化斜移為平移

傅昌平

近年來，全國各地中考數(shù)學(xué)試卷中頻頻出現(xiàn)拋物線上平行四邊形的判定問題，這類問題是典型的二次函數(shù)與幾何的結(jié)合題。一方面這種綜合題型牽涉的知識面很廣，全等三角形、四邊形的性質(zhì)和判定、一元二次方程、二次函數(shù)、相似三角形等初中重要的知識點(diǎn)都悉數(shù)包括；另一方面這種題型也集中體現(xiàn)了中學(xué)數(shù)學(xué)中的分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)方程，數(shù)形結(jié)合等重要的思想。它注重考查學(xué)生對知識的融會貫通，遷移應(yīng)用及延伸拓展，它要求學(xué)生要具備很強(qiáng)的分析問題、探究問題和邏輯推理等能力，所以往往在中考數(shù)學(xué)試卷中都是以壓軸題的形式出現(xiàn)。處理這類題型需要掌握一定的處理技巧，這就是“化斜為直”，也就是將問題中的斜線段平行且相等轉(zhuǎn)化為豎直線段和水平線段相等，即“化斜移為平移”。下面結(jié)合具體試題就這一問題作簡要探討.

例1 （2015年德州中考試題）已知拋物線y= -mx2+4x+2m與x軸交于點(diǎn)A（α，0），B（β，0），且■+■=-2.

（1）求拋物線的解析式.

（2）拋物線的對稱軸為L，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于L的對稱點(diǎn)為E.若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

簡解：（1）易求y=-x2+4x+2.；

（2）如圖2，P為拋物線上的點(diǎn)，過P作PH⊥x軸，垂足為H，過E作EG⊥對稱軸L，垂足為G.若以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.

■

則△PHQ≌△DGE.

∴PH=DG=4

∴|y|=4

∴當(dāng)y=4時(shí)，-x2+4x+2=4解得x=2±■

當(dāng)y=-4時(shí)，-x2+4x+2=-4

解得x=2±■

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2-■，4），（2+■，4），（2+■，-4），（2-■，-4）

【點(diǎn)評】先按順時(shí)針方向作出平行四邊形DEQP或DEPQ.由于題中斜線段DE和PG平行且相等不能直接運(yùn)用，所以需要通過作垂線段PH和EG，構(gòu)造△PHQ≌△DGE.從而將斜線段平行且相等轉(zhuǎn)化為豎直線段PH等于DG和水平線段HQ等于GE。再利用PH=DG=4即|y|=4建立方程求解。

例2 （2017年臨沂中考試題）如圖3，拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過點(diǎn)A（2，-3），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=3OB.

■

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

簡解：（1）易求拋物線的解析式為y=x2-2x-3；

（2）存在，如圖4，當(dāng)AB為對角線時(shí)，易得平行四邊形AM1BN1，∴M1（0，-3）.

當(dāng)AB為一邊時(shí)，在平行四邊形ABM2N2中，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2，點(diǎn)N2的橫坐標(biāo)是1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是 -1，由圖形平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，得點(diǎn)M2的橫坐標(biāo)是-2，縱坐標(biāo)（-2）2-2×（-2）-3=5.

∴M2（-2，5）.

在平行四邊形ABN3M3中，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是-1，點(diǎn)N3的橫坐標(biāo)是1，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2，由圖形平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，得點(diǎn)M3的橫坐標(biāo)為4，∴點(diǎn)M3的縱坐標(biāo)為42-2×4-3=5，

∴M3（4，5）。

綜上所述，存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，M（4，5）或（-2，5）或（0，-3）.

【點(diǎn)評】題中A、B兩點(diǎn)是拋物線上兩定點(diǎn)，M、N分別是拋物線及其對稱軸上兩點(diǎn)，根據(jù)線段AB所在的位置，當(dāng)以AB為對角線作平行四邊形時(shí)，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，很容易找到M（0，-3）；當(dāng)以AB一邊作平行四邊形時(shí)，利用一組對邊平行四邊形，按順時(shí)針作出平行四邊形ABMN和平行四邊形ABNM，從而找到M2、M3，再將條件中的AB平行且等于MN，由圖形平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，將這一“斜移轉(zhuǎn)化為平移”.具體做法是：

A（2，______）→N（1，_____）得B（-1，_____）→M（-2，_____）

或B（-1，_____）→N（1，____）得A（2，_____）→M（4，_____）

再將M點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，求出縱坐標(biāo)。上述兩題的方法可以通用，同學(xué)們不妨試試。

至于其他類型的特殊平行四邊形，可以先根據(jù)條件判定它的形狀，然后再通過上述方式轉(zhuǎn)換。例如：

例3 （2017年蘭州中考試題）如圖5，拋物線y= -x2+bx+c與直線AB交于A（-4，-4），B（0，4）兩點(diǎn)，直線AC：y=-■x-6交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G.

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（1）求拋物線y=-x2+bx+c的表達(dá)式；

（2）在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH，HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時(shí)，以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E，H的坐標(biāo)；

簡解：（1）易求拋物線的解析式為y=-x2-2x+4；

（2）如圖4，易知直線AB的解析式為y=2x+4，設(shè)E（a，2a+4）則Fa，-■a-6.

過點(diǎn)A作AQ⊥EF于Q過H作HP⊥EF于P，

∵直線AB的解析式為y=2x+4，直線AC的解析式為y=-■x-6，

∴AB⊥AC.當(dāng)四邊形AEHF是平行四邊形時(shí)，四邊形AEHF是矩形.

∵EH∥AF，EH=AF.∴∠HEP=∠AFQ.

又∵∠EPH=∠FPA=90°，∴△EPH≌△FQA.∴PH=AQ，EP=FQ.

∴0-a=a-（-4），解得a=-2.∴E（-2，0）

0-yH=-4--■a-6解得yH=-1.∴H（0，-1）.

【點(diǎn)評】第（2）題易證∠BAC=90°，故當(dāng)四邊形AEHF為平行四邊形時(shí)，四邊形AEHF是矩形，通過作垂線段HP、AQ，利用EH與AF平行且相等構(gòu)造△EPH≌△FQA，從而化斜線段EH=AF為豎直線的EP=QF，水平線段PH=AQ，建立等式求解。

總之，這類題型解法的第一步是根據(jù)特殊四邊形的判定作出相應(yīng)的圖形，然后再將題中的一組對邊平行相等這一關(guān)鍵條件進(jìn)行相應(yīng)的“化斜為直”的轉(zhuǎn)換。初中階段數(shù)學(xué)課本上介紹的平移是水平方向或豎直方向，而特殊四邊形一組對邊平行且相等可以看作任意方向上的平移。這就需要我們在解題過程中利用轉(zhuǎn)化、化歸思想化“未知為已知”，通過構(gòu)造三角形全等或利用平移過程中的橫或縱坐標(biāo)的變化規(guī)律將任意方向上的平移轉(zhuǎn)化為水平方向或豎直方向的平移，從而使問題迎刃而解。因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，需要加強(qiáng)這種數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，才能探究新知，完成對知識能動的正向遷移。

（作者單位：安徽省南陵縣春谷中學(xué)）