第二十三講 混料比率設(shè)計拾遺

徐靜安

相當(dāng)長一段時間內(nèi)，參與討論上?；ぱ芯吭簝?nèi)的項目開發(fā)，涉及到混料試驗問題。有的項目實驗方案的實施結(jié)果較好，有的模型預(yù)報、驗證相差甚遠(yuǎn)，產(chǎn)生了很大困惑。除了實驗原材料質(zhì)量控制、實驗誤差外，試驗設(shè)計方案的適用性、針對性引起筆者重視。先后精讀了幾本數(shù)理統(tǒng)計書中相關(guān)章節(jié)、案例，此外，還讀了幾本新書，查漏補(bǔ)缺，也避免知識老化。

由何映平編著、化學(xué)工業(yè)出版社于2013年1月出版的《試驗設(shè)計與分析》：該書由化學(xué)工業(yè)出版社分社杜社長于2014年6月贈送。該書是適用于本科生的基礎(chǔ)教材，側(cè)重于正交試驗設(shè)計，僅作瀏覽。

由何為、薛衛(wèi)東、唐斌主編，化學(xué)工業(yè)出版社于2014年4月出版的《優(yōu)化試驗設(shè)計方法與數(shù)據(jù)分析》，該書由化學(xué)工業(yè)出版社分社杜社長于2014年6月贈送。該書是電子科技大學(xué)“十二五”規(guī)劃研究生教材，常用的正交試驗設(shè)計、正交多項式回歸設(shè)計、均勻設(shè)計、響應(yīng)曲面試驗設(shè)計、三次設(shè)計及優(yōu)選法基礎(chǔ)等作了介紹，數(shù)據(jù)處理主要是方差分析、回歸分析。該書對工程類研究人員來說有較好的可讀性。

由唐啟義著、科學(xué)出版社于2010年2月出版的《DPS數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)——實驗設(shè)計、統(tǒng)計分析及數(shù)據(jù)挖掘》（第2版）：該書電子版于蛇年（2013年）由張玉梅贈，紙質(zhì)版于2014年8月由段敏偉、楊維成、羅勇贈送。該書內(nèi)容涵蓋廣泛，有1138頁面，仿佛一本統(tǒng)計百科全書，也是以應(yīng)用為基礎(chǔ)、以DPS軟件功能模塊為支持、涉及實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析和模型模擬方法的工具書。其中，具有全球領(lǐng)先地位的均勻試驗設(shè)計、混料試驗設(shè)計等幾個功能模塊的獨創(chuàng)算法，對上?；ぱ芯吭貉芯宽椖烤哂泻芨叩膽?yīng)用價值，需要精讀。上?；ぱ芯吭阂奄徺IDPS正版軟件，并在科研一線的10臺計算機(jī)上安裝運行。

由關(guān)穎男編著、上?？茖W(xué)技術(shù)出版社于1990年出版的《混料試驗設(shè)計》：該書為筆者查閱到的國內(nèi)最早出版論述混料試驗設(shè)計的專著，多方求購不得，經(jīng)馬海森、盧浩幫助，于2014年11月19日從網(wǎng)上下載。該書介紹了無附加約束、有附加約束的混料試驗、變量變換及混料數(shù)據(jù)的分析等。對工程技術(shù)人員來說，此書因涉及線性代數(shù)等基礎(chǔ)，閱讀難度較大。好在混料試驗設(shè)計主體技術(shù)已在DPS功能模塊中體現(xiàn)。筆者在瀏覽后對其進(jìn)行了選擇性閱讀，如混料的比率模型等章節(jié)。

在某些混料試驗中，專業(yè)知識更關(guān)注某些分量百分比之間的相對比率，如混料中2種反應(yīng)物質(zhì)的比例對收率的影響等，其中x1價格較貴，x2價格便宜，且過量的x2容易從產(chǎn)物中分離。研究的興趣在于考察x2/x1對響應(yīng)Y的影響。

