰撞系統(tǒng)的研究較少，因此有必要研究隨機(jī)噪聲作用下粘彈性碰撞系統(tǒng)的響應(yīng)。本文研究了高斯白噪聲激勵(lì)下粘彈性碰撞系統(tǒng)的矩穩(wěn)定性，用恢復(fù)系數(shù)來(lái)描述粘彈性碰撞前后的能量損失，結(jié)合Zhuravlev變換和隨機(jī)平均法給出了系統(tǒng)任意階矩Lyapunov指數(shù)。并討論了恢復(fù)系數(shù)和粘彈性系數(shù)對(duì)系統(tǒng)矩穩(wěn)定性的影響。

1 模型分析

考慮受高斯白噪聲激勵(lì)的粘彈性碰撞系統(tǒng)可表述為

(1)

式(1)中的粘彈性效應(yīng)可表示為：

(2)

(3)

2 隨機(jī)平均法

系統(tǒng)(3)的響應(yīng)可近似表示為:

x=A(t)cosΦ(t) .

(4)

(5)

其中，Φ(t)=ωt+φ(t)，且A(t),Φ(t),φ(t)都是隨機(jī)過(guò)程。系統(tǒng)(3)可寫(xiě)為關(guān)于幅值A(chǔ)和相位φ的隨機(jī)微分關(guān)系如下:

(6)

(7)

由文獻(xiàn)[13]可知，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)變量X(t)，其矩穩(wěn)定性可以用矩Lyapunov指數(shù)Λ(p)表示

(8)

式中：E[·]表示數(shù)學(xué)期望，‖·‖2表示二階范數(shù)，系統(tǒng)解p階矩漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是Λ(p)<0，并且Λ'(0)等于系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)

(9)

而系統(tǒng)的幾乎必然穩(wěn)定的充分必要條件是λ<0.

為了求出系統(tǒng)的p階矩Lyapunov指數(shù)Λ(p)，作變換P(t)=Ap(t),并解式(6)和式(7)，得P與φ的微分關(guān)系

(10)

(11)

(12)

其中W(t)是標(biāo)準(zhǔn)Wiener過(guò)程，并且

推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)附錄A.

選取Maxwell型粘彈性核函數(shù)

(13)

經(jīng)過(guò)式(A3)和式(A4)的變換，得

(14)

(15)

(16)

(17)

得到系統(tǒng)的p階矩Lyapunov指數(shù)為

(18)

最大Lyapunov指數(shù)為

(19)

3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)式(18)的解析式給出相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果，可分析恢復(fù)因子、噪聲強(qiáng)度和粘彈性參數(shù)對(duì)系統(tǒng)(1)隨機(jī)穩(wěn)定性的影響。圖1給出系統(tǒng)響應(yīng)的矩Lyapunov指數(shù)Λ(p)作為階數(shù)p的函數(shù)，隨不同的恢復(fù)因子r和噪聲強(qiáng)度σ變化的函數(shù)曲線(xiàn)，其余系統(tǒng)參數(shù)為：γ1=κ1=1,γ2=κ2=0.5,β=0.5,ω=1.0,ε=0.1.實(shí)線(xiàn)表示由式(18)得到的解析解，虛線(xiàn)由Monte Carlo模擬的數(shù)值結(jié)果。該圖表明，Λ(p)是p的非線(xiàn)性函數(shù)，在Λ(p)<0的區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)的p階矩漸近穩(wěn)定。Λ(p)隨恢復(fù)因子r的增大而增大，即r越大系統(tǒng)的矩穩(wěn)定性越弱。Λ(p)隨噪聲強(qiáng)度σ的增大而增大，即噪聲強(qiáng)度越大系統(tǒng)的矩穩(wěn)定性越弱。

圖1 系統(tǒng)(1)的p階矩Lyapunov指數(shù)變化曲線(xiàn)Fig.1 The pth moment Lyapunov exponent of system (1)

圖2、3分別表示矩Lyapunov指數(shù)Λ(p)隨粘彈性特征參數(shù)γ,κ和階數(shù)p的變化三維圖。對(duì)于p>0，隨粘彈性參數(shù)γ增大穩(wěn)定區(qū)域變大，說(shuō)明粘彈性越強(qiáng)有助于系統(tǒng)的穩(wěn)定；而當(dāng)松弛時(shí)間減小，穩(wěn)定區(qū)域變窄，表明長(zhǎng)的松弛時(shí)間有助于系統(tǒng)的穩(wěn)定。

圖2 系統(tǒng)響應(yīng)的矩Lyapunov指數(shù)與粘彈性參數(shù)γ的變化關(guān)系Fig.2 Moment Lyapunov exponent of system with viscoelastic parameter γ

圖3 系統(tǒng)響應(yīng)的矩Lyapunov指數(shù)與粘彈性參數(shù)κ的變化關(guān)系Fig.3 Moment Lyapunov exponent of system with viscoelastic parameter κ

圖4給出了矩Lyapunov指數(shù)Λ(p)與噪聲強(qiáng)度σ和階數(shù)p之間的函數(shù)關(guān)系。該圖表明，隨著噪聲強(qiáng)度σ的增大，矩指數(shù)增大，因此，噪聲強(qiáng)度增大使得系統(tǒng)響應(yīng)的矩穩(wěn)定性減弱。

圖4 系統(tǒng)響應(yīng)的矩Lyapunov指數(shù)與噪聲強(qiáng)度σ的變化關(guān)系Fig.4 Moment Lyapunov exponent of system with noise intensity of σ

4 結(jié)論

本文研究了受高斯白噪聲激勵(lì)下粘彈性碰撞系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性。首先，應(yīng)用Zhuravlev變換將粘彈性碰撞系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為非碰撞系統(tǒng)，然后用隨機(jī)平均法得到系統(tǒng)的隨機(jī)微分方程，求得了矩Lyapunov指數(shù)，最后通過(guò)解析結(jié)果與Monte Carlo模擬數(shù)值結(jié)果的分析，得到恢復(fù)因子、噪聲強(qiáng)度、粘彈性參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。研究表明，恢復(fù)因子越大系統(tǒng)穩(wěn)定性越弱；系統(tǒng)的穩(wěn)定性隨噪聲強(qiáng)度的增大而減弱；隨粘彈性參數(shù)的增大，穩(wěn)定區(qū)域增大，隨松弛時(shí)間增大，穩(wěn)定區(qū)域變窄。

附錄A

(A1)

其中

R(τ)=E[ξ(τ)ξ(t+τ)]為高斯白噪聲ξ(t)的相關(guān)函數(shù).

(A2)

應(yīng)用變量代換s=t-τ和改變積分次序，得

(A3)

同理可得

(A4)

：

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