材料屬性溫度相關(guān)變厚度FGM圓板自由振動(dòng)DQM求解

李清祿，王文濤，楊靜寧

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院工程力學(xué)系，蘭州 730050)

為滿足材料能夠抵抗高溫環(huán)境,日本科學(xué)家在80年代制造了功能梯度材料(Functionally Graded Material, FGM)[1]。功能梯度材料通常是由陶瓷和金屬構(gòu)成的復(fù)合材料，其材料性能從一側(cè)到另一側(cè)連續(xù)梯度變化。這種連續(xù)的空間變化的成分設(shè)計(jì)，可以減輕應(yīng)力集中附近的空隙、缺陷或?qū)Σ牧线M(jìn)行優(yōu)化，以達(dá)到預(yù)期的工程目標(biāo)。功能梯度材料具有巨大的潛在的技術(shù)和工程應(yīng)用，特別是在極端熱環(huán)境下，可以明顯減少由于高溫梯度引起的應(yīng)力集中。

目前，就功能梯度材料的熱屈曲和自由振動(dòng)做了大量的研究[2]。Yang等[3]基于高階板理論，研究了功能梯度薄圓板的熱屈曲行為，獲得了熱臨界溫度的封閉解。Yang等[4]采用高階剪切理論，研究了非均勻升溫下矩形板的非線性彎曲和過(guò)屈曲問(wèn)題，并對(duì)帶有裂紋FGM梁受到軸向載荷和移動(dòng)載荷作用下的自由和受迫振動(dòng)作了分析。Li等[5]采用打靶法研究了具有初始缺陷FGM圓板的熱后屈曲行為。Kermani等[6]利用三維彈性理論建立了FGM圓板和圓環(huán)板的自由振動(dòng)控制方程，利用微分求積法求解了問(wèn)題的數(shù)值解，討論了厚徑比和梯度指數(shù)對(duì)無(wú)量綱頻率的影響。Mantari等[7]基于廣義準(zhǔn)三維混合高階剪切變形理論，研究了彈性地基上功能梯度矩形板的自由振動(dòng)響應(yīng)。以上文獻(xiàn)都沒(méi)有考慮材料物性參數(shù)的溫度相關(guān)性。Reddy等[8]表明，F(xiàn)GM材料的物性參數(shù)與溫度變化是相關(guān)的。

Malekzadeh等[9]利用微分求積法研究了雙參數(shù)彈性地基上FGM薄至中厚環(huán)板在熱環(huán)境中的自由振動(dòng)問(wèn)題。Yang等[10]研究了剪切變形圓/環(huán)板的熱后屈曲行為，其中精確考慮了溫度對(duì)物性參數(shù)的依賴性。Shen等[11]考慮了材料物性參數(shù)的溫度相關(guān)性，分別采用Voigt混合率模型和Mori-Tanaka模型研究了熱環(huán)境中FGM矩形板的自由振動(dòng)。Shen等[12]考慮了材料的溫度相關(guān)性，研究了彈性地基上FGM圓柱曲板在徑向壓力下的熱屈曲問(wèn)題。

由于制造技術(shù)和材料科學(xué)的發(fā)展,人們能將圓板加工成各種變厚度的圓板以滿足航空航天等工程領(lǐng)域的要求，目的是減輕自重和幾何尺寸。由于FGM材料的興起，變厚度FGM結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航空航天、土木以及核工業(yè)等領(lǐng)域，因此變厚度FGM結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為的研究具有現(xiàn)實(shí)的工程背景。然而文獻(xiàn)調(diào)研所知，材料屬性溫度相關(guān)變厚度FGM圓板自由振動(dòng)的研究目前在國(guó)內(nèi)外還沒(méi)有相關(guān)的報(bào)道。

本文研究了變厚度Mindlin功能梯度材料圓板在熱環(huán)境中的橫向自由振動(dòng)問(wèn)題。假設(shè)材料屬性溫度相關(guān)且材料組分研板的厚度按冪指數(shù)梯度連續(xù)變化?；谝浑A剪切板理論，利用哈密頓原理建立了以中面轉(zhuǎn)角和橫向位移為基本未知量的FGM變厚度圓板軸對(duì)稱自由振動(dòng)問(wèn)題的控制微分方程。采用微分求積法將微分方程組轉(zhuǎn)化為自由振動(dòng)代數(shù)方程，求解特征值問(wèn)題從而求得自由振動(dòng)的前幾階頻率，并與已有的各向同性材料圓板以及FGM圓板的無(wú)量綱頻率進(jìn)行了比較，證實(shí)所得的結(jié)果的可靠性。給出了均勻升溫和非均勻升溫兩種情況下，板的厚度、材料梯度指數(shù)以及厚度變化系數(shù)不同時(shí)的固有頻率。詳細(xì)討論了材料梯度指數(shù)、厚度變化系數(shù)、溫度變化以及邊界條件對(duì)頻率的影響。