此外，在P因素混料試驗中，由于∑xi=1，其中每個因素變化都不是獨立的。如果將P個因素，分量的百分比化成P-1個比率，則每一個比率能獨立變化。

從筆者所見案例：如 P=3，x1，x2，x3可化成 x1/x2，x2/x3，也可化成 x1/x2+x3，x2/x3；對 P=4，x1，x2，x3，x4可化成x1/x2，x1/x3，x1/（x3+x4）；對P=5，x1，x2，x3，x4，x5可化成x2/x1，x2/x3，x1/x4，x5/x3等。

在（P-1）個比率中，似無定規(guī)，只要求每一個比率中至少有一個自然因素xi與其他的比率聯(lián)系起來。比率的組合形成及選定的考察水平，可根據(jù)專業(yè)知識來確定，有較大的靈活性。

一、案例

利用混料的比率設(shè)計研究白色陶器組分與其吸水性之間的關(guān)系。需考察的因素是4個成分：霞石正長巖（x1），長石（x2），黏土（x3）與燧石（x4）。

選L8（27）正交表，因素水平及編碼如表1、表2所示，擬采用一次回歸正交試驗設(shè)計。

表1 因素（比率）水平表

表2 因素水平編碼表

由此在正交試驗L8（27）表上形成一次回歸正交設(shè)計編碼表及相應(yīng)實驗結(jié)果（見表3）。

表3 一次回歸正交設(shè)計編碼表及相應(yīng)實驗結(jié)果

在實際實驗時，需要把每一號試驗的比率組合換算成自然因素的百分比組合。如以x2為基礎(chǔ)，對第1號試驗：由z1=x1/x2=3，得x1=3x2；由z3=x3/（x1+x2）=0.4，得 x3=0.4（3x2+x2）=1.6x2；由 z2=x3/x4=3，得 x4=x3/3=1.6x2/3=0.533x2。

由此可得：

對P個自然分量百分比，化成P-1的混料比率，再加約束∑xi=1，方程組可解。可解得：x1=48.92%，x2=16.31%，x3=26.09%，x4=8.69%。

以此類推，可得各試驗號的百分比組合。由此可得各分量實驗范圍的上、下限。x1：41.67%～56.31%；x2：9.26%～16.89%；x3：26.09%～34.88%；x4：5.41%～11.11%。如果對某個分量考察范圍不認(rèn)可，則需調(diào)整對應(yīng)混料比率的水平值。這是混料試驗的本質(zhì)所在，應(yīng)重視。因素百分比組合試驗方案見表4。

表4 因素百分比組合試驗方案表

本文重點不在于介紹一次回歸正交設(shè)計的計算過程，該類試驗設(shè)計于20世紀(jì)70年代中后期開始推廣應(yīng)用，目前在計算機(jī)軟件的支持下，已有了更高級的試驗設(shè)計。有興趣的讀者可查閱相關(guān)著作。

經(jīng)中心化轉(zhuǎn)換可得全回歸方程：

Y=12.824-0.056z1-0.526z2-0.896z3-0.131z1z2+0.464z1z3+0.05z2z3。

二、討論

1.對于正交設(shè)計、組合設(shè)計等也要求變量獨立，案例采用混料比率設(shè)計，在一次回歸正交設(shè)計中成功應(yīng)用，并建立相應(yīng)的統(tǒng)計模型，用混料比率可以解除混料自然組分百分比變化時的隱性混雜，混料比率變化獨立。

2.在確定的P-1個比率中，要求每一個比率中至少有一個自然因素與其他的比率聯(lián)系起來，從而可解得每個試驗號各組分的自然百分比組合。這是混料比率設(shè)計的技術(shù)核心。

3.根據(jù)專業(yè)知識選定混料的比率形式及變化的范圍，文中因素（比率）水平表體現(xiàn)了比率形成及考察變化的范圍。

4.當(dāng)混料中根據(jù)專業(yè)知識選定混料比率的同時，如果各分量兼受專業(yè)上的上、下限約束時，問題比較復(fù)雜，相關(guān)著作沒有展開討論。

