動力吸振器PQ定點(diǎn)理論研究

張 多

（陜西航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 漢中 723000）

前言

動力吸振器是工程實(shí)際中一種常用的振動控制技術(shù)。動力吸振器從發(fā)明到現(xiàn)在已歷經(jīng)一個多世紀(jì)[1]。因其結(jié)構(gòu)相對簡單，并且能夠有效的減小頻率變化不大的機(jī)構(gòu)和設(shè)備的振動，所以已經(jīng)成為工程領(lǐng)域中對振動進(jìn)行控制的重要手段。當(dāng)主系統(tǒng)無阻尼時具有PQ定點(diǎn)現(xiàn)象，通過該現(xiàn)象可對吸振器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化[2]。

傳統(tǒng)的PQ定點(diǎn)理論是在動力吸振器的質(zhì)量比和固有頻率一定的情況下進(jìn)行討論。在本文中推導(dǎo)了動力吸振器的質(zhì)量比和固有頻率比對P、Q兩點(diǎn)振幅倍率的影響。文中分析的結(jié)論，對動力吸振器的設(shè)計和半主動控制具有一定的應(yīng)用價值。

1 動力吸振器的基本原理

動力吸振器作為一種減振裝置，其減振原理不是靠耗損能量進(jìn)行減振，而是通過吸振器質(zhì)量的動力作用，使吸振器在主系統(tǒng)上產(chǎn)生一個與強(qiáng)迫振動力相抵消的反作用力，以此來達(dá)到減振的目的[3]。圖1為主系統(tǒng)無阻尼時動力吸振器模型，m1、k1為主系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度；m2、k2、c2為吸振器的質(zhì)量、剛度、阻尼；主系統(tǒng)的位移x1，動力吸振器的位移為x2；坐標(biāo)原點(diǎn)都選擇在各自的靜平衡位置。

圖1 動力吸振器模型

應(yīng)用牛頓第二定律，可以建立以下數(shù)學(xué)模型：

當(dāng)F為簡諧激勵時，，系統(tǒng)的響應(yīng)可以表示為：

由Hahnkamm的PQ定點(diǎn)理論可知[4]，當(dāng)主系統(tǒng)參數(shù)和動力吸振器的質(zhì)量和固有頻率一定后，無論吸振器阻尼比如何變化，主系統(tǒng)的振幅倍率曲線總有兩個共同的交點(diǎn)P、Q，即兩點(diǎn)的振幅倍率不受阻尼比的影響，當(dāng)主系統(tǒng)質(zhì)量m1=1，剛度為k1=1時，做出主系統(tǒng)在不同吸振器阻尼比下的振幅倍率曲線，如圖2所示。

圖2 不同阻尼比情況下的主系統(tǒng)振幅倍率曲線（μ=0.25，γ=0.7）

2 吸振器質(zhì)量比和固有頻率比與PQ振幅倍率的關(guān)系

通過上述分析可知，當(dāng)主系統(tǒng)參數(shù)確定，動力吸振器的質(zhì)量比和固有頻率比一定時，PQ定點(diǎn)的振幅倍率的大小和吸振器的阻尼沒有關(guān)系。但當(dāng)吸振器的質(zhì)量比和固有頻率比發(fā)生變化時，P、Q兩點(diǎn)的振幅倍率大小就會發(fā)生變化?，F(xiàn)推導(dǎo)吸振器質(zhì)量比和固有頻率比對P、Q兩點(diǎn)振幅倍率的影響。

