基于極坐標(biāo)系下二維直方圖的圖像分割算法

張 軍，張治恒，朱新山

(天津大學(xué)電氣自動化與信息工程學(xué)院，天津 300072)

圖像分割是圖像處理中的關(guān)鍵技術(shù)之一，也是人工智能領(lǐng)域中的一項基礎(chǔ)工作.針對圖像分割的理論研究已經(jīng)持續(xù)了幾十年，期間陸續(xù)提出了很多分割算法.這些算法的原理不盡相同，有基于閾值的分割方法、基于邊緣的分割方法、基于區(qū)域生長的分割方法以及基于特定理論的分割方法[1].其中，基于閾值的分割方法操作簡單，在圖像分割中應(yīng)用非常廣泛.

基于閾值的圖像分割方法的關(guān)鍵在于最優(yōu)閾值的選取.最大類間方差法[2](Otsu法)是由日本學(xué)者提出的一種經(jīng)典閾值分割方法，它利用圖像的灰度分布一維直方圖進行分割閾值的選取，在圖像受噪聲干擾較小時分割效果較為理想，但是由于只利用了圖像的灰度信息，在圖像受噪聲干擾嚴(yán)重時，分割效果非常差.針對一維直方圖易受噪聲干擾的問題，二維直方圖受到學(xué)者們的關(guān)注.二維直方圖不僅僅利用圖像灰度信息，還考慮圖像的空間信息，例如引入像素點的鄰域灰度均值概念，以區(qū)分噪聲點和非噪聲點，算法的抗噪性得到了提升.

Pun[3]于20世紀(jì)80年代最先提出利用信息論中熵的概念進行圖像分割，此后，基于各種類型熵的圖像分割算法被陸續(xù)提出.相較于其他類型熵，Khehra等[4]發(fā)現(xiàn) Renyi熵在圖像分割算法中分割性能更好.Sahoo等[5]將二維直方圖和 Renyi熵結(jié)合起來進行圖像分割，取得了較好的分割效果.

將 Renyi熵和二維直方圖結(jié)合起來進行圖像分割的算法在精度上雖然更高，但是由于在尋找最優(yōu)閾值對的過程中需要遍歷整個二維直方圖，算法運算量非常大，無法滿足實時性要求；基于傳統(tǒng)二維直方圖的圖像分割方法通過閾值對將二維直方圖劃分為 4個區(qū)域，取處于對角線的2個區(qū)域而忽略遠(yuǎn)離對角線的另外2個區(qū)域的做法必然會引起誤分的情況，閾值的選取也出現(xiàn)偏差；另外，基于傳統(tǒng)二維直方圖的圖像分割方法建立在圖像噪聲點較少的假設(shè)下，所以處理信噪比較小的圖像時效果較差.

針對基于傳統(tǒng)二維直方圖的閾值分割算法存在的問題，本文提出基于極坐標(biāo)系下二維直方圖的閾值分割方法，將像素點灰度值信息和空間信息表示在極坐標(biāo)系中，以便更好地對所有像素點進行處理.實驗結(jié)果表明，該算法在分割精度和速度方面都有明顯提高.

1 傳統(tǒng)二維直方圖閾值分割算法存在的問題

設(shè)圖像大小為×MN，像素點灰度值為f(x,y)，其灰度級數(shù)為L.對圖像各像素點求取其×kk鄰域的灰度均值 g(x,y)為

式中k為鄰域算子的尺寸，一般取奇數(shù).顯然，g(x,y)的灰度級數(shù)也為L.

記 f(x,y)和 g(x,y)組成的二元組為(i,j)，其中，0 ≤ i,j ≤ L - 1，二元組(i,j)出現(xiàn)的頻數(shù)為 cij，相應(yīng)的概率為 pij，則有 pij= cij/(M N)，且滿足

傳統(tǒng)二維直方圖定義在一個×LL大小的正方形區(qū)域中.假設(shè)閾值對(t,s)將該正方形區(qū)域劃分為 4部分，如圖1中0～3區(qū)所示.

圖1 二維直方圖區(qū)域劃分Fig.1 Region partition of two-dimensional histogram

圖像中目標(biāo)和背景內(nèi)部的像素點灰度分布較均勻，其灰度值 f(x,y)和鄰域均值 g(x,y)非常接近；而噪聲點和邊界點的灰度值與其鄰域均值相差較大，因此，背景點和目標(biāo)點主要分布在二維直方圖的對角線附近，對應(yīng)圖 1中的區(qū)域 0和區(qū)域 1；噪聲點和邊界點則分布在遠(yuǎn)離對角線的區(qū)域，對應(yīng)圖1中的區(qū)域 2和區(qū)域3.