筆者建議：

（1）首先按本刊2018年第一期刊登的第二十一講“混料配方研究中極端頂點設(shè)計的應(yīng)用解讀”中，對各分量的上、下限約束進(jìn)行檢查，解除多余約束：

有上下限約束的混料試驗：

經(jīng)計算，a=∑ai＜1，b=∑bi＞1。

令 ai=max（ai，bi+1-b），bi=min（bi，ai+1-a），新得到的ai，bi排除了多余的約束。

（2）根據(jù)混料比率及考察變化范圍選擇試驗設(shè)計方案，如案例選用一次回歸正交設(shè)計，對每個試驗號的比率組合計算自然因素的百分比，由表可見每個自然因素，即分量的上、下限。

（3）由（1）解除多余約束所得分量上下限；由（2）混料比率結(jié)合具體試驗設(shè)計的試驗號計算各分量百分比組合所得分量上、下限，二者可能不一致。此時在確保“鋼性”約束外，可以調(diào)整混料比率水平的變化，也就是要“試湊”混料比率，使由（2）計算的上、下限值接近及處于由（1）計算所得上、下限的范圍內(nèi)。

5.混料比率設(shè)計及下述的有過程參數(shù)的混料比率組合設(shè)計，在工程界獲得應(yīng)用。但是，上述的“試湊”過程，由于混料比率形式的靈活性，過程計算、調(diào)整比率值等比較繁瑣，沒有得到MINITAB、DPS等軟件相應(yīng)模塊的支持，需要應(yīng)用者自行計算完成。由于“試湊”過程繁瑣，教材類的數(shù)理統(tǒng)計專著也不作為混料試驗設(shè)計的主流技術(shù)加以討論。工程界應(yīng)用混料比率設(shè)計的主要原因是專業(yè)需要以及設(shè)計方案形成不需要過多數(shù)理統(tǒng)計知識支持，簡單、直觀，尤其是可進(jìn)行傳統(tǒng)的單因素探索性考察實驗。

6.由于混料比率設(shè)計中變量獨立，可用于一次回歸正交試驗設(shè)計，采用全回歸建模。進(jìn)一步引伸，也可用于均勻設(shè)計，形成混料比率均勻設(shè)計，采用逐步回歸建模。

如果按原案例的混料比率及考察范圍，選用表及其使用表具體見表 5、表 6。在1，3，4 列安排 z1，z2，z3。z1，z2的 8 個水平分別為3.0，3.3，3.6，3.9，4.2，4.5，4.8，5.0；z3的 8 個 水 平為0.40，0.43，0.46，0.49，0.52，0.55，0.58，0.60。由此，在（85）均勻表上形成混料比率均勻設(shè)計，具體見表7。

在實際實驗時，仍需把每一號試驗的比率組合換算成自然因素的百分比組合。也以x2為基礎(chǔ)進(jìn)行上述的計算，可得試驗號的百分比組合。

表5 U8*（85）表

表6 （85）的使用表

表6 （85）的使用表

因素數(shù) 列號 D 2 1 3 0.144 5 3 1 3 4 0.200 0 4 1 2 3 5 0.270 9

表7 （85）的混料比率均勻設(shè)計

表7 （85）的混料比率均勻設(shè)計

試驗號 z1 z2 z3 1 1 3.0 4 3.9 7 0.58 2 2 3.3 8 5.0 5 0.52 3 3 3.6 3 3.6 3 0.46 4 4 3.9 7 4.8 1 0.40 5 5 4.2 2 3.3 8 0.60 6 6 4.5 6 4.5 6 0.55 7 7 4.8 1 3.0 4 0.49 8 8 5.0 5 4.2 2 0.43

