平均間隙法的一種改進算法

滕煥樂 聶虎嘯 劉成龍

(1.中鐵第四勘察設計院集團有限公司，湖北武漢 430063；2.中國鐵路設計集團有限公司，天津 300142；3.西南交通大學地球科學與環(huán)境工程學院，四川成都 610031)

變形監(jiān)測網(wǎng)穩(wěn)定性分析的基準點一般應遠離變形體且地質(zhì)情況穩(wěn)定[1，4]，這樣可以保證每次測量都能得到監(jiān)測點相對于同一個位置基準的位移量。理論上，根據(jù)基準點提供的固定位置基準解算監(jiān)測點的變形量是可靠的，然而由于多種原因，基準點也有可能發(fā)生位移，如果仍然采用發(fā)生位移的基準點進行測量與平差，則不能準確地反映形變發(fā)生的實際情況，從而得出錯誤的變形分析結(jié)果和結(jié)論。因此，在變形監(jiān)測網(wǎng)平差計算之前，對變形監(jiān)測基準點進行穩(wěn)定性分析至關重要。

目前，對變形監(jiān)測網(wǎng)進行穩(wěn)定性分析的主要方法有t檢驗法、平均間隙法等。t檢驗法適用于圖形簡單、點數(shù)較少的監(jiān)測網(wǎng)[2]。平均間隙法的應用則更廣，常用于監(jiān)測網(wǎng)穩(wěn)定性的顯著性檢驗。

1 平均間隙法的傳統(tǒng)算法

1.1 整體檢驗

平均間隙法是變形監(jiān)測網(wǎng)穩(wěn)定性分析的一種常用方法。首先通過整體檢驗，對變形監(jiān)測網(wǎng)的穩(wěn)定情況進行判斷，若判斷結(jié)果顯示網(wǎng)中無動點，則穩(wěn)定性分析結(jié)束；反之，則應通過后續(xù)的不穩(wěn)定點搜索找出網(wǎng)中的動點。

1.2 不穩(wěn)定點搜索

若整體檢驗沒有通過，則意味著網(wǎng)中存在不穩(wěn)定點，需要找出這些不穩(wěn)定點。首先將網(wǎng)中所有點分為穩(wěn)定點F組和不穩(wěn)定點M組，同時將坐標間隙ΔX以及間隙的權(quán)陣PΔX分組，具體分組方法如下[6]

(1)

(2)

由此獲得

(3)

令

(4)

則F組點穩(wěn)定性檢驗的統(tǒng)計量為

(5)

式中，μ2為兩期觀測的聯(lián)合單位權(quán)方差，其自由度為f。

若F1F(fF，f)，則F組中含有不穩(wěn)定點。

1.3 傳統(tǒng)算法的不足

(1)過程復雜計算量大

在進行過一次搜索后，之后的每次搜索計算，需要提取至少兩個點的間隙權(quán)陣信息，該項工作較提取一個點的間隙權(quán)陣復雜，且計算量較大，影響穩(wěn)定性分析的效率。

(2)數(shù)據(jù)重復使用

傳統(tǒng)做法是將已搜索出的不穩(wěn)定點再次納入不穩(wěn)定點組，進行其他不穩(wěn)定點的搜索，數(shù)據(jù)重復使用。

(3)循環(huán)性不強編程計算較為復雜

平均間隙法的傳統(tǒng)算法循環(huán)性不強，按照其算法原理進行編程計算較為復雜，影響算法效率。

2 平均間隙法的改進算法

2.1 不穩(wěn)定點的搜索

利用傳統(tǒng)算法進行第一次搜索后，確定監(jiān)測網(wǎng)的t個點中第i點為可能的不穩(wěn)定點，改進后的方法是不再將i點納入第二次及之后搜索的不穩(wěn)定點組中，而是剔除i點，將剩余的t-1個點視為整體。依次將t-1個點作為不穩(wěn)定點組，計算其不穩(wěn)定性指標，將其中最大的點視為不穩(wěn)定點，然后再檢驗其余點所構(gòu)成網(wǎng)的圖形一致性。若第二次搜索后其余點的圖形一致性通過檢驗，則穩(wěn)定性檢驗結(jié)束。若未通過檢驗，則需要進行第三次甚至更多次的搜索。第三次及之后的搜索與第二次搜索一樣，亦不考慮已搜索出的不穩(wěn)定點，其搜索過程與傳統(tǒng)算法的第一次搜索一致，每搜索出一個動點后就對剩余的點進行圖形一致性的檢驗。重復上述過程，直到剩余的點均穩(wěn)定為止。