假設(shè)對角線上的區(qū)域 0和區(qū)域 1分別對應(yīng)于目標(biāo)和背景，遠(yuǎn)離對角線的區(qū)域2和區(qū)域3對應(yīng)于邊緣和噪聲.由于噪聲點和邊界點通常只占少數(shù)，為簡化計算，一般認(rèn)為在區(qū)域2和3上所有的Σpij=0.記0和1所對應(yīng)的目標(biāo)和背景2個區(qū)域分別為 c1和 c2，則這兩類的先驗概率分別為

由于噪聲點和邊界點數(shù)量較少，所以滿足

圖像的α 階二維Renyi 熵定義為

式中α＞0且α≠1.二維Renyi 熵閾值法的最優(yōu)閾值取(t*,s*)為

式中0 ≤t,s≤L- 1.

在上述求取最佳閾值的過程中，主要的工作是Renyi熵的計算.從式(3)、(4)和式(6)、(7)可以看出，對每一個閾值(t, s)，其二維 Renyi熵的計算都要從像素點(0,0)開始累加，計算量為 O ( L2)，共有 L2個(t, s)，因此總的計算量為 O ( L4)，其迭代運算量巨大，無法滿足實時性要求.

根據(jù)這種區(qū)域劃分方法計算最佳閾值時，還會出現(xiàn)誤分情況，如圖2所示.對于區(qū)域0中c、d兩部分及區(qū)域 1中 a、f 兩部分內(nèi)的像素點來說，其灰度值和鄰域均值相差較大，應(yīng)屬于邊界點或噪聲點，但傳統(tǒng)二維直方圖閾值分割方法將其直接分類為目標(biāo)(或背景)內(nèi)點；同時，區(qū)域 2、3中靠近對角線的 b、e兩部分，其內(nèi)部像素點的灰度和鄰域灰度均值相近，應(yīng)屬于目標(biāo)或背景內(nèi)點，但卻被看作噪聲點或邊界點.因此，基于這種直方圖區(qū)域劃分計算得到的最佳閾值必然會出現(xiàn)偏差.另外，區(qū)域2、3中像素點所占比例近似為 0，這一假設(shè)在圖像受噪聲污染較嚴(yán)重時是不成立的，所以傳統(tǒng)算法無法很好地處理含噪圖像.

圖2 二維直方圖區(qū)域誤分示意Fig.2 Region misclassification of two-dimensional histogram

針對傳統(tǒng)基于二維直方圖的圖像閾值分割方法存在的問題，近年來各種改進算法不斷被提出，龔劬等[6]提出基于分解的二維 Renyi熵圖像閾值分割算法，通過分解思想降低算法維度；潘 喆 等[7]、Yimit等[8]提出快速二維 Renyi熵閾值分割算法，通過分析二維 Renyi熵最佳閾值求解公式，推導(dǎo)出其遞推公式，達到快速求解的效果；Cheng等[9]提出結(jié)合分解思想和模糊理論以達到速度和精度兼顧的算法；El-Sayed等[10]提出將求解域限定在二維直方圖對角線上以減少計算量；Zheng等[11]提出二維灰度-局部方差直方圖，將求解域壓縮為 256×64以減少計算量；Zhang等[12]用遞歸的思想處理二維運算以降低計算量.這些算法都在一定程度上降低了利用二維 Renyi熵求取最佳閾值的算法復(fù)雜度.,雷博[13]、黃金杰等[14]、Xiao等[15]對傳統(tǒng)二維 Renyi熵算法做了部分改進，以減少誤分概率；Gu等[16]采用改進的粒子群優(yōu)化算法結(jié)合二維 Renyi熵以增強算法的魯棒性；Fan等[17]將二維 Renyi熵和模糊理論結(jié)合起來以處理具有過渡區(qū)的圖像，處理效果良好.

2 基于極坐標(biāo)系下二維直方圖的圖像閾值分割算法

2.1 極坐標(biāo)系下二維直方圖的構(gòu)建

針對傳統(tǒng)二維直方圖閾值分割算法存在的以上問題，提出一種基于極坐標(biāo)系下二維直方圖的圖像分割算法，基本思想如下.

對于原灰度圖中每一像素點(x,y) ，都有對應(yīng)的灰度值 f(x,y) 和鄰域均值 g(x,y) ，g(x,y) 定義為

之所以不采用式(1)中定義的 g ( x, y)，是為了使噪聲點的灰度值和鄰域均值之差更加明顯，以便于后續(xù)去噪過程的進行.