顯然，采用表安排混料比率的優(yōu)勢在于實驗方案的均勻性，zi多水平統(tǒng)計建模的模型穩(wěn)定性。

7.進(jìn)一步引伸，在同時考察工藝參數(shù)溫度、時間、壓力等影響的混料試驗問題中，按上述討論先將混料試驗問題轉(zhuǎn)化為混料比率試驗問題，再組合工藝變量，選擇均勻設(shè)計表，構(gòu)筑成混料比率組合均勻設(shè)計。

有限的著作例舉了相同的案例，如進(jìn)行某合金的強(qiáng)度試驗，要考察合金的混料組分鐵（x1）、鎳（x2）、碳（x3）和鉻（x4），同時考察工藝因素，退火溫度、退火時間。這是一個四分量混料問題，轉(zhuǎn)化為P-1=4-1=3的混料比率：z1=x1/x2，z2=x1/x3，z3=x1/（x3+x4），組合兩個工藝因素，z4'=退火溫度，z5'=退火時間，按5個獨立變量選擇均勻設(shè)計表。

混料比率組合均勻設(shè)計在工程性技術(shù)開發(fā)中很有應(yīng)用前景。本刊2017年第四期刊登的第十二講“均勻設(shè)計實驗方案選擇的幾點考慮”中，列舉了“均勻設(shè)計法在三鄰苯二胺基環(huán)三磷腈合成中的應(yīng)用”。在親核取代反應(yīng)中考察：反應(yīng)時間x1=8.0～24.0 h、原料配比 x2n（鄰苯二胺）∶n（六氯環(huán)三磷腈）=2.9～4.5、縛酸劑用量x3n（三乙胺）∶n（六氯環(huán)三磷腈）=5.5～7.5?；炝媳嚷试O(shè)計中，用自然分量六氯環(huán)三磷腈把P-1=3-1=2個混料比率聯(lián)系起來，作為獨立變量就能構(gòu)筑成混料比率組合均勻設(shè)計。見表8。

表8 均勻設(shè)計實驗方案及結(jié)果表

用三元二次多項式逐步回歸建模：

回歸方程 R=0.99，S=1.72，P=0.000 1，F(xiàn)=94.96＞F0.05（3，5）=5.41回歸方程具有顯著的統(tǒng)計意義。DPS軟件預(yù)測考察范圍內(nèi)反應(yīng)最佳條件為x1=14.57，x2=4.5，x3=6.5，Y=93.73。x1反應(yīng)時間不顯著，為考察范圍內(nèi)隨機(jī)值。三次驗證實驗穩(wěn)定，擬合、預(yù)報功能良好。見表9。

表9 最佳條件驗證實驗表

顯然，這樣構(gòu)筑的混料試驗方案，不僅比傳統(tǒng)單配方考察減少了實驗工作量，且能規(guī)范地建立、檢驗統(tǒng)計模型，避免隱性混雜，充分挖掘?qū)嶒灁?shù)據(jù)信息，穩(wěn)定地預(yù)報優(yōu)化工藝加配方組合，值得探索應(yīng)用。

三、補(bǔ)缺

在工程性研究中，往往對混料中某2個主成分間的比率更為關(guān)注，在單因素探索試驗階段，在考察工藝因素的同時，也對主成分比率進(jìn)行考察，而暫不對混料進(jìn)行全面考察；還有的采用混料多重比率（x1∶x2∶x3）組合工藝因素進(jìn)行考察。相關(guān)著作均未涉及此類混料比率問題展開討論。

1 主成分混料比率考察

設(shè)定研究對象是P=4混料試驗，以重量克（g）為計量單位。起始混料配方為：x14.89 g，x21.63 g，x32.61 g，x40.87 g?，F(xiàn)對混料比率單項考察z=x1/x2=3～5。在單因素考察時，要求相關(guān)因素固定不變。

當(dāng)z變化到Z=x1/x2=5時，混料配方為：x18.15 g，x21.63 g，x32.61 g，x40.87 g。此時，z=5，x2，x3，x4的絕對量未變化；但是，x2，x3與x4的組分百分比有了變化，產(chǎn)生隱性混雜。見表10。

