基于圓弧嚙合線內(nèi)嚙合齒輪設計與特性分析

王延忠，李圓，任少英，趙鵬坤

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基于圓弧嚙合線內(nèi)嚙合齒輪設計與特性分析

王延忠，李圓，任少英，趙鵬坤

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京，100191)

針對內(nèi)嚙合齒輪傳動，提出1種基于圓弧嚙合線的大重合度內(nèi)嚙合齒輪構造方法。選取連接外齒輪和內(nèi)齒圈節(jié)圓交點和齒頂圓交點的圓弧為嚙合線，構造在該嚙合線上共軛的外齒輪和內(nèi)齒圈齒頂齒廓；根據(jù)共軛原理設計與齒頂齒廓共軛的齒根齒廓，完成內(nèi)齒圈齒根齒廓修形；對新齒形進行根切檢驗，分析新齒形嚙合幾何特性及加載接觸；利用數(shù)控加工方法完成內(nèi)嚙合齒輪樣件的加工并進行嚙合試驗。研究結果表明：新齒形不產(chǎn)生根切和齒頂干涉；與漸開線內(nèi)嚙合齒輪相比，新齒形重合度大大提高，相對滑動率減小，相對法曲率增大；齒面接觸和齒根彎曲應力顯著降低，承載能力大大提高；齒數(shù)比為38/53的新齒形存在7對齒接觸，驗證了新齒形的大重合度嚙合。

大重合度；內(nèi)齒輪；嚙合線；加載接觸分析

內(nèi)嚙合齒輪作為齒輪傳動重要部件之一，可傳遞相同方向的動力和運動，與外嚙合齒輪相比，可降低由于共軛齒廓曲線相對滑動引起的動力損失，具有傳動效率高、承載能力大等優(yōu)點[1]。漸開線齒輪作為最重要的內(nèi)嚙合齒形，以其具有容易制造、互換性等優(yōu)點獲得了最廣泛的應用。同時，漸開線齒形的嚙合線為配對齒輪齒頂圓之間的一段線段，限制了重合度的提高。重合度是齒輪設計的重要指標之一，重合度提高可使更多輪齒分擔載荷，從而降低單對輪齒負載，提高齒輪整體承載能力，降低傳動噪聲[2]。為獲得大重合度齒輪，人們對漸開線齒形[3?4]、擺線齒形[5]進行改良，通過增大齒頂高、增大齒數(shù)或減小壓力角[6?7]等方法實現(xiàn)大重合度嚙合，但受制于漸開線、擺線的幾何特性，這些改良方法在提高齒輪重合度的同時可能導致齒輪強度降低、嚙合性能下降，因此，一些研究者從嚙合原理出發(fā)，開發(fā)出了新型齒形。DONG 等[8]建立了根據(jù)嚙合線構造共軛齒廓的數(shù)學模型，構造了直線嚙合線、圓弧嚙合線及二次曲線嚙合線的圓柱齒輪和橢圓外嚙合齒輪；王建等[9]以壓力角為設計參數(shù)構造了嚙合線，根據(jù)共軛原理構造齒輪齒廓并研究了壓力角參數(shù)對重合度的影響，從而獲得了大重合度齒輪設計參數(shù)。在內(nèi)嚙合齒輪方面，直線共軛內(nèi)嚙合齒輪在高端齒輪泵領域得到應用。魏偉鋒等[10]利用齒廓法線反轉法建立直線共軛齒廓參數(shù)化求解和分析方法，提出重疊干涉的判定條件及齒根、齒頂干涉的解決方案。相比于漸開線、擺線齒齒形，新型齒輪齒形復雜，缺少標準的加工工具，而高精度數(shù)控加工技術的發(fā)展為新齒形的加工制造及應用提供了條件。本文作者針對直齒內(nèi)嚙合齒輪傳動，提出基于圓弧嚙合線的大重合度內(nèi)嚙合齒輪設計方法。通過選擇連接外齒輪和內(nèi)齒輪節(jié)圓交點和齒頂圓交點的圓弧為嚙合線，利用共軛原理，構造滿足該圓弧嚙合線的內(nèi)嚙合齒輪共軛齒廓及插齒齒條齒廓；研究新齒形的重合度、共軛齒廓相對滑動率及相對法曲率等幾何特性，通過有限元加載接觸分析研究齒輪的齒面接觸強度、齒根彎曲強度；通過加工新齒形內(nèi)嚙合齒輪樣件和嚙合試驗，完成重合度驗證。

