讓思維從盒子里飛出來

劉兆偉

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的任務(wù)是培養(yǎng)孩子的思維能力，但在實(shí)際教學(xué)中我們?yōu)榱耸箤W(xué)生順利完成學(xué)習(xí)任務(wù)，往往給學(xué)生提供了思考的第一步，學(xué)生只是順著我們給定的思路前行，他們看似在思考，但其思維已經(jīng)受到限制，形成思維定式。我們應(yīng)該打破思維定式，把思考的第一步交給學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，真正培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

【關(guān)鍵詞】“湊十法”；盒子；思維定式

一、困惑

筆者近期參加了江蘇省特級(jí)教師徐宏臻“情智數(shù)學(xué)”工作室的同課異構(gòu)活動(dòng)，全程參與了“9加幾”一課的磨課過程，課中關(guān)于例題教學(xué)教者一開始是這樣實(shí)施的：

復(fù)習(xí)了數(shù)數(shù)和十加幾后，教師出示例題（如圖1），學(xué)生順利列出算式：9+4。

師：怎樣算出9+4的結(jié)果呢？自己想一想，也可以用老師給你們的蘋果圖片數(shù)一數(shù)或擺一擺。（教師課前給學(xué)生提供一張盒子里放蘋果圖片和4張分開的蘋果圖片）

師：誰來說一說你是怎樣想的？

生1：我把盒子外的1個(gè)蘋果移到盒子里去，一共有13個(gè)。

師：還有不同的想法嗎？

生2：我的想法和他一樣。

師：誰還有不一樣的想法？（學(xué)生沉默）有嗎？

生3：我先把盒子里的蘋果移1個(gè)出來，再從盒子外面移2個(gè)進(jìn)去。

師：你的想法和他差不多，還有不同的想法嗎？

生4：我先把盒子里的蘋果移2個(gè)出來，再從盒子外面移4個(gè)進(jìn)去。

師：誰能不用移的方法嗎？（等待，但沒有學(xué)生舉手）

師（無奈）：小朋友們真厲害！老師要給你們點(diǎn)贊！但老師的想法和你們不一樣，我是用數(shù)的方法，大家一起來數(shù)一數(shù)。

生（一起不情愿地?cái)?shù)）：9、10、11、12、13。

師：我們一起來比較一下，是你們的方法好，還是老師的方法好？

……

上面的教學(xué)過程，讓我產(chǎn)生了如下困惑：

1.學(xué)生為什么不愿意去數(shù)

根據(jù)教材的設(shè)計(jì)思路，在計(jì)算9+4這道算式時(shí)，有的學(xué)生會(huì)想到用數(shù)的方法，有的學(xué)生會(huì)想到“湊十法”，當(dāng)學(xué)生想出了不同方法后再進(jìn)行對(duì)比，在對(duì)比中讓學(xué)生感受到用“湊十法”計(jì)算比較方便，從而產(chǎn)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)“湊十法”的需要。教者的教學(xué)設(shè)計(jì)也是按著這個(gè)思路進(jìn)行的。但三次試上過程中發(fā)現(xiàn)，每一次例題圖一出來，學(xué)生很自然地就想到把盒子外面的一個(gè)移到里面去，很快得到“湊十法”。再問學(xué)生還有沒有其他想法，每次試上學(xué)生總是在想怎么拿進(jìn)拿出想不同的方法，就是沒有學(xué)生想到用數(shù)的方法。教者為了完成下面的比較環(huán)節(jié)只好帶著學(xué)生往回走，牽著學(xué)生去數(shù)，學(xué)生數(shù)的總是不情不愿。學(xué)生為什么不愿意去數(shù)呢？筆者思考其原因可能出在例題圖中的盒子上，盒子的出現(xiàn)給了學(xué)生一種強(qiáng)烈的暗示。孩子從小就接受到東西亂了要整理的教育，頭腦中很自然地形成整理的意識(shí)。大多數(shù)學(xué)生看到盒子空了一個(gè)，第一反應(yīng)就會(huì)想到把它填滿。填滿后學(xué)生發(fā)現(xiàn)能夠很快看出結(jié)果，有了這么簡潔的方法，學(xué)生怎么可能還會(huì)有數(shù)的需要呢？老師在這里一再追問，讓學(xué)生感到“丈二和尚摸不著頭腦”，老師究竟想讓我們回答什么，學(xué)生被逼急了終于想出了變簡為繁的移出移進(jìn)的方法。

