基于分項可變權(quán)函數(shù)的各項異性去噪模型

王銳銳，蔡光程

(昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，云南 昆明 650500)

0 引 言

圖像在獲取、存儲、傳輸、轉(zhuǎn)置的過程中總是不可避免地帶來乘性噪聲的污染，乘性噪聲不僅在較大程度上影響了圖像細節(jié)的真實情況，且嚴(yán)重影響了圖像的分割、分類、目標(biāo)檢測以及感興趣區(qū)域的提取。因此，研究和發(fā)展含乘性噪聲的圖像復(fù)原方法具有重要的理論價值和實際意義。傳統(tǒng)的基于Gauss分布的線性濾波器是對圖像的高頻區(qū)域做處理，因為邊緣細節(jié)信息也在高頻區(qū)域，所以在去噪的同時模糊了圖像的邊緣區(qū)域，丟失了大量的細節(jié)信息[1]。

基于偏微分方程(PDE)去噪模型的研究成為了近年來的熱點。其基本思想是利用偏微分方程各向異性擴散理論對噪聲圖像做處理，通過求偏微分方程的解，達到對圖像去噪的目的[2-3]。

文中討論的乘性噪聲模型為：f(x,y)=u(x,y)v(x,y)，其中點(x,y)為圖像區(qū)域Ω對應(yīng)的像素點，f(x,y)為觀測圖像，u(x,y)為待恢復(fù)圖像，v(x,y)為噪聲?；谠撃Ｐ?，利用MAP估計方法在乘性噪聲服從Gamma分布的假設(shè)下，文獻[4-6]介紹了AA(Aubert-Aujol)模型和HNW模型,分別如式1和式2所示：

(1)

(2)

上述模型都是由正則項和保真項構(gòu)成，其中λ,γ為Lagrange參數(shù)，其值主要由圖像的結(jié)構(gòu)和噪聲的強度決定。正則項均為各項同性全變差(total variation,TV)，全變差正則項能夠在保護圖像邊緣的同時達到有效的去噪效果，但是在處理圖像時存在三點不足：降低了圖像的邊緣銳度；在紋理區(qū)域會出現(xiàn)一定程度的模糊現(xiàn)象；在圖像的光滑區(qū)域會產(chǎn)生“階梯效應(yīng)”。對此，文中提出一種基于四階微分全變差的圖像去噪模型，并通過實驗對其進行驗證。

1 基于分項可變權(quán)函數(shù)的各項異性去噪模型的建立

基于上述模型的不足及現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，很多學(xué)者提出了不同的解決方案[7-14]。文獻[15]中提出了Hessian矩陣Frobenius范數(shù)的迭代重加權(quán)二階正則模型，有效地抑制了圖像在平坦區(qū)域產(chǎn)生的“階梯效應(yīng)”。

在此基礎(chǔ)上，文中建立了一個動態(tài)局部正交坐標(biāo)系，使其在對圖像做降噪處理時，根據(jù)圖像局部變化的不同改變對圖像的去噪進度，從而在去除圖像噪聲的同時能夠有效地保護圖像的邊緣細節(jié)及紋理。設(shè)動態(tài)局部正交坐標(biāo)系(η,ξ)：

其中η為平行于圖像梯度u的單位矢量，ξ為圖像水平線集的單位切矢量[7]。在該局部坐標(biāo)系中，有動態(tài)坐標(biāo)系Hessian矩陣設(shè)為：所以有：

(3)

模型3由TV正則項和保真項構(gòu)成，模型在去除噪聲的同時也有效抑制了“階梯效應(yīng)”。g(x,y)為權(quán)函數(shù)，用來防止圖像的紋理及邊界模糊。

其中，ε(n)使得z(n-1)中的零值元素在下次迭代中為一個非零數(shù)，從而保證迭代的穩(wěn)定。從傳統(tǒng)權(quán)函數(shù)[16-17]的選取中可以看出其都是基于梯度模值建立的，對圖像的邊緣區(qū)域、平坦區(qū)域和噪聲區(qū)域無法做出詳細的區(qū)分，在處理圖像時區(qū)域間連接處的細節(jié)紋理不能得到有效的保留。