這兩條振幅曲線的交點(diǎn)為PQ定點(diǎn)，由于這兩定點(diǎn)的振幅與阻尼無關(guān)，所以兩曲線相交時有以下關(guān)系式：

通過上式與公式（7）聯(lián)立可求得；由于λP小于λQ，置為：

將其帶入公式（3）即可求出在不同質(zhì)量比和固有頻率比下，定點(diǎn)P、Q的振幅倍率的大小。

3 吸振器質(zhì)量比和固有頻率比對主系統(tǒng)減振效果的影響

3.1 質(zhì)量比和固有頻率對主系統(tǒng)振幅倍率的影響

動力吸振器的質(zhì)量對主系統(tǒng)減振效果有明顯的影響，圖3為不同質(zhì)量比μ對主系統(tǒng)減振效果的影響。由圖可知，當(dāng)質(zhì)量比μ越大時，在減振頻帶內(nèi)吸振器對主系統(tǒng)的減振效果越好，此時動力吸振器的有效減振頻帶也越寬。但是當(dāng)質(zhì)量比μ不斷變大時，在一階共振頻率對應(yīng)的峰值振幅倍率會不斷變大，二階共振頻率對應(yīng)的峰值振幅倍率不斷減小。還因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中，既要考慮安裝空間位置還要考慮吸振器質(zhì)量對結(jié)構(gòu)的整體影響，所以選取吸振器質(zhì)量時只能在合適的范圍內(nèi)進(jìn)行考慮。

圖3 質(zhì)量比對主系統(tǒng)振幅倍率的影響

圖4為固有頻率對比振幅倍率的影響。在圖中，固有頻率比影響主系統(tǒng)振幅倍率曲線上兩個共振峰的位置。當(dāng)固有頻率比越大時，一階共振峰對應(yīng)的峰值振幅倍率越大，二階共振峰對應(yīng)的振幅倍率越小。選取一個合適的固有頻率比，可以使兩個共振峰的值相等。

圖4 固有頻率比對主系統(tǒng)振幅倍率的影響

3.2 質(zhì)量比和固有頻率對PQ定點(diǎn)振幅倍率的影響

圖5 質(zhì)量比μ對定點(diǎn)P、Q振幅倍率的影響

在不同的質(zhì)量比下，P、Q兩點(diǎn)的振幅倍率大小有不同的變化趨勢。圖5（a）、（b）為不同吸振器剛度下質(zhì)量比對P、Q振幅的影響。在圖中，隨著質(zhì)量比不斷增加，P點(diǎn)的振幅隨之減小，但是不論質(zhì)量比如何變化，定點(diǎn)P的振幅都不可能小于1。隨著質(zhì)量比的增加，定點(diǎn)Q的振幅先增加后減小。實(shí)際應(yīng)用中吸振器安裝質(zhì)量受空間大小、安裝條件等影響，所以為了保證吸振器在寬頻范圍內(nèi)有較好的減振效果，質(zhì)量比應(yīng)控制在合適的范圍內(nèi)。

在不同的固有頻率比下，P、Q兩點(diǎn)的振幅大小有不同的變化趨勢。在圖6中，討論了在不同的質(zhì)量比下固有頻率比對P、Q振幅的影響。隨著固有頻率比不斷增大，定點(diǎn)P的振幅不斷增大，而定點(diǎn)Q的振幅不斷的減小。

圖6 固有頻率比γ對定點(diǎn)P、Q振幅倍率的影響

4 結(jié)論

對于傳統(tǒng)PQ定點(diǎn)的研究，是在當(dāng)主系統(tǒng)參數(shù)確定，吸振器的質(zhì)量比和固有頻率比一定時，主系統(tǒng)的振幅倍率曲線在不同阻尼比下進(jìn)行討論。在本文中推導(dǎo)了吸振器質(zhì)量比、固有頻率比對兩定點(diǎn)振幅倍率的關(guān)系，分別分析了質(zhì)量比、固有頻率比對P、Q振幅倍率大小的影響，為動力吸振器的參數(shù)選擇和半主動控制提供了一定的參考。

參考文獻(xiàn)

[1] 背戶一登.動力吸振器及其應(yīng)用[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2013:6-7.

[2] 靳曉雄,張立軍,江浩.汽車振動分析[M].上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,2011:81-82.

[3] 劉耀宗.被動式動力吸振技術(shù)研究進(jìn)展[J],機(jī)械工程學(xué)報. 2007 43(3):14-19.

[4] Hahnkamm E,Die Dampfung von Fundamentschwingungen bei veranderlicher Erregerfrequenz [J].Ingenieur Archiv,4:191-201,1932.