2.數(shù)的方法是否可有可無

教材想通過對(duì)比不同的方法讓學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)“湊十法”的需要，但課上學(xué)生一下子就找到了最佳方法“湊十法”，那數(shù)的方法還要不要教給學(xué)生呢？參與磨課的教師在這里產(chǎn)生了分歧。有的教師認(rèn)為本節(jié)課的目標(biāo)是讓學(xué)生理解并掌握“湊十法”，學(xué)生能一下子進(jìn)入主題“湊十法”不是正中下懷嗎，為什么還要讓學(xué)生想出數(shù)的方法呢？數(shù)的方法學(xué)生能想出來就進(jìn)行對(duì)比，想不出來就順勢而下強(qiáng)化對(duì)“湊十法”的理解。但筆者認(rèn)為數(shù)的方法不可或缺，因?yàn)閿?shù)的方法才是加法運(yùn)算最本質(zhì)的方法。數(shù)是一個(gè)一個(gè)數(shù)出來的，在數(shù)產(chǎn)生的同時(shí)產(chǎn)生了運(yùn)算。加法其實(shí)就是求一個(gè)數(shù)的后序數(shù)的問題。本節(jié)課是學(xué)生第一次遇到進(jìn)位加法，用以前的計(jì)算方法已經(jīng)不能解決這個(gè)問題，如果沒有提示，大多數(shù)學(xué)生會(huì)很自然會(huì)退回原點(diǎn)想到數(shù)的方法，只有極少數(shù)學(xué)生會(huì)想到“湊十法”。所以數(shù)的方法不僅不能忽略，而且要讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)的過程，讓學(xué)生一步一步地經(jīng)歷從形象到表象再到抽象的過程，在此基礎(chǔ)上歸納、提煉出“湊十法”。

3.學(xué)生是否真的理解了“湊十法”

學(xué)生是否一開始就想到了“湊十法”？要解答這個(gè)問題我們需要了解學(xué)生把盒子外面的一個(gè)蘋果移到盒子里面最初的動(dòng)機(jī)，是因?yàn)橐皽愂倍淹饷娴奶O果移到盒子里，還是因?yàn)榭匆娍罩粋€(gè)根據(jù)習(xí)慣把它填滿，這對(duì)于學(xué)生是否真正掌握了解決這類問題解決方法至關(guān)重要。為了解決這個(gè)困惑筆者做了一個(gè)后測，給學(xué)生出了這樣一個(gè)問題（如圖2）。三個(gè)班的孩子不約而同得出結(jié)果是12，問他們?yōu)槭裁?？學(xué)生說從外面移3個(gè)進(jìn)去就湊成十，10再加2等于12。筆者一再提示孩子們再想想，學(xué)生都覺得很奇怪，答案已經(jīng)一目了然了，還有什么好想的，等待了很長時(shí)間才有孩子反應(yīng)過來，原來盒子里裝滿了不是十個(gè)。事實(shí)證明，有些孩子一開始并沒有想到“湊十法”，而是習(xí)慣性地把盒子填滿，結(jié)果很偶然地發(fā)現(xiàn)了“湊十法”，“湊十法”只不過是整理的習(xí)慣帶來的副產(chǎn)品，并不是內(nèi)在的動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)而獲得的。

綜上所述，教材例題中安排盒子圖，為學(xué)生能順利得到“湊十法”提供了幫助，但由于暗示過于強(qiáng)烈，從而限制了學(xué)生思考，使學(xué)生形成思維定式，見到盒子空著就往里面移。怎樣打破這個(gè)定勢，唯有拿走那個(gè)盒子，還問題的本來面目，讓學(xué)生的思維從“盒子”里飛出來。