1 基于嚙合線的內(nèi)嚙合齒輪共軛原理

在齒輪傳動過程中，共軛齒輪以設計的傳動比發(fā)生相對運動，隨著接觸點在嚙合線上滑動，接觸點在齒輪坐標系上劃出的軌跡就形成了共軛齒廓曲線[11]，因此，根據(jù)嚙合線可以構造出滿足在該嚙合線上嚙合的共軛齒廓曲線。外齒輪與內(nèi)齒輪為1對共軛內(nèi)嚙合齒輪，假設其嚙合線為01，根據(jù)該嚙合線構造的外齒輪與內(nèi)齒輪共軛齒廓曲線分別為1和2，c為與外齒輪齒廓1共軛的齒條齒廓。齒廓曲線1，2和c在嚙合線上點接觸，法向為。111，222和Xccc分別為與外齒輪、內(nèi)齒輪、齒條固連的坐標系，fff為固定坐標系。當外齒輪和內(nèi)齒輪分別繞中心1和2轉過角位移1和2到位置1和2時，齒條沿軸平移距離到c位置，它們在節(jié)點f接觸，且滿足：

式中：1和2分別為外齒輪和內(nèi)齒輪節(jié)圓半徑。設嚙合線01上點在坐標系fff中齊次坐標表達式為

式中：和為自變量。內(nèi)嚙合共軛齒廓曲線構造示意圖如圖1所示。

圖1 內(nèi)嚙合共軛齒廓曲線構造示意圖

通過坐標變換，分別得到外齒輪和內(nèi)齒輪的共軛齒廓曲線1和2，其向量表示分別為1和2。

式中：1f和2f分別為坐標系fff到111和222的坐標變換矩陣。

根據(jù)平面齒輪嚙合原理[12]，共軛齒廓曲線在接觸點的公法線通過瞬時回轉中心，則共軛齒廓曲線在接觸點處的法向量在fff上為

共軛齒廓曲線在接觸點上的法向量1在111坐標中為

式中：1f為矩陣1f左上角2×2矩陣。根據(jù)齒輪嚙合原理，嚙合方程可表示為

根據(jù)式(1)可得到內(nèi)齒輪的角位移2。式(7)和(1)描述了嚙合線上共軛點與外齒輪和內(nèi)齒輪共軛齒廓上的齒形點之間的對應關系，因此，當已知嚙合線方程式(2)，將式(7)和(1)代入式(3)就得到了滿足設計嚙合線的外齒輪、內(nèi)齒輪的共軛齒廓方程表達式。

2 圓弧嚙合線及共軛齒廓

2.1 圓弧嚙合線及齒頂齒廓

為提高內(nèi)嚙合齒輪的重合度，選擇連接外齒輪和內(nèi)齒輪節(jié)圓交點和齒頂圓交點的圓弧01為嚙合線，圓弧嚙合線構造如圖2所示。與直線嚙合線相比，圓弧嚙合線大大增加了內(nèi)嚙合齒輪的重合度。根據(jù)幾何原理，可求出圓弧的半徑及弧度max，則圓弧嚙合線在fff坐標系中的方程表達式為

將式(8)代入式(6)，得到外齒輪角位移表達式

由于設計的圓弧嚙合線位于齒輪的節(jié)圓和齒頂圓之間，構造的共軛齒廓曲線為齒頂?shù)焦?jié)點的齒頂齒廓曲線。得到的外齒輪齒頂齒廓曲線a1在111上的方程表達式為