由 f ( x, y)和 g ( x, y)定義像素點(x, y)在極坐標(biāo)系中的參數(shù).設(shè)每一像素點(x, y)在極坐標(biāo)系中的極徑為ρ(x, y)，極角為θ(x, y)，具體定義為

f( x, y)和g( x, y)的灰度級都為L，則極徑ρ(x, y )的范圍為，極角θ(x,y) 的范圍為[0,/2]π.根據(jù)反正切函數(shù)的性質(zhì)可知，1θ(x,y) 、2θ(x,y) 之間滿足

由式(11)和式(12)所示的兩個極角定義對像素點類別進行判定的變量Δ(x,y) 為

因為1θ(x,y) 和2θ(x,y) 之間滿足式(13)所示關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，(x,y) Δ又可寫為

對于目標(biāo)區(qū)和背景區(qū)來說，其內(nèi)部灰度分布較均勻，每一像素點的灰度值和鄰域均值差別很小，其比值也非常接近于1，所以1θ和2θ都近似為45°，二者差值Δ也近似為 0°；對于噪聲點和邊界點來說，其灰度值和鄰域均值相差較大，相應(yīng)地，1θ和2θ的差值Δ也將很大，尤其是灰度值很小的暗噪聲點，1θ和2θ的差值Δ甚至?xí)_到/2π，而邊界點相對于噪聲點來說，其灰度值和鄰域均值之差一般要小于噪聲點，相應(yīng)地，邊界點的Δ也小于噪聲點的Δ.根據(jù)1θ和2θ的差值Δ可很好地判斷出像素點的類別.將像素點分為兩類，其中，背景點和目標(biāo)點為1C，噪聲點和邊界點為2C，則有判別公式

式中 angle是對像素點進行類別判定的閾值，可根據(jù)圖像的性質(zhì)進行選擇.

在對測試圖像每一個像素點的Δ進行計算并統(tǒng)計后，可以發(fā)現(xiàn)接近于 0°的Δ所占比例非常大，而較大的 0°所占比例較小，這說明在一幅圖像中，目標(biāo)和背景點是主要組成部分，邊界點和噪聲點只是少數(shù).

基于圖像的這一特點，可根據(jù)以下步驟間接求解類別判定閾值angle：

(1)根據(jù)式(12)和式(15)計算所有像素點的極角之差Δ(x, y)，并統(tǒng)計Δ(x, y)的分布，從0°到90°排列，得到所有的角度之差Δ(x, y)的可能性以及每個Δ(x, y)出現(xiàn)的頻數(shù).

(2)由于噪聲點和邊界點的Δ(x,y) 較大，且比例較小，所以可以設(shè)定比例閾值K，表示背景點和目標(biāo)點所占的比例，如 90%=K ，從Δ=90°開始，將每個對應(yīng)的頻率相加，哪個Δ先到達比例閾值K，就認(rèn)為該Δ是所求的判定閾值angle.

(3)對受噪聲污染較小的圖片，比例閾值K可設(shè)置的大一些，受噪聲污染較大的圖片，則K可設(shè)置的小一些，以后續(xù)的濾波效果圖為準(zhǔn)則，選取較為理想的比例閾值.

以添加密度為 0.02的椒鹽噪聲的 Lena圖為例進行說明，求得所有像素點的極角差Δ(x,y) 的分布，如圖 3所示，選取 90%=K 以求取類別判定閾值angle，最終求得 angle=16.2°.

圖3 Lena噪聲圖極角差分布Fig.3 Polar angle differences distribution of Lena noise image

在用 angle對原圖像各像素點進行類別劃分后，即可得到邊界點和噪聲點.對這部分像素進行處理，達到濾噪的目的.本文所采取的處理措施是選取噪聲點和邊界點的鄰域均值代替其灰度值.仍以添加密度為0.02的椒鹽噪聲的Lena圖進行說明，對比其濾噪前后的效果圖和極坐標(biāo)系下的二維分布，如圖 4所示.

圖4 圖像濾噪前后對比Fig.4 Comparison of images before and after filtering

由圖 4(a)、(c)可以看到，圖像中的噪聲點得到了比較良好的處理.

經(jīng)過上述濾噪處理后，在極坐標(biāo)系中原本分布散亂的像素點都將集中分布在極坐標(biāo)系中極角為45°的極徑附近，如圖 4(b)、(d)所示.利用圖 4(d)中像素點的分布即可求得最優(yōu)分割閾值.