1 FGM物性參數(shù)及溫度場(chǎng)描述

1.1 物性參數(shù)描述

考慮FGM材料板為陶瓷ZrO2和金屬Ti-6Al-4V復(fù)合而成，板的下面為純陶瓷，陶瓷材料的體積分?jǐn)?shù)可用下面的表達(dá)式給出

(1)

式中：p代表FGM從上表面過(guò)渡到下表面的梯度指標(biāo)。p=0代表純陶瓷材料，隨著p的增加，板內(nèi)陶瓷材料的成分逐漸減少,金屬(Ti-6Al-4V)直到變成純金屬。

采用Voigt等應(yīng)變的線性混合率模型，則FGM材料的等效物性參數(shù)彈性模量E、密度ρ、泊松比υ、熱膨脹系數(shù)α、熱傳導(dǎo)系數(shù)K是依賴于溫度T的，可描述為

E(z,T)=Em+(Ec-Em)(0.5+z/h)p

(2)

ρ(z,T)=ρm+(ρc-ρm)(0.5+z/h)p

(3)

υ(z,T)=υm+(υc-υm)(0.5+z/h)p

(4)

α(z,T)=αm+(αc-αm)(0.5+z/h)p

(5)

K(z,T)=Km+(Kc-Km)(0.5+z/h)p

(6)

1.2 溫度場(chǎng)描述

考慮材料物性參數(shù)P與溫度相關(guān)[13]

P=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2)

(7)

式中：T=T0+ΔT，室溫T0=300K。材料隨溫度變化的物性參數(shù)，如表1所示[11]。記陶瓷一側(cè)和金屬一側(cè)的溫度分別為T(mén)c和Tm，板內(nèi)溫度沿厚度變化。其中升溫滿足一維熱傳導(dǎo)方程

(8)

邊界條件為

T(h/2)=Tc,T(-h/2)=Tm

(9)

方程(8)在邊界條件(9)下的冪級(jí)數(shù)形式的解為

其中

Tr=Tc/Tm,Kcm=Kc-Km

表1 陶瓷和金屬隨溫度變化的物性系數(shù)Tab.1 Temperatur-dependent coefficients for ceramic and metals

2 控制微分方程

考慮一半徑為a,變厚度h(r)的FGM中厚圓板。厚度從板中心到外邊界按線形變化h(r)=h0+λr。其中，h0為板中心處的厚度，λ為厚度變化系數(shù)。在板上施加沿厚度方向變化的溫度場(chǎng)T。采用極坐標(biāo)系(r,θ,z)，r，θ和z分別為徑向、環(huán)向和橫向坐標(biāo)。

考慮軸對(duì)稱自由振動(dòng)，根據(jù)一階剪切板理論，其位移場(chǎng)可寫(xiě)為

(10)

式中：w為板橫向位移；ψ為板中面法線的轉(zhuǎn)角；t為時(shí)間變量。

幾何方程：

(11)

物理方程：

圖1 FGM圓板示意圖Fig.1 Sketch map of the FGM circular plate

將式(11)代入式(12)，并沿厚度方向積分，可得內(nèi)力為

(13)

Mindlin板的剪切系數(shù)為κs=12/π2。

式(13)中剛度系數(shù)的定義為

(14)

熱軸力和熱彎矩為

(15)

運(yùn)動(dòng)方程：

應(yīng)變能變分為

(16)

動(dòng)能變分為

(17)

由Hamilton原理，由

(18)

將式(13)代入式(18),可得位移形式的控制方程

(19)

假設(shè)板振動(dòng)的位移和轉(zhuǎn)角均為時(shí)間的諧響應(yīng)模態(tài)

(20)

將式(20)代入式(19)，可得位移形式的運(yùn)動(dòng)控制方程如下

(21)

(22)

其中

為計(jì)算方便，采用如下量綱一變換

得FGM Mindlin圓板軸對(duì)稱振動(dòng)無(wú)量綱控制方程為

(23)

考慮傳統(tǒng)的兩種邊界條件,

(1)周邊夾緊

(24a)

(2) 周邊不可移簡(jiǎn)支

(24b)