2.2 改進算法的優(yōu)勢

從上述改進算法中可以看出，改進后的算法較傳統(tǒng)算法簡單、計算量小、循環(huán)性強，有利于提高編程和計算的效率，更適用于監(jiān)測網(wǎng)的穩(wěn)定性分析。

3 設計與算例分析

共選取了8個點，構(gòu)成一個高鐵的沉降監(jiān)測網(wǎng)。網(wǎng)中有3個基準點(BM1、BM2、BM3)和5個監(jiān)測點(1～5號點)，對該網(wǎng)進行兩個周期的沉降監(jiān)測。在第二期測量時，將基準點中的BM3點抬升2 mm左右，將監(jiān)測點中的3號點下降3 mm左右，以達到驗證穩(wěn)定性分析結(jié)果的目的。具體網(wǎng)形設計如圖1所示。

圖1 計算實驗設計的沉降監(jiān)測網(wǎng)

3.1 第一部分實驗

仿真設計監(jiān)測網(wǎng)兩期觀測資料如表1所示。

表1 沉降監(jiān)測網(wǎng)的兩期觀測資料

(1)平均間隙法傳統(tǒng)算法

兩期監(jiān)測網(wǎng)經(jīng)自由網(wǎng)平差后，結(jié)果如表2所示。

表2 兩期監(jiān)測網(wǎng)自由網(wǎng)平差結(jié)果

①整體檢驗

根據(jù)兩周期觀測資料秩虧自由網(wǎng)平差結(jié)果，求得的間隙及其權(quán)陣如下

ΔX=(-0.008 834，0.109 206，-2.010 945，-0.021 038，-0.035 072,3.047 844,0.118 081,0.110 759)T

(6)

兩期觀測平差后，聯(lián)合方差估值為

(7)

假設兩次觀測監(jiān)測點沒有變動，則可計算聯(lián)合方差估值

(8)

構(gòu)造F檢驗統(tǒng)計量

(9)

檢驗沒有通過，故應認為網(wǎng)中存在不穩(wěn)定點。

②不穩(wěn)定點的搜索

分別將網(wǎng)中的點看做動點，計算8個點的圖形不一致性指標，結(jié)果如表3所示。

表3 各點圖形不一致性指標

注：若點的圖形不一致性指標<10-5，取0。

對剩余的點重新構(gòu)成統(tǒng)計量，進行穩(wěn)定性整體檢驗

(10)

F檢驗沒有通過，需繼續(xù)進行不穩(wěn)定點搜索。將剩余的7個點與不穩(wěn)定點3組成不穩(wěn)定點組，計算7個不穩(wěn)定點組的圖形不一致性指標，計算結(jié)果見表4。

經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)，BM3點和3號點構(gòu)成的不穩(wěn)定點組的圖形不一致性指標最大，故懷疑BM3點發(fā)生變動。同時剔除3號點和BM3點，計算剩余點的圖形一致性指標，并做整體檢驗

表4 各點組圖形不一致性指標

(11)

剩余點通過檢驗，由此認為網(wǎng)中除了3號點和BM3點外，其余的點均為穩(wěn)定點。

③穩(wěn)定性分析結(jié)果

網(wǎng)中3號點和BM3點發(fā)生變動，其余點均未發(fā)生變動，與實驗設計結(jié)果一致。

(2)平均間隙法的改進算法

①不穩(wěn)定點搜索

在確定3號點為不穩(wěn)定后，將剩余7個點重復第一次搜索過程。過程如下：

將剩余7個點依次看做動點，作為不穩(wěn)定點組，分別計算7個點圖形不一致性指標，結(jié)果如表5所示。

表5 各點的圖形不一致性指標

經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)，BM3點的圖形不一致性指標最大，故懷疑BM3點發(fā)生變動。剔除BM3點，對剩余6個點做整體檢驗

