淺談反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

莫美珍

摘 要：反證法在初中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，它的解題技巧對數(shù)學(xué)解題有很大的幫助，尤其針對一些難以著手的問題。教師通過研究反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中解題的范圍和其在幾種常用命題中的應(yīng)用技巧，對反證法的分類進行討論，根據(jù)用反證法在各類命題中的應(yīng)用步驟、類型和規(guī)律分析，總結(jié)出反證法在初中數(shù)學(xué)范疇中的重要性。最后論述反證法這種思維方式在初中數(shù)學(xué)中所起的作用，要求學(xué)生能夠用逆向思維來解決更多的數(shù)學(xué)問題，并結(jié)合生活的需要，解決生活中的難題。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；反證法；逆向思維

中圖分類號：G63 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）17-0043-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.17.026

反證法的思維方式與正向思維方式相反，它遵循“由果溯因”這種思維模式。在數(shù)學(xué)解題中，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。反證法中獨特、巧妙的思維方式可以使那些難以著手的數(shù)學(xué)問題迎刃而解。例如下面涉及的這幾類問題，其思維方式都比較巧妙，這種解題方法對于提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力有很大的幫助，更能夠幫助學(xué)生提高分析問題、靈活運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。

反證法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用比較廣泛，通常在一些基本的性質(zhì)、定理和重要結(jié)論中都有所體現(xiàn)，在某些難度較大的題目中更是不可或缺的。

一、反證法的定義及理論依據(jù)

（一）反證法的定義

反證法的基本理念是：在否定了原命題（真命題）后，找出必要矛盾，就可以證明原命題。在對一個命題進行證明時，可以先假設(shè)命題結(jié)論的對立面是成立的，若由已知條件可以得出兩個矛盾的結(jié)論，或者導(dǎo)出的結(jié)果與定義、定理、已知公理、已知條件之一相矛盾，此時就可以說明假設(shè)是不成立的，同時也就證明了原命題一定成立。利用這種方式對命題進行證明的方法稱為反證法。反證法可以歸納為：“否定結(jié)論，尋找矛盾。”

（二）反證法的理論依據(jù)

排中律和矛盾律是反證法中所應(yīng)用的兩種重要的理論依據(jù)，二者的概念有所不同。矛盾律表示：在同一個證明過程中，若存在兩個相互對立的結(jié)論，至少有一個結(jié)論是錯誤的。而排中律表示：對于一個命題，它只能為真，或者只能為假，不會再出現(xiàn)其他任何可能。排中律對思維提出了兩個要求，那就是明確性和清晰性，二者對同一律和矛盾律進行了某種程度的繼承和發(fā)揚。排中律具有一個重要的特點：邏輯思維不只是要具有確定性，而且還要明確自己的立場，依據(jù)該特點，證明也將有法可依。

矛盾律和排中律中存在著相同點和不同點。相同點：兩者都要求不能出現(xiàn)邏輯矛盾，若違背了排中律，那么也一定違背了矛盾律。不同點：矛盾律表明，當(dāng)兩個結(jié)論相互對立時，則一定存在一個結(jié)論是不成立的；排中律則表明，兩個相互否定的結(jié)論中必有一個正確[1]。

二、反證法的解題步驟

用反證法證明問題通?？蓺w納為三個步驟：反設(shè)——歸謬——結(jié)論。它們相互聯(lián)系，是一個整體。第一步——反設(shè)。在用反證法證題時，反設(shè)是基礎(chǔ)。反設(shè)的正確與否，會對解題的進度和結(jié)果產(chǎn)生重大影響。首先要弄清楚題設(shè)條件和結(jié)論，然后不重復(fù)不遺漏地找出與結(jié)論相反的假設(shè)，最后對結(jié)論進行否定或者肯定。這樣就完成了反設(shè)。第二步——歸謬。歸謬是關(guān)鍵，也是反證法解題的難點所在。歸謬即利用反設(shè)導(dǎo)致矛盾，是反證法的核心部分，所以要對推理方向反設(shè)后條件部分和如何找出矛盾有一個明確的概念。第三步——結(jié)論。結(jié)論即利用反證法證題所要得到的最終結(jié)果。歸謬所得到的矛盾并不是什么新的理論，而是由于反設(shè)才產(chǎn)生的，所以命題原來的結(jié)論才能得以成立。至此，解題已經(jīng)完成，自然就達到了反證法證題的目的。

在解題過程中導(dǎo)出矛盾是關(guān)鍵。常見的矛盾形式包括以下幾種：自相矛盾，與假設(shè)矛盾，與已知條件矛盾，與定理、定義、公理矛盾。相比于直接證明，利用反證法證明問題，可以越過一些阻礙（有時候利用小學(xué)知識問題就可以得到解決）。反證法的優(yōu)點也在于此。同時，反設(shè)使解題條件相比于原來有所增加，所以反證法在證明過程中具有明顯的優(yōu)勢。

三、應(yīng)用反證法解題時應(yīng)注意的問題

（一）正確否定結(jié)論

正確否定結(jié)論是用反證法證題的前提條件。如命題：“在一個三角形中，內(nèi)角最多有一個是直角?！薄白疃嘤幸粋€”表示“沒有一個”或“只有一個”，其反面可以是“三個內(nèi)角都是直角”或“有兩個內(nèi)角為直角”，也就是說“至少有兩個為直角”。