同樣地，得到內(nèi)齒輪齒頂齒廓曲線a2的方程表達式為

2.2 齒根齒廓

已知內(nèi)齒輪齒頂齒廓曲線方程式(11)及傳動比=2/1，根據(jù)齒輪嚙合原理，與內(nèi)齒輪齒頂齒廓a2共軛的外齒輪齒根齒廓曲線d1可表示為

式(13)存在2個解：

第1個解對應著與內(nèi)齒輪齒頂齒廓共軛的外齒輪齒頂齒廓，因此，將式(11)和式(14)中第2式代入式(12)得到外齒輪齒根齒廓曲線d1的方程表達式。

由式(16)可知外齒輪齒根齒廓與內(nèi)齒輪齒頂齒廓的嚙合線為一圓弧(半徑為2?)，且與設計的圓弧嚙合線01在節(jié)點0相切。

同樣地，內(nèi)齒輪齒根齒廓曲線d2可表示為

根據(jù)式(18)可知內(nèi)齒輪齒根齒廓與外齒輪齒頂齒廓的嚙合線為一圓弧(半徑為?1)，且與設計的圓弧嚙合線01在節(jié)點0相切。

2.3 插齒齒條齒廓

已知外齒輪齒廓曲線方程表達式及外齒輪與齒條的運動關系式=11，根據(jù)共軛原理，得到的與外齒輪齒頂齒廓共軛的齒條齒根齒廓可表示為

與外齒輪齒根齒廓共軛的齒條齒頂齒廓可表示為

齒條的齒廓由齒頂齒廓和齒根齒廓2部分組成，分別與外齒輪的齒根齒廓和齒頂齒廓共軛，在排除根切的情況下可通過齒條刀具可加工出完整的外齒輪齒廓曲線。

2.4 內(nèi)齒輪齒根齒廓修形

圖3 新型大重合度內(nèi)嚙合齒輪嚙合線

2.5 根切和干涉檢查

齒輪齒廓曲線在奇異點發(fā)生相對滑動，即d/d0時，在奇異點處可能出現(xiàn)根切[1]。對外齒輪、內(nèi)齒輪及齒條齒廓曲線進行奇異點檢查后發(fā)現(xiàn)節(jié)點0是齒頂齒廓和齒根齒廓的奇異點。然而，由于節(jié)點0位于齒頂齒廓和齒根齒廓的端點，且嚙合線在節(jié)點0的切向量垂直于中心連線12，共軛齒廓在節(jié)點0嚙合時，其公法線的方向與相同，則在0點處壓力角為0°，這種情況與擺線齒在其節(jié)點處的情況相同[1]。因此，雖然節(jié)點0是齒廓曲線奇異點，但不會產(chǎn)生根切。在齒輪嚙合過程中，外齒輪齒頂齒廓與內(nèi)齒輪齒頂齒廓共軛，外齒輪的齒根齒廓與內(nèi)齒輪齒頂齒廓共軛，且內(nèi)齒輪齒根齒廓經(jīng)修形后不參與嚙合，因而不會發(fā)生齒頂干涉。但大重合度內(nèi)嚙合齒輪的齒頂齒廓與齒頂齒廓共軛，將發(fā)生徑向干涉，故只能采用軸向安裝的方式完成齒輪裝配。

圖4 新齒形內(nèi)嚙合齒輪三維模型及接觸區(qū)仿真結果

3 齒輪嚙合特性分析

齒輪嚙合特性主要包括重合度、相對滑動率、相對法曲率和齒輪接觸疲勞強度、齒根彎曲疲勞強度等指標[13]，下面將研究新型大重合度內(nèi)嚙合齒輪嚙合特性并與漸開線內(nèi)嚙合齒輪進行對比。

3.1 重合度

表1 新齒形和漸開線齒形內(nèi)嚙合齒輪重合度

3.2 相對滑動率

相對滑動率是衡量齒面磨損和齒輪潤滑條件的重要指標，相對滑動率降低，齒面磨損減小，潤滑條件越好。設d1和d2分別為外齒輪和內(nèi)齒輪齒廓曲線的弧長元素，滿足ds=|dr/dθ| (=1,2)，則共軛齒輪相對滑動率[8]可定義為