(12)

剩余6個點通過檢驗，由此認為網(wǎng)中除了3號點和BM3點，其余的點均未發(fā)生變動。

②穩(wěn)定性分析結(jié)果

經(jīng)過檢驗，認為網(wǎng)中3號點和BM3點發(fā)生變動，其余點均未發(fā)生變動，與實驗設計結(jié)果一致。

(3)兩種方法的穩(wěn)定性分析結(jié)果比較

上述兩種不同穩(wěn)定性分析方法的檢驗結(jié)果均顯示，整個沉降監(jiān)測網(wǎng)中BM3點和3號點發(fā)生變動，與試驗設計相符。

3.2 第二部分實驗

(1)對基準點進行穩(wěn)定性分析

根據(jù)兩周期觀測資料，首先對基準網(wǎng)進行秩虧自由網(wǎng)平差，求得各點間隙及其權(quán)陣

(13)

經(jīng)整體檢驗，網(wǎng)中存在不穩(wěn)定點。

分別將網(wǎng)中的點看做動點，計算3個點的圖形不一致性指標，結(jié)果如表6所示。

表6 各基準點的圖形不一致性指標

(14)

通過檢驗，由此認為，基準點中只有BM3點為不穩(wěn)定點。

(2)對監(jiān)測點進行經(jīng)典自由網(wǎng)平差及穩(wěn)定性分析

通過上述計算確定基準點中BM3點為不穩(wěn)定點，剔除BM3點，將兩次基準點秩虧自由網(wǎng)平差得到的BM1點高程的均值作為經(jīng)典自由網(wǎng)平差的起算數(shù)據(jù)，對兩期觀測數(shù)據(jù)進行經(jīng)典自由網(wǎng)平差。平差后，各監(jiān)測點的間隙及其權(quán)陣如下

(15)

經(jīng)整體檢驗，網(wǎng)中存在不穩(wěn)定點。

分別將網(wǎng)中的點看做動點，計算5個點的圖形不一致性指標，結(jié)果如表7所示。

表7 各監(jiān)測點的圖形不一致性指標

對剩余的點重新構(gòu)成統(tǒng)計量，做整體檢驗

(16)

通過F檢驗，證明只有3號點不穩(wěn)定。

(3)穩(wěn)定性分析結(jié)果

結(jié)合上述(1)、(2)步的計算，檢驗出全網(wǎng)中BM3點和3號點為不穩(wěn)定點，其余點均未發(fā)生變動，與試驗設計一致。

4 結(jié)論

(1)無論是采用平均間隙法的傳統(tǒng)算法，還是采用本文提出的改進算法，均可以對沉降監(jiān)測網(wǎng)進行穩(wěn)定性分析。改進算法的計算過程更為簡單，條理更清晰。

(2)計算試驗的第一部分中，將基準點與監(jiān)測點一起進行穩(wěn)定性分析，并且得到了與實驗設計一致的結(jié)果，由此說明，平均間隙法可同時對基準點和監(jiān)測點進行穩(wěn)定性分析。

(3)計算試驗的第二部分中，在對基準點進行穩(wěn)定性分析后，利用穩(wěn)定的基準點對監(jiān)測點進行經(jīng)典自由網(wǎng)平差，并利用平差結(jié)果進行監(jiān)測點的穩(wěn)定性分析，得到的結(jié)果與試驗設計相符。由此說明，當監(jiān)測網(wǎng)中有穩(wěn)定的基準點時，可以對精測網(wǎng)進行經(jīng)典自由網(wǎng)平差，再利用平均間隙法對監(jiān)測網(wǎng)進行穩(wěn)定性分析，算法更為簡單。

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