(1)若為邊緣區(qū)域，那么|zηη|大，|zξξ|小，所以D大；

(2)若為平坦區(qū)域或坡道區(qū)域，|zηη|和|zξξ|均是小的，所以D小；

(3)對于噪聲區(qū)域，|zηη|和|zξξ|均是大的或者幾乎相等，所以D小。

(4)

式4中取B·2z的F-范數(shù)并對其平方：

所以分項加權(quán)可變權(quán)函數(shù)為：

f(η,ξ)e-z(η,ξ))dηdξ}

(5)

2 模型求解

由模型5知：

EMT患者卵泡早期孕激素水平升高，影響卵泡下個周期的發(fā)育，并干擾卵巢顆粒細胞黃體生成素受體形成，影響排卵及胚胎著床，從而引起不孕；此外研究還發(fā)現(xiàn)，EMT患者子宮內(nèi)膜中HOXA10表達缺陷，而HOXA10對胚胎發(fā)育和子宮內(nèi)膜容受性至關(guān)重要，推斷EMT患者通過影響內(nèi)膜形成降低了胚胎的著床率[26]。

Fz=z(η,ξ)-f(η,ξ)-z(η,ξ)

則模型5對應(yīng)的Euler方程為：

因此模型對應(yīng)的梯度下降流為：

(6)

同理，其余兩項可用類似的方法離散。

對三階導(dǎo)數(shù)的“半點”離散得：

求得四階導(dǎo)函數(shù)的離散；

其余的三階、四階導(dǎo)數(shù)可用同樣的方法求得。

對于系數(shù)的“半點”處的值，可用相鄰的兩個整點的平均值近似：

此離散的邊界條件為：

3 實驗結(jié)果與分析

為了驗證算法對圖像去噪的有效性，選擇傳統(tǒng)的高斯去噪、二階的ATV去噪算法及四階ATV去噪算法進行對比，用峰值信噪比PSNR(PSNR=10×lg(2552/MSE),MSE=‖z0-z‖2)和結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)作為衡量標(biāo)準(zhǔn)。處理的圖片用到了彩色圖像Rose和灰白圖像Room。經(jīng)過大量的數(shù)值模擬實驗，模型參數(shù)?。害?1/4、a=0.4、b=0.7，迭代步長Δt=1.12，迭代次數(shù)n=100，當(dāng)圖像迭代精度ε=10-4時，處理效果最佳。

圖1和圖2分別是Rose圖像和Room圖像的去噪結(jié)果。

圖1 四種去噪結(jié)果(Rose圖像)

圖2 四種去噪結(jié)果(Room圖像)

表1和表2分別是兩幅圖像的算法對比結(jié)果。

表1 算法比較結(jié)果(Rose圖像)

表2 算法比較結(jié)果(Room圖像)

由圖像及峰值信噪比、結(jié)構(gòu)相似度的對比可知，傳統(tǒng)的高斯去噪模型在去除噪聲的同時，模糊了整幅圖像，使得圖像在處理后難以分辨其特征。而二階的ATV模型在去噪時，圖像的邊緣信息保護較好，但恢復(fù)圖像存在“階梯效應(yīng)”。而四階ATV模型在邊緣的細節(jié)保留和對“階梯效應(yīng)”的抑制都有不錯的效果，但丟失了圖像不同區(qū)域的過渡信息。文中模型在去除噪聲時不僅有效保留了圖像的邊緣及不同區(qū)域之間的紋理信息，而且更好地抑制了“階梯效應(yīng)”的產(chǎn)生，從而證明了該模型的有效性。

4 結(jié)束語

文中利用一個邊緣指標(biāo)有效地區(qū)分了邊緣區(qū)域和平滑區(qū)域，基于這個新的邊緣指標(biāo)設(shè)計了一個可變的權(quán)函數(shù)矩陣，提出了一種各項異性的可變權(quán)函數(shù)的去噪模型，并用梯度下降法進行求解。實驗結(jié)果及數(shù)據(jù)表明，該模型能夠衰減噪聲后的“階梯效應(yīng)”，同時較好地保留了圖像的細節(jié)信息及不同區(qū)域間的過渡信息。由于對不同區(qū)域做出了區(qū)分，有效地提高了模型的迭代速度。

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