從上面例子看出，在解題中要善于抓住題型結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)剡\用反證法，即通過否定原始結(jié)論而達到肯定原結(jié)論的目的，可以使一些難解的問題得到解決。如若否定這種原始結(jié)論，必須在邏輯推理過程中及時地發(fā)現(xiàn)矛盾和有意識地制造矛盾。反證法能夠加強對學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練。學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)，不僅能加強學(xué)生的思維能力，還能有效提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

（二）明確推理特點

反證法的核心是：否定結(jié)論并推出矛盾。但我們事先無法預(yù)測會出現(xiàn)何種矛盾或者何時會出現(xiàn)矛盾，因此矛盾具有不確定性。通?？梢圆孪朊艹霈F(xiàn)的相關(guān)領(lǐng)域，該領(lǐng)域可能與命題有關(guān)（例如，如果是平面幾何問題，一般會聯(lián)想到有關(guān)的公理、定義、定理等），這也是反證法的一個重要特點。一般情況下，我們無法對矛盾進行規(guī)定或預(yù)測，而且這也是不必要的。只要能夠做到假設(shè)無誤，推理嚴謹，有理有據(jù)，自然可以找出矛盾，使結(jié)論得到證明。

（三）了解矛盾種類

在運用反證法進行證明的過程中，是否始終只會導(dǎo)出與題設(shè)或部分題設(shè)矛盾的結(jié)果呢？答案是否定的。矛盾的結(jié)果可能是多種多樣的，可能與題設(shè)或部分題設(shè)相矛盾，也可能與已知真命題相矛盾。不僅如此，也可能與臨時的假設(shè)相矛盾，或者與已知定義、公理、定理或性質(zhì)相矛盾。同時，推導(dǎo)出一對互相矛盾的結(jié)果也是有可能的。

四、反證法在初中數(shù)學(xué)中的作用

（一）反證法在初中數(shù)學(xué)中的魅力

反證法是一種逆向思維的間接證法，這種思維特點先從命題的題設(shè)切入，找出矛盾后從而確定其真實性。反證法的思想獨特，手段靈活，但是，初學(xué)者常常因為它是一個逆向思維而不習(xí)慣，也把握不到它的要領(lǐng)，有的甚至避而不用。其實在證題術(shù)中反證法占據(jù)很大地位，它不僅能夠用來論證，還能在論證中體會很多新的發(fā)現(xiàn)。

在一些不易直接解決的數(shù)學(xué)問題中，可以巧妙地利用反證法來解決。不僅如此，當(dāng)我們在日常生活中遇到難題時，也可以學(xué)會把問題倒過來看。初中數(shù)學(xué)中的各個部分都可以用反證法來解決。例如，數(shù)學(xué)中的代數(shù)部分、幾何部分、數(shù)論部分都可以運用反證法。在運用反證法解題的實踐過程中你會發(fā)現(xiàn)，反證法是一種非常方便靈活的方法。

反證法被稱為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，其地位自然不言而喻。通過反證法，可以有效提高學(xué)生的推理能力，開闊學(xué)生的視野，更有利于訓(xùn)練他們的發(fā)散思維。反證法不僅能夠單獨使用，還可以與其他方法相結(jié)合。在同一道題目中，反證法可以多次反復(fù)使用，有利于快速解題。只要能夠理解反證法的規(guī)律，就可以運用自如，培養(yǎng)出清晰、縝密的邏輯思維能力[2]。

（二）結(jié)合生活實際，靈活運用數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該注重思維能力的培養(yǎng)，通過所做的題目思考解題技巧，增加學(xué)習(xí)熱情。遇到難題時不要輕易放棄，要增加自信，迎接挑戰(zhàn)。而反證法在生活當(dāng)中也有著不可小覷的作用。在數(shù)學(xué)解題中，如何能正確從解題中學(xué)習(xí)其思維能力是一個值得深思的問題。培養(yǎng)學(xué)生思維的過程中要以學(xué)生為本，從生活實際出發(fā)，從真實狀況出發(fā)?；谶@一理念，把反證法融入到生活當(dāng)中，使問題變得更有趣、更精彩。教師在教學(xué)中不應(yīng)該照本宣科，而要引導(dǎo)學(xué)生的探索興趣，調(diào)動學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，在教學(xué)過程中應(yīng)滲透數(shù)學(xué)思維，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)作一件有趣的、快樂的、光榮的事情去做，讓學(xué)生打心眼兒里愛上數(shù)學(xué)。

五、結(jié)語

反證法在數(shù)學(xué)解題中所占比例越來越大，涉及的內(nèi)容也比較深，題型更是多樣，一般的學(xué)生難于駕馭。在解決問題的過程中學(xué)生會遇到各種各樣的問題，很多看似很難的問題，其實用反證法解決就簡單多了。但很多學(xué)生不會馬上想到用它來解決，解題中也很難找到與原命題相矛盾的反設(shè)，從而感覺對反證法難以把握。然而當(dāng)學(xué)生能夠看透反證法的本質(zhì)，并把握其解題步驟，并能夠熟練假設(shè)問題的矛盾時，就能思路清晰地使問題迎刃而解了。尤其是用反證法來思考平面幾何問題、唯一性命題、不可能命題、無窮性命題時，對學(xué)生的解題幫助很大。

參考文獻：

[1] 亢惠蘭.改變命題迂回求解——反證法的邏輯原理及在解題中的應(yīng)用[J].基層醫(yī)學(xué)論壇，2012（27）：133.

[2] 沈有釗.關(guān)于用反證法證題的探討[J].黔東南民族師專學(xué)報，1994（Z2）：61.