新齒形內(nèi)嚙合齒輪相對滑動率曲線如圖5(a)所示。新齒形的嚙合過程可分為2個階段：當2＞0時，外齒輪齒頂齒廓與內(nèi)齒輪齒頂齒廓在嚙合線01上嚙合，接觸點沿齒廓曲線從齒頂滑動到節(jié)點；當2＜0時，外齒輪齒根齒廓與內(nèi)齒輪齒頂齒廓在嚙合線02上嚙合，外齒輪接觸點沿齒根齒廓從節(jié)點滑動到齒根，內(nèi)齒輪接觸點沿齒頂齒廓從節(jié)點返回齒頂，因此新齒形的相對滑動率曲線在節(jié)點處0(2=0)出現(xiàn)拐點。漸開線齒形相對滑動率曲線如圖5(b)所示。對比圖5(a)和5(b)可以發(fā)現(xiàn)：新齒形的相對滑動率為定值，且相比漸開線齒形的相對滑動率大大降低，有利于齒輪潤滑及降低齒面磨損。

(a) 新齒形；(b) 漸開線齒形

1—相對滑動率1；2—相對滑動率2。

圖5 相對滑動率曲線

Fig. 5 Curves of sliding ratios of tooth profiles

3.3 相對法曲率

相對法曲率越小，接觸區(qū)越大。新齒形內(nèi)嚙合齒輪的相對法曲率曲線如圖6(a)所示。由于節(jié)點0為奇異點，在該點共軛齒廓的相對法曲率為無窮大。當2＞0時，新齒形齒頂齒廓與齒頂齒廓為凸?凸接觸，而漸開線內(nèi)嚙合齒廓為凹?凸接觸，因此與漸開線內(nèi)嚙合齒輪相對法曲率相比，新齒形內(nèi)嚙合齒輪相對法曲率較大，接觸區(qū)較??；當2＜0時，新齒形齒根齒廓與齒頂齒廓凹?凸接觸，其相對法曲率降低，接觸區(qū)增大。鑒于新齒形重合度大，單齒承載載荷低，因此，下面將進一步研究新齒形在齒面接觸強度方面相較于漸開線齒形的優(yōu)劣。

(a) 新齒形；(b) 漸開線齒形

3.4 加載接觸分析

利用有限元方法研究了加載條件下齒輪接觸區(qū)位置和大小、齒面接觸強度和齒根彎曲強度等[13?14]。為避免嚙合過程中齒頂應力集中，對齒頂進行倒角處理，因此齒輪重合度減小。新齒形內(nèi)嚙合齒輪外齒輪在500 N?m加載力矩下的應力云圖如圖7所示。此時共軛齒廓在節(jié)點嚙合，共有6對輪齒參與嚙合，最大齒面接觸應力為592.5 MPa，出現(xiàn)在節(jié)點附近，最大齒根彎曲應力為198.654 MPa。圖8所示為新齒形內(nèi)嚙合齒輪及漸開線內(nèi)嚙合齒輪外齒輪分別在加載力矩為100，300和500 N?m條件下1個嚙合周期內(nèi)的齒面接觸應力曲線和齒根彎曲應力曲線。由圖8可知：齒輪的齒面接觸應力和齒根彎曲應力隨著加載力矩增大而增大。新齒形的最大齒面接觸應力及最大齒根彎曲應力比漸開線齒形的低。當新齒形外齒齒根齒廓與內(nèi)齒齒頂齒廓凹凸接觸時，接觸區(qū)較大，齒面接觸應力較低。當外齒齒頂齒廓與內(nèi)齒齒頂齒廓凸?凸接觸時，接觸區(qū)減小，齒面接觸應力增大。與漸開線齒形彎曲應力相比，新齒形齒根彎曲應力明顯降低。

圖7 新型大重合度內(nèi)嚙合外齒輪應力云圖(加載力矩為500 N?m)