3 DQM方程的離散

按照DQM方法的原理,沿徑向方向0≤r≤R將半徑劃分N個(gè)節(jié)點(diǎn),本文采用非均勻節(jié)點(diǎn)劃分方式

(25)

由微分求積法，一階導(dǎo)數(shù)權(quán)系數(shù)為

類似地，二階及二階導(dǎo)數(shù)權(quán)系數(shù)為

控制方程(23)和邊界條件(24a),(24b)通過(guò)DQM離散后，可得下面的代數(shù)方程組

k=2,3,…N-1

(26)

周邊夾緊

(27a)

周邊不可移簡(jiǎn)支

(27b)

這樣，變厚度FGM圓板在熱環(huán)境中自由振動(dòng)的控制方程(26)與邊界條件(27a),(27b)就構(gòu)成了征值方程，可用分塊矩陣象征性表示為

其中

{Xb}=[W1,WN,φ1,φN]T

{Xi}=[W2,W2,…WN-1,φ2,φ3,φN-1]T

(28)

利用式(26)消去{Xb}可得特征值方程

(29)

4 數(shù)值結(jié)果及分析

首先，將對(duì)DQM結(jié)果的收斂性進(jìn)行討論。計(jì)算中取p=0，λ=0，Tc=Tm=0K，則FGM圓板退化為均勻各項(xiàng)同性等厚度圓板的自由振動(dòng)問(wèn)題。對(duì)于給定的不同節(jié)點(diǎn)N，表2給出了固支邊界下圓板的前三階量綱一固有頻率，并和文獻(xiàn)[14]三維彈性解和文[15]的解析解進(jìn)行了比較，從計(jì)算結(jié)果看出，取9個(gè)節(jié)點(diǎn)計(jì)算的結(jié)果已和文獻(xiàn)結(jié)果十分接近。當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)超過(guò)13時(shí)，DQM計(jì)算的結(jié)果載不增加了。這說(shuō)明，13個(gè)節(jié)點(diǎn)就可以得到足夠精確的數(shù)值解答。表3為N=13時(shí)的計(jì)算結(jié)果，并與文獻(xiàn)[14-15]作了比較，其結(jié)果十分吻合。因此，后面的計(jì)算都取13個(gè)節(jié)點(diǎn)。用DQM法取較少的節(jié)點(diǎn)數(shù)就能得到精度比較高的結(jié)果，費(fèi)時(shí)少而精度高。

表4給出了FGM圓板的計(jì)算結(jié)果的比較情況,取等厚度圓板δ=0.01,λ=0,p=0,0.1,1,5時(shí)，F(xiàn)GM圓板在無(wú)升溫下軸對(duì)稱自由振動(dòng)的前三階量綱一固有頻率。從表4可以看出，本文的計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)[16]給出的FGM圓板的結(jié)果非常接近,說(shuō)明本文方法的正確性和DQM方法的適用性。

表5和表6分別給出了固支和簡(jiǎn)支兩種邊界下，厚度變化系數(shù)λ=0時(shí)，不同梯度指標(biāo)p下Mindlin圓板在不同均勻升溫下的前三階量綱一頻率。表5不難看出，對(duì)于固支圓板，δ一定時(shí)板的前三階固有頻率均隨p的增加而降低，p一定時(shí)板的前三階頻率均隨厚度δ的增加而減小，這一結(jié)論和文獻(xiàn)[17]給出的結(jié)果是相似的，但由于均勻升溫導(dǎo)致了相同條件下的固有頻率和文獻(xiàn)[17]相比減小了。同時(shí)看出，固有頻率隨升溫的升高會(huì)降低。從表6反映出，簡(jiǎn)支板的二階和三階頻率隨p和δ的增加都會(huì)減小，但一階頻率卻并非如此，這和文獻(xiàn)[17]給出的無(wú)溫度作用下的情況是相反的。

圖2～圖4分別給出了固支邊界下,λ=0.05時(shí),前三階量綱一頻率在不同非均勻升溫下隨梯度指標(biāo)p的變化關(guān)系圖。由圖可見(jiàn)，隨非均勻升溫的增加固有頻率單調(diào)減小。圖5為截面變化系數(shù)λ對(duì)前三階頻率的影響曲線，可見(jiàn)，隨λ的增加一階頻率單調(diào)增加，二、三階頻率單調(diào)減小。

表2 固支板自由振動(dòng)量綱一頻率ω(p=0)Tab.2 Dimensionless natural frequencies ω of vibration for Mindlin plates with clamped edge