二、重建

基于以上思考，筆者對(duì)這節(jié)課進(jìn)行了重建，其關(guān)鍵過程記錄如下：

1.激活思維，創(chuàng)造算法

師：看，他是誰（如圖3）？（孫悟空）孫悟空給大家?guī)砹硕Y物，想知道是什么嗎？

生：想！

師：一起看，變?。◣煷狄豢跉猓霈F(xiàn)蘋果圖）

生（驚奇地）：哇，是蘋果！

師：一起看左邊有幾個(gè)蘋果？右邊呢？（帶著學(xué)生數(shù)）孫悟空一共變了多少個(gè)蘋果，可以用什么方法計(jì)算？

生：要求一共有多少個(gè)蘋果，可以用加法計(jì)算。

師：回答得真完整！老師把算式寫下來。（板書：9+4）9+4等于多少呢？可以怎么算？你可以利用自己手中的圖思考，先自己想一想，再與同桌交流。

生：我是數(shù)的。

師：你是怎么數(shù)的，帶著大家一起數(shù)一數(shù)。

生1：我是這樣數(shù)的（用手指著）：1、2、3……13。

師：這是他的想法，有不一樣的想法嗎？

生2：我也是用數(shù)的方法，但數(shù)的方法和他不一樣，左邊9個(gè)就不用數(shù)了，接著繼續(xù)數(shù)：10、11、12、13。

師：他們想到了數(shù)的方法得到了結(jié)果，真好！和他們一樣也想到數(shù)的方法的請舉手。（大部分都舉手）你們還有不同的想法嗎。

生3：我想用小棒代替蘋果，從右邊拿一根給左邊捆成一捆，一下子能看出有13根。（邊說邊演示）

生4：我直接在圖上把左邊的9個(gè)和右邊的1個(gè)圈起來（展示作業(yè)紙），一眼就能看出有13個(gè)。

師：他們兩個(gè)的想法有一樣的地方嗎？

生：他們都是先把9個(gè)變成10個(gè)。

師：像這樣的方法我們可以叫作“湊十法”。小朋友們真厲害！遇到一個(gè)從沒見過的問題竟然想出了這么多的方法，有的想到了數(shù)的方法，有的想到了“湊十法”。

2.再次計(jì)算，優(yōu)化算法

師：孫悟空拔出毫毛，一起看，變?。ㄈ鐖D4）一共有多少個(gè)草莓呢？（生在作業(yè)紙上列式計(jì)算）

生：我是用“湊十法”，把左邊的9個(gè)和右邊的1個(gè)圈起來湊成10個(gè)，得到9+6=15個(gè)。

師：和他想法一樣的請舉手（大部分學(xué)生都舉手了），還有其他想法嗎。

生：我用的是數(shù)的方法。

師：剛才那么多的孩子用數(shù)的方法，為什么現(xiàn)在有些同學(xué)改用“湊十法”了？

生：我覺得“湊十法”比較方便，算起來比較快。

師：孫悟空看到這些問題難不倒你們，拔出金箍棒，變?。ㄈ鐖D5）變成了多少根呢？（生在作業(yè)紙上列式計(jì)算）

生：我把左邊的9根和右邊的1根圈起來湊成10根，一共有17根。

師：和他做法一樣的請舉手。（所有學(xué)生都舉手）咦！這回怎么沒有人數(shù)啦？全都用“湊十法”啦！

生：數(shù)的方法雖然也可以，但數(shù)字大了數(shù)起來比較麻煩，用“湊十法”比較方便，算起來比較快。

師：真好！下面我們來進(jìn)一步研究“湊十法”。

3.教師引領(lǐng)，規(guī)范算法

（過程略）

4.鞏固練習(xí)，強(qiáng)化算法

（過程略）

5.拓展延伸，遷移算法

師：一起來看這里一共有多少個(gè)桃呢？（如圖6）

生（齊說）：15個(gè)。

師：這么快，你們是怎么想的？

生：我想把外面的一個(gè)移到盒子里，盒子里有10個(gè)，盒子外有5個(gè)，一共有15個(gè)。

師：真好！再來看這里有多少個(gè)梨？（如圖7）

生（齊說）：12個(gè)。

師：你們是怎么想的？

生：我看盒子里空著3個(gè)，就把外面3個(gè)移到里面湊成10個(gè)，外面還有2個(gè)，一共有12個(gè)。

師：再想想是12個(gè)嗎？（生沉默一段時(shí)間后）請注意看盒子。（生觀察）

生（恍然大悟）：哦，我知道了，盒子不是10個(gè)格子，而是12個(gè)格子。

師：你們終于發(fā)現(xiàn)啦！生活中的盒子不一定每個(gè)都有10個(gè)格子，一起看這些盒子（出示生活中不同格數(shù)的盒子）。現(xiàn)在這道題怎么做呢？

生：盒子里有9個(gè)，只要從外面移1個(gè)進(jìn)去就能湊成十了，一共有14個(gè)。

師：真好！我們移是為了“湊十”，不是要把盒子填滿。再來看最后一個(gè)問題（如圖8），現(xiàn)在有多少個(gè)梨？

生（疑惑）：盒子里有11個(gè)了，怎么“湊十”??？

師：想想看，有什么好辦法？（生思考）

生（興奮）：我想到啦！可以把里面的1個(gè)移動(dòng)到外面去，里面就變成10個(gè)了，外面這時(shí)有5個(gè)，一共是15個(gè)。（全班學(xué)生情不自禁地鼓掌）

師：小朋友們真厲害！還沒有學(xué)過的題目都會(huì)了，真了不起！想一想，剛才的9+5和11+4在計(jì)算時(shí)有什么共同的地方？（圖7和圖8合屏）大家可以討論一下。