Fig. 7 Stress distribution of pinion to the novel internal gear drive

4 齒輪樣件試制

新齒形齒輪的加工精度要求較高，只有合理地選擇加工設備和加工工藝才能滿足精度要求。新齒形內(nèi)嚙合齒輪可利用插齒齒條加工出外齒輪，利用與外齒輪齒廓相同的插齒刀加工出內(nèi)齒輪，并通過數(shù)控加工完成內(nèi)齒輪齒根齒廓修形。隨著數(shù)控加工設備加工能力的提升，特殊齒形齒輪的加工正逐漸變得和普通齒輪的加工一樣簡單、高效。新齒形齒輪同樣可以采用銑齒、插齒及磨齒的工藝進行大批量生產(chǎn)。對于小批量齒輪的加工，可完全采用數(shù)控加工，本文作者采用高精度的慢走絲線切割加工出新齒形齒輪樣件，使用的機床型號為沙迪克AQ560L，加工精度達到0.005 mm，表面質(zhì)量接近磨削水平。利用紅丹粉檢測接觸區(qū)，結果如圖9所示。由圖9可知：共有7對輪齒參與嚙合，與圖4中接觸區(qū)仿真結果大致一致。

(a) 新齒形齒面接觸應力曲線，(b) 新齒形齒根彎曲應力曲線；(c) 漸開線齒形齒面接觸應力曲線，(d) 漸開線齒形齒根彎曲應力曲線 加載力矩/(N?m)：1—100；2—300；3—500。

(a) 齒輪樣件；(b) 外齒輪接觸區(qū)域；(c) 內(nèi)齒輪接觸區(qū)域

5 結論

1) 新齒形內(nèi)嚙合齒輪的重合度大大提高，對齒數(shù)差較小的齒輪對其重合度可達到漸開線齒形的4倍以上。

2)新齒形內(nèi)嚙合齒輪不會發(fā)生根切現(xiàn)象，也不會發(fā)齒頂干涉現(xiàn)象。

3) 與漸開線內(nèi)嚙合齒輪相比，新齒形相對滑動率大大降低，有利于齒輪潤滑及降低齒面磨損，其相對法曲率較大；其齒面接觸應力和齒根彎曲應力顯著減低，有利于提高承載能力、降低齒面磨損、提升精度保持性、延長使用壽命。

4) 齒數(shù)比為38/53的內(nèi)嚙合齒輪有7對輪齒嚙合，達到設計要求。

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(編輯 伍錦花)

Design and analysis of internal gear drive with arc contact path

WANG Yanzhong, LI Yuan, REN Shaoying, ZHAO Pengkun

(School of Mechanical Engineering & Automation, Beihang University, Beijing 100191, China)

A high contact ratio internal gear drive with arc contact path was proposed for internal gear transmission. The circular arc connecting the intersection point of addendum circles and the intersection point of pitch circles was chosen as the path of contact. The addendum tooth profiles of pinion and internal gear conjugated with each other were constructed based on the given path of contact. According to gearing theory, the dedendum tooth profile was designed as conjugate curve of the addendum tooth profile of the mating gear and modification of dedendum tooth profile to internal gear was carried out. Geometric properties analysis and loaded contact analysis of the novel internal gear were also carried out. The results show that undercutting and addendum interference do not occur for the novel internal gear. The novel internal gear drive has higher contact ratio, smaller sliding ratio, but bigger induced curvature compared with the involute internal gear drive. The stress, especially the bending stress of the novel high contact ratio internal gear drive decreases remarkably. The novel high contact ratio internal gear with tooth number of 38/53 has 7 tooth being in meshing, which confirms the high contact ratio for the novel internal gear drive.

high contact ratio; internal gear; contact path; loaded tooth contact analysis

10.11817/j.issn.1672-7207.2018.05.013

TH132.417

A

1672?7207(2018)05?1118?08

2017?05?20；

2017?06?27

“十二五”國家科技支撐計劃(2014BAF08B01) (Project(2014BAF08B01) supported by the National Science and Technology Pillar Program during the 12th “Five-year” Plan Period of China)

王延忠，博士，教授，博士生導師，從事齒輪傳動、摩擦片設計研究；E-mail: yzwang63@126.com