2.2 基于Renyi熵的閾值分割算法

本文利用 Renyi熵對去噪后的圖像求取最佳閾值.將去噪后的圖像各像素點都映射到極坐標(biāo)系中，統(tǒng)計極坐標(biāo)系中極角范圍.假設(shè)去噪后圖像所有像素點的極角范圍為[45°-β，45°+α]，其中α和β都是很小的偏差值，例如在第 2.1節(jié)中對加噪 Lena圖求得的像素點類別判定閾值 angle=16.2°，根據(jù)式(15)可求得去噪后像素點的極角為45°＋8.1°.因此，某像素點究竟屬于目標(biāo)點還是背景點將取決于它的極徑.可以利用去噪后圖像各像素點的極徑信息結(jié)合Renyi熵概念，求取最佳閾值T，將圖像分為目標(biāo)區(qū)O和背景區(qū)B，以此實現(xiàn)對圖像的分割.該過程如圖5所示.

假設(shè)閾值為 t，用 t去劃分去噪后的圖像極徑信息.認(rèn)為極徑小于等于 t的像素點屬于目標(biāo)區(qū)O，而極徑大于 t的像素點屬于背景區(qū) B，根據(jù)Renyi熵的定義得到目標(biāo)區(qū)和背景區(qū)所對應(yīng)的Renyi熵為

式中：表示向下取整；pO(i)代表位于目標(biāo)區(qū)的極徑為 i的像素點的概率；pB(i)代表位于背景區(qū)的極徑為 i的像素點的概率；PO為目標(biāo)區(qū)像素點的比例；PB為背景區(qū)像素點的比例；q為 Renyi熵的階數(shù)，q＞0且q≠1.

圖5 極坐標(biāo)系下分割算法示意Fig.5 Sketch map of segmentation algorithm in polar coordinate system

圖像Renyi熵 H ( t)為目標(biāo)區(qū)Renyi熵 HO(t)和背景區(qū)Renyi熵 HB(t)之和，則最佳閾值T定義為

由于本文提出的算法將圖像信息集中在極坐標(biāo)系 45°極徑附近，各像素點的極角差異很小.為簡化計算，可忽略極角參量，只利用極徑信息對各像素點進行分類，這屬于一維問題，相較于基于傳統(tǒng)二維直方圖的閾值分割方法，其運算量大大降低.

本文算法主要包含以下幾個步驟.

步驟 1 根據(jù)原始圖像各像素點的灰度值分布f( x, y)求取其鄰域均值，得到鄰域均值信息 g ( x, y).

步驟 2 由灰度信息 f( x, y)和鄰域均值信息g( x, y)，根據(jù)式(11)和式(12)對圖像每一像素點求取其極角θ1(x, y)和θ2(x, y).

步驟3 根據(jù)每個像素點的兩個極角差(x,y) Δ判斷該像素點的類別.

步驟 4 對屬于噪聲或邊界的像素點進行濾噪處理.本文選取噪聲點和邊界點的鄰域均值代替其灰度值.根據(jù)處理之后的圖像效果，調(diào)整步驟 3中用到的比例閾值，直到濾噪后的圖像質(zhì)量明顯改善為止.

步驟 5 對處理后的圖像再次求取每一點的鄰域均值、相應(yīng)的極徑、極角等信息.此時所有像素點的極角基本都分布在45°左右，偏差很小.

步驟 6 根據(jù)各點極徑信息，利用一維 Renyi熵求取最佳分割閾值，并利用該閾值對圖像進行分割，得到二值化圖像.

3 實驗結(jié)果與分析

本文實驗在系統(tǒng)配置 2.96,GB內(nèi)存、2.30,GHz，Matlab R2014a下進行，挑選 Lena圖、Cameraman圖、Cat圖、Corn圖、Bird圖為測試圖片，如圖6(a)所示，分別對比了傳統(tǒng)二維 Renyi熵分割算法[5]、基于二維 Tsallis熵的分割算法[10]、基于灰度-局部方差二維 Renyi熵分割算法[11]、改進的灰度-梯度二維Renyi熵分割算法[14]以及本文算法 5種算法的分割效果圖，如圖 6(b)～(f)所示；對比原圖在 5種算法下求得的最優(yōu)閾值，如表1所示；對比原圖在5種算法的運行時間，如表 2所示. 為說明本文算法在處理受噪聲污染嚴(yán)重的圖像時的優(yōu)勢，以添加密度為0.02的椒鹽噪聲的5個圖為測試圖片，如圖7(a)所示，對比在5種算法下的分割效果圖，如圖7(b)～(f)所示.

