羅茨真空泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學建模

王天任，孫宏浩，李 鶴，聞邦椿

1 引言

羅茨真空泵由其高的抽速從而得到廣泛的應用，但是隨著科技的進步人們對它的要求也越來越高。同國外羅茨真空泵相比，國產(chǎn)優(yōu)質(zhì)真空泵在主要技術(shù)指標如抽速、極限壓力、能耗方面已經(jīng)接近國外泵的水平，說明我國的設計和制造水平有了很大的進步[1]。但是目前國產(chǎn)泵普遍存在振動噪聲較大等問題，因此將真空泵的振動噪聲控制在一個合理的范圍之內(nèi)是目前需要解決的一項重大問題。對于羅茨真空泵的振動問題許多學者專家對這方面進行了大量的研究。文獻[2]對羅茨真空泵的振動噪聲機理進行了研究，他采用多種信號測試和分析處理方法，分析羅茨真空泵振動噪聲產(chǎn)生的機理，得出羅茨泵的轉(zhuǎn)子存在制造和裝配誤差，以及轉(zhuǎn)子不平衡將引起很大的振動問題等相關結(jié)論。文獻[3]對羅茨泵的噪聲機理進行了探討，詳細的闡釋了噪聲產(chǎn)生的原因和噪聲控制的措施。文獻[4-6]還對羅茨泵的轉(zhuǎn)子型線進行了研究，以提高轉(zhuǎn)子的平穩(wěn)性，延長設備的使用壽命。但是以上的研究都沒有從轉(zhuǎn)子系統(tǒng)本身來研究真空泵的振動問題。因此采用集中質(zhì)量法[7]，考慮電機、齒輪、羅茨轉(zhuǎn)子等結(jié)構(gòu)的基礎上對系統(tǒng)進行動力學建模，分別建立了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)模型以及偏心彎扭耦合[8]模型的振動微分方程。為對羅茨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的進一步分析打好基礎，也為羅茨泵的設計提供一定的理論依據(jù)。

2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學模型

2.1 羅茨泵的工作原理

羅茨泵結(jié)構(gòu)簡圖，如圖1所示。工作所需要的動力由左端輸入，兩個羅茨轉(zhuǎn)子相互垂直安裝的在兩個平行軸上。通過齒輪傳動（i=1），兩個羅茨轉(zhuǎn)子將發(fā)生等速旋轉(zhuǎn)。由于轉(zhuǎn)子與泵殼內(nèi)壁之間保持有一定的間隙，因此被抽氣體被封閉在固定容器中。隨著轉(zhuǎn)子的不斷旋轉(zhuǎn)，被抽氣體將被排出泵外，從而實現(xiàn)抽氣的目的。

圖1 羅茨真空泵結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic Diagram of Roots Vacuum Pump

2.2 齒輪嚙合模型

由于羅茨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在齒輪嚙合模型，因此需要首先分析齒輪的力學模型，如圖2所示。

圖2 齒輪嚙合模型圖Fig.2 Meshing Model of Gear

根據(jù)齒輪的嚙合機理，嚙合線上的綜合變形δi可寫為：

因此，齒輪的嚙合力、嚙合力矩和反力矩分別為：

式中：rb1,rb2—主、從動齒輪的基圓半徑；kv、cv—齒輪的嚙合剛度和阻尼；

由于齒輪動力系統(tǒng)齒輪在嚙合過程中的單齒嚙合和雙齒嚙合的交替變化，因此嚙合剛度kv具有明顯的周期性。

2.3 純扭轉(zhuǎn)模型

對于羅茨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型簡化，這里采用集中質(zhì)量法考慮電機、聯(lián)軸器、齒輪以及羅茨轉(zhuǎn)子的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量，并將軸的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量計算兩邊的聯(lián)軸器。將系統(tǒng)簡化為六質(zhì)量系統(tǒng)模型，簡化模型，如圖3所示。

圖3 純扭轉(zhuǎn)模型Fig.3 Pure Torsional Model

?。é?，φ2，φ3，φ4，φ5，φ6）為系統(tǒng)的廣義坐標，用牛頓-歐拉方法建立系統(tǒng)的動力學方程為：

式中：T1—電機的驅(qū)動力矩；kt，ct—扭轉(zhuǎn)剛度和扭轉(zhuǎn)阻尼；φi—第 i個圓盤的旋轉(zhuǎn)角度；Tf、T′f—轉(zhuǎn)子的負載力矩；Ji—第i個輪盤的轉(zhuǎn)動慣量。

將式（2）帶入到式（3）中，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)模型由于時變剛度kv的存在，系統(tǒng)將存在穩(wěn)定性問題。因此在后續(xù)研究過程中需要對系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，確定穩(wěn)定性邊界。以防止系統(tǒng)工作在非穩(wěn)定性區(qū)域而造成異常的振動問題。

2.4 考慮偏心的彎扭耦合振動模型

由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎曲振動受到軸承剛度的影響，因此在分析帶偏心的彎扭耦合振動時需要引進軸承剛度。kb3、kb4、kb5、kb6分別為軸承剛度，如圖5所示。利用集中質(zhì)量法建立系統(tǒng)的彎扭耦合振動模型并考慮偏心的影響。

圖4 彎扭耦合振動模型Fig.4 Coupled Flexural-Torision VibrationModel

由于圓盤的質(zhì)量偏心，在圓盤旋轉(zhuǎn)過程中將產(chǎn)生離心力，經(jīng)推導圓盤1的離心力在x、y方向的分量W1x和W1y分別為：

由于扭轉(zhuǎn)振動位移加速度引起的質(zhì)心沿x、y的平移加速度，會使圓盤產(chǎn)生沿x、y方向的慣性力W1x，和W1y，分別為：

同時考慮扭轉(zhuǎn)和彎曲的影響，系統(tǒng)為18個自由度系統(tǒng)。由此建立系統(tǒng)的振動微分方程：

式中：ei—第i個輪盤的偏心距；g—重力加速度；mi—第i個輪盤的集中質(zhì)量。

由方程（6）可以發(fā)現(xiàn)，由于齒輪嚙合力F和嚙合力矩Me的存在，考慮偏心的彎扭耦合振動模型仍然存在穩(wěn)定性的問題。而且由于偏心距e的存在，彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動耦合在一起相互影響。如果令方程（6）中的e=0，那么方程（6）中的一部分將會變成方程（3），即為純扭轉(zhuǎn)模型。而剩余其他方程即為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)純彎曲振動微分方程。由此可見偏心距e是彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動相互耦合的前提。

3 結(jié)論

采用集中質(zhì)量法，考慮電機、齒輪、羅茨轉(zhuǎn)子等結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)進行動力學建模。采用牛頓歐拉法分別建立了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)模型以及偏心彎扭耦合模型的振動微分方程。通過分析方程的性質(zhì)可得到如下結(jié)論：（1）由于齒輪時變剛度kv的存在，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)模型以及考慮偏心的彎扭耦合振動模型都存在穩(wěn)定性的問題，這將有可能造成異常的振動問題。（2）轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合振動是通過偏心距e耦合在一起。如果令e=0那么彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動將會獨立存在，不會發(fā)生耦合現(xiàn)象。

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