表10 混料比率考察

如果采用本講義前述的方法，即使在單比率考察時，也對混料比率作整體設(shè)計，采用組分百分比的比率。如前述轉(zhuǎn)化為P-1=4-1=3個混料比率：z1=x1/x2，z2=x3/x4，z3=x3/（x1+x2），把起始混料組分代入得z1=3，z2=3，z3=0.4。固定 z2，z3，考察 z1單比率變化對 Y的影響，z1=3～5，用前述的方程組，可得自然組分xi的百分比，x3，x4組分百分比固定。具體見表11。

表11 混料比率考察結(jié)果

質(zhì)疑是創(chuàng)造性思維模式之一?？茖W(xué)強(qiáng)調(diào)批判性，沒有質(zhì)疑、批判就不知前人理論、知識、技術(shù)的不足和缺點。當(dāng)然，也包括自己對過去認(rèn)識的反思，質(zhì)疑、批判是為了往前走，是為了技術(shù)進(jìn)步，不是為了批判而批判，也不是無依據(jù)地質(zhì)疑，所以還要在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上提出建設(shè)性方案，再通過實踐加以驗證。

筆者對上述混料主成分比率兩種方法的差異進(jìn)行展開、初步的計算分析。這兩種方法在工程界易混淆，相關(guān)著作未見討論，而研究報告應(yīng)用效果也似是而非，主要是缺乏驗證性實驗結(jié)果。筆者從混料試驗的本質(zhì)內(nèi)涵是xi組分百分比在對響應(yīng)值Y起作用,以及數(shù)理統(tǒng)計單形坐標(biāo)系中∑xi=1的約束考慮，組分百分比的比率獨立，似乎更為合理。愿和同仁們進(jìn)一步討論。

2 多重混料比率組合試驗

在工程性混料試驗時，對P=3的混料問題，常見直接采用多重比率作為一個綜合變量和工藝參數(shù)組合進(jìn)行試驗設(shè)計。

如在Ni-5%合金基帶電化學(xué)拋光工藝的初步探索時，根據(jù)文獻(xiàn)及專業(yè)經(jīng)驗初定考察范圍，選擇表，實驗結(jié)果見表12。

表12 多重混料比率組合試驗結(jié)果

表中電解液配比為：正磷酸∶濃硫酸∶有機(jī)添加劑的多重比率。該多重比率采用體積比為V1∶V2∶V3，且∑Vi=10。

初步探索試驗，要求基帶表面粗糙度Rms≤10 nm，直觀分析No3與No6為好點，6次實驗考察P=3的三組分混料配方并組合3個工藝參數(shù)而獲得好點，實驗效率很高。如果要求獲得統(tǒng)計模型，求取優(yōu)化的工藝條件，可把多重比率綜合看作為一個定性變量，即配方1、配方2、……、配方6。在統(tǒng)計建模時定義為偽變量（有，無）對應(yīng)二進(jìn)制的（1，0）。

僅限筆者所見，在混料試驗領(lǐng)域個別專著引用的案例、一些公開發(fā)表的科技論文、院內(nèi)的某些研究報告，其中出現(xiàn)似是而非的結(jié)果，以及預(yù)報和驗證值相差甚遠(yuǎn)、乃至離譜結(jié)果的案例，大都涉及試驗設(shè)計方案中混料組分變量的不獨立性，因產(chǎn)生隱性混雜而造成，應(yīng)予以重視。

后記：

2013級研究生編寫開題報告期間，彭東輝、吳向陽教授及李志剛導(dǎo)師助理帶教的浦靜雯碩士的研究生課題涉及混料試驗設(shè)計，我應(yīng)邀多次參與該課題討論，結(jié)合院內(nèi)項目，趕寫此文，浦靜雯積極學(xué)習(xí)并打印。