表3 簡(jiǎn)支板自由振動(dòng)量綱一頻率ω(p=0)Tab.3 Dimensionless natural frequencies ω of vibration for Mindlin plates with simply supported edge

表4 不同梯度指標(biāo)p下圓板自由振動(dòng)量綱一頻率ωTab.4 Dimensionless natural frequencies ωn of FGM Mindlin plates with different graded index

表5 均勻升溫下周邊固支FGM圓板自由振動(dòng)量綱一固有頻率ωnTab.5 Dimensionless natural frequencies ωn of FGM circular plates subjected to uniform temperature with clamped edge

表6 均勻升溫下周邊簡(jiǎn)支FGM圓板自由振動(dòng)量綱一固有頻率ωnTab.6 Dimensionless natural frequencies ωn of FGM circular plates subjected to uniform temperature with simply supported edge

圖2 周邊固定時(shí)非均勻升溫時(shí)對(duì)一階頻率與梯度指數(shù)關(guān)系的影響 圖3 周邊固定時(shí)非均勻升溫時(shí)對(duì)二階頻率與梯度指數(shù)關(guān)系的影響 圖4 周邊固定時(shí)非均勻升溫時(shí)對(duì)三階頻率與梯度指數(shù)關(guān)系的影響 Fig.2 Effect of uniform temperature rise on material constant vs.fundamental frequency with clamped edge Fig.3 Effect of uniform temperature rise on material constant vs.second-mode frequency with clamped edge Fig.4 Effect of uniform temperature rise on material constant vs.third-mode frequency with clamped edge

圖5 不同梯度指數(shù)下厚度變化系數(shù)對(duì)FGM圓板一階頻率的影響 圖6 周邊固定下非均勻升溫對(duì)前三階頻率的影響 圖7 周邊簡(jiǎn)支下非均勻升溫對(duì)FGM圓板一階頻率的影響Fig.5 Effect of thickness variation coefficient on the first three frequencies under different material of the material constant Fig.6 The influence of temperature dependence f the material properties on the fundamental frequency of the clamped FGM plates subjected non-uniform temperature rise Fig.7 The influence of temperature dependence of the material properties on the fundametal frequency of the simply supported FGM plates subjected to non-uniform temperature rise

圖6和圖7分別給除了周邊固定和簡(jiǎn)支條件下，取梯度指標(biāo)p=0.5,中心厚度和半徑比δ=0.2,厚度變化系數(shù)λ=0.1情況下均勻升溫和非均勻升溫對(duì)一階固有頻率的影響?？梢钥闯?，溫度變化對(duì)板固有頻率有較大影響，且這種影響隨升溫的增加而顯著增加。考慮材料屬性溫度相關(guān)下的固有頻率略高于不考慮溫度相關(guān)下的。

4 結(jié) 論

基于一階剪切理論，研究了功能梯度變厚度圓板在熱環(huán)境中的軸對(duì)稱自由振動(dòng)。其中假設(shè)材料梯度僅沿厚度呈冪指數(shù)變化且物性參數(shù)與溫度相關(guān)，利用哈密頓原理推導(dǎo)了以中面轉(zhuǎn)角和橫向位移為基本未知量的自由振動(dòng)問(wèn)題的控制方程。利用DQM法求解了周邊固定和簡(jiǎn)支兩種邊界條件下的自由振動(dòng)無(wú)量綱頻率，將得到的結(jié)果與均勻以及FGM材料圓板已有結(jié)果進(jìn)行了比較，顯示了本文方法的正確性。數(shù)值結(jié)果表明:

(1) 均勻和非均勻升溫下，固支和簡(jiǎn)支圓板的無(wú)量綱頻率都隨梯度指數(shù)的增加而減小。同樣條件下，固支圓板的頻率高于簡(jiǎn)支圓板的頻率。

(2) 均勻升溫下，F(xiàn)GM固支圓板的無(wú)量綱頻率隨隨厚徑比的增加而減小，但FGM簡(jiǎn)支圓板的無(wú)量綱頻率并非如此。

(3) 隨均勻和非均勻升溫的增加，F(xiàn)GM圓板無(wú)量綱頻率都減小，非均勻升溫下的頻率高于均勻升溫下的。

(4) 隨變厚度系數(shù)的增加，無(wú)量綱頻率減小?？紤]溫度相關(guān)時(shí)的頻率略高于溫度無(wú)關(guān)時(shí)的頻率。

參 考 文 獻(xiàn)

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