圖6 各算法分割效果圖Fig.6 Segmentation results of various algorithm

表1 各算法閾值對比Tab.1 Comparison of the threshold with different algorithms

表2 各算法運行時間對比Tab.2 Comparison of running time with different algorithms s

由圖6和圖7可以看出，當(dāng)測試圖像為不受噪聲影響的原圖時，5種方法分割效果相差不大；當(dāng)圖像受噪聲干擾嚴(yán)重時，由于文獻[5，10-11，14]都未對噪聲進行處理，所以分割效果較差，而本文算法由于對噪聲點進行了處理，所以有較好的分割效果.

傳統(tǒng)二維熵算法及其改進算法的運行時間都包括兩部分，即求解二維概率分布過程以及用熵理論求解最佳閾值過程.文獻[5]中的傳統(tǒng)二維 Renyi熵算法未進行任何優(yōu)化，故而運行時間較長；文獻[10]在用 Tsallis熵進行閾值計算時，為降低運算時間，將求解空間局限在二維直方圖對角線上，故算法運行時間有所降低；文獻[11]采用灰度-局部方差二維直方圖進行閾值求解，局部方差被映射為 64級，解空間大小為 256×64，相較于傳統(tǒng)算法而言，解空間縮小，所以運行時間也有所降低；文獻[14]用像素點的梯度代替鄰域灰度均值，相較于傳統(tǒng)二維熵算法，解空間并未壓縮，反而在求解各像素點梯度的過程中增加了計算量，所以運算時間增加；本文算法沒有像傳統(tǒng)二維Renyi熵算法那樣將像素點映射到直角坐標(biāo)系中，而是將所有像素點都映射在極坐標(biāo)系中，去噪后各像素點都集中在 45°極徑附近，偏差很小，所以只需要利用極徑信息進行圖像分割，由此把二維問題轉(zhuǎn)化為一維問題；另外，本文算法不用求解二維概率分布，大大降低運行時間.

算法的空間復(fù)雜度是對一個算法在運行過程中臨時占用存儲空間大小的量度，包括算法本身所占用的存儲空間、算法的輸入輸出數(shù)據(jù)所占用的存儲空間和算法在運行過程中臨時占用的存儲空間這 3個部分.其中，算法本身所占用的存儲空間和算法本身長度有關(guān)；算法的輸入輸出數(shù)據(jù)所占用的存儲空間和所處理數(shù)據(jù)大小有關(guān)；算法在運行過程中臨時占用的存儲空間則隨著算法的不同而變化.由于本文算法和各對比算法處理的測試圖片相同，且算法長度相差不大，所以在對比各算法空間復(fù)雜度時，僅討論各算法在運行過程中臨時占用的存儲空間.為方便討論，假設(shè)測試圖像大小為 L×L.根據(jù)各算法的原理可知，在算法輸入都為該測試圖像時，各算法運行過程中臨時占用的存儲空間都與該測試圖像大小有關(guān)，即使文獻[11]將解空間壓縮，但是在計算灰度-局部方差二維直方圖時其臨時占用的存儲空間仍然和測試圖像大小成正比，所以文獻[5，10-11，14]以及本文算法的空間復(fù)雜度都為 O ( L2).

圖7 加噪圖像分割效果圖Fig.7 Segmentation results of noise images

4 結(jié) 語

本文提出的基于極坐標(biāo)系下二維直方圖的圖像閾值分割算法相較于基于傳統(tǒng)直角坐標(biāo)系下二維直方圖的閾值分割算法而言有很大區(qū)別，其本質(zhì)區(qū)別在于該算法將圖像像素點的灰度信息和鄰域均值信息映射到極坐標(biāo)系中而非直角坐標(biāo)系中，其優(yōu)勢在于：極坐標(biāo)系中的極角參量能很好地對像素點類別進行劃分，通過相關(guān)處理措施即可達到濾噪的效果，這對受噪聲污染較嚴(yán)重的圖像來說，處理效果更加明顯；且濾噪后的圖像像素點分布集中，僅通過極坐標(biāo)系中的極徑參量即可進行閾值分割，屬于一維算法，從而避免了傳統(tǒng)分割算法及其改進算法都需要進行復(fù)雜二維運算的問題，實時性良好.實驗證明，本文算法相較于傳統(tǒng)基于二維直方圖的閾值分割算法及其改進算法，分割性能更加優(yōu)越.

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