生：我們發(fā)現(xiàn)這兩道題在計(jì)算時(shí)都是先把盒子里變成10個(gè)。

師：通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

生1：我學(xué)會(huì)了用“湊十法”計(jì)算比較方便。

生2：我知道了生活中的盒子不一定都是10個(gè)格子，在遇到盒子時(shí)一定要先數(shù)一數(shù)。

生3：我知道了9加幾和11加幾都可以把9和11先變成10再計(jì)算。

……

三、反思

本節(jié)課的重建，讓學(xué)生始終處于積極的思考狀態(tài)，并在思維的參與中實(shí)現(xiàn)了算法的三次飛躍。

1.第一次飛躍，讓算法從“無”到“有”

精巧的設(shè)計(jì)可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)新知的難度，使得學(xué)習(xí)得以順利進(jìn)行，但有時(shí)過多設(shè)計(jì)也抹殺了學(xué)生的創(chuàng)造性，限制了學(xué)生的思維，使得學(xué)生只能在一個(gè)狹小的通道里前行。我們經(jīng)常做的事是給了學(xué)生第一步，剩下的路讓學(xué)生自己去走，但那第一步其實(shí)才是最重要的，因?yàn)樗鼪Q定了方向，這一步必須由學(xué)生自己完成。本節(jié)課的例題教學(xué)撤離了一切對(duì)學(xué)生的幫助，直接大膽地拋給學(xué)生一個(gè)以往經(jīng)驗(yàn)無法解決的問題，可謂是“一石激起千層浪”，點(diǎn)燃了學(xué)生思考的熱情，學(xué)生在沒有任何約束的情況下走出了第一步，想出了不同的方法。有的學(xué)生退回原點(diǎn)想到了數(shù)的方法，有的學(xué)生根據(jù)前面十加幾的經(jīng)驗(yàn)想到了“湊十法”，同樣是數(shù)的方法和“湊十法”學(xué)生的表征是不一樣，可謂是異彩紛呈。

2.第二次飛躍，讓算法從“有”到“優(yōu)”

算法多樣化后還必須要優(yōu)化，很多老師在進(jìn)行這部分內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，例題教學(xué)后就立即對(duì)不同算法進(jìn)行對(duì)比并優(yōu)化，對(duì)于我們成年人來說先入為主地認(rèn)為“湊十法”最好，但對(duì)于第一次接觸這類問題的學(xué)生來說并不一定認(rèn)可，尤其是那些想到數(shù)的方法的孩子可能會(huì)堅(jiān)持認(rèn)為自己想到的方法是最好的，與其強(qiáng)迫學(xué)生接受，不如讓學(xué)生慢慢地去感悟。當(dāng)算式中的數(shù)字越來越大時(shí)，數(shù)的方法需要的時(shí)間越來越多，但對(duì)于“湊十法”來說其復(fù)雜程度是一樣的。重建中通過幾次計(jì)算，逐漸增大加的數(shù)字，一開始用數(shù)的方法的學(xué)生真切地感受到“湊十法”的快捷，全班學(xué)生的計(jì)算方法逐步的統(tǒng)一到“湊十法”上來。此過程雖不那么轟轟烈烈，但勝在達(dá)到了“潤物細(xì)無聲”的效果。

3.第三次飛躍，讓算法從“優(yōu)”到“通”

學(xué)生掌握了“湊十法”后往往會(huì)由于經(jīng)驗(yàn)限制受到一些外在因素的干擾，就如例題圖中的盒子一樣。生活中的盒子不一定是只能裝10個(gè)的，生活中的一捆小棒也不一定是10根的……當(dāng)我們認(rèn)為一定是這樣時(shí)，其實(shí)是已經(jīng)形成了思維定式。本節(jié)課的最后把例題中的盒子找回來，通過出現(xiàn)兩種不同類型的盒子，幫助學(xué)生打破思維定式，讓學(xué)生由關(guān)注盒子轉(zhuǎn)變到關(guān)注數(shù)字上來，進(jìn)一步理解“湊十法”的本質(zhì)。最后把十幾加幾也融合進(jìn)來，與9加幾的算法進(jìn)行溝通。這兩種計(jì)算看似毫無聯(lián)系，但其本質(zhì)是一樣的，都可以轉(zhuǎn)化成十加幾來計(jì)算，從而拓寬了學(xué)生的視野，達(dá)到了舉一反三、觸類旁通的效果。

通過這節(jié)課的思考與實(shí)踐，讓我感受到，有時(shí)候我們所認(rèn)為的理所當(dāng)然其實(shí)有可能是思維定式，我們所認(rèn)為的精巧設(shè)計(jì)有可能剝奪了學(xué)生思考的權(quán)利。孩子眼中的世界和成人是不一樣的，孩子才是最富有創(chuàng)造性的，我們應(yīng)該站在孩子的角度思考問題，把課堂還給孩子們。