反思結(jié)果，剖析過程，探求本質(zhì)
——高中數(shù)學(xué)解題反思三部曲

☉浙江省慈溪赫威斯育才高級中學(xué) 胡海杰

數(shù)學(xué)解題是一種實踐性的技能，要在該過程中提高解題能力，依靠大量的機(jī)械化、重復(fù)性的練習(xí)往往是不夠的，忽略問題本質(zhì)，忽視問題的內(nèi)在聯(lián)系很難取得學(xué)習(xí)成效.而圍繞問題開展反思是一種十分有效的學(xué)習(xí)方式，分析結(jié)果，深入過程，探求本質(zhì)，可以充分挖掘知識精髓，優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維過程.

一、反思解題結(jié)果

學(xué)生在解題時不可避免地會因忽略一些關(guān)鍵條件而導(dǎo)致錯解，錯解的出現(xiàn)并不可怕，引導(dǎo)學(xué)生反思錯誤，理解錯誤出現(xiàn)的原因，幫助學(xué)生從根本上強(qiáng)化知識即可利用錯誤收獲常規(guī)教學(xué)中難以獲得的意外之喜.

例1 已知拋物線C：x2=4y，其上存在一長度為3的動弦AB，求AB的中點(diǎn)Q到準(zhǔn)線l的最小距離.

錯解：兩點(diǎn)之間線段最短，則過點(diǎn)A，B，Q作準(zhǔn)線l的垂線，設(shè)垂足分別為M，N，P，則AB的中點(diǎn)Q到準(zhǔn)線l的距離應(yīng)為|當(dāng)且僅當(dāng)A、B、F共線的時候，距離取得最小值|PQ|min=，所以AB的中點(diǎn)Q到準(zhǔn)線l的最小距離為

反思：學(xué)生簡單地認(rèn)為依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”建立關(guān)于距離的關(guān)系式求解的想法是錯誤的，題設(shè)條件中A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線的情形不存在，即距離關(guān)系不等式的等號不具備成立的條件，拋物線通徑2p=4，|AB|=3＜2p，動弦不會通過焦點(diǎn)F.如若將弦AB改為6，上述解題思路則正確，因此時|AB|=6≥2p，動弦具備通過的條件.利用“兩點(diǎn)之間距離最短”的性質(zhì)來進(jìn)行解題，需要保證動弦的取值不小于通徑，即存在三點(diǎn)共線的情形.

事實上，對于該題的正確解法，需要設(shè)出動弦AB所在的直線方程y=kx+b，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)Δ＞0來取得限制條件，k2+b＞0，然后利用韋達(dá)定理建立求解弦長|AB|的關(guān)系式，從中轉(zhuǎn)化出b與k的關(guān)系，即k2，與限制條件聯(lián)合可得由此可得動弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為求導(dǎo)分析可知其在區(qū)間［1，+∞）上單調(diào)遞增，則k=1時，取得最小值

造成上述錯解的主要原因是忽視關(guān)鍵信息，思維邏輯有缺陷，利用三點(diǎn)共線求距離最短的策略本質(zhì)上沒有問題，但實現(xiàn)的條件沒有經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C，即討論弦長是否大于通徑.對錯誤的透徹剖析，正解引導(dǎo)不僅可以提升學(xué)生解題能力，而且引導(dǎo)糾錯的過程可以幫助學(xué)生形成正確的思維過程，這才是反思解題結(jié)果的關(guān)鍵.

二、反思解題過程

學(xué)習(xí)解題是學(xué)生鞏固知識技能的一種重要方式，對學(xué)生解題的過程進(jìn)行反思是解題反思教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，反思內(nèi)容可以包括以下幾點(diǎn)：1.評估現(xiàn)有解題方法的優(yōu)缺點(diǎn)；2.圍繞問題進(jìn)行思路探究，思考是否存在更好的解題策略；3.反思解題過程中用到了哪些推理依據(jù)，涉及哪些數(shù)學(xué)思想.

分析：常規(guī)的思路是將已知cos進(jìn)行展開，可得，然后結(jié)合sin2α+cos2α=1即可獲得cosα和sinα的值，利用二倍角公式可求出sin2α和cos2α，最后代入可求解.

反思：上述常規(guī)方法學(xué)生很容易想到，但是計算量較大，尤其是求解二元一次方程組時會有些復(fù)雜，容易出錯，對解題過程進(jìn)行反思，可以轉(zhuǎn)化解題思路，優(yōu)化解題過程.

思路1：同樣是從已知條件出發(fā)來考慮，但是不再直接展開，而是觀察目標(biāo)角比對已知角，分析兩者之間存在的聯(lián)系，通過拼湊的方式即可建立聯(lián)系，即2，然后借助二倍組合運(yùn)用的三角公式可最終求解，求解過程中對于一些已知角的三角函數(shù)值可以直接代入.

思路2： 對于展開的已知條件，如注意到sinα和cosα前面的系數(shù)相同，則可以進(jìn)一步將其整理為從整體思想來思考，將其遷移到求解sinα-cosα的值上，從而聯(lián)立方程即可分別求出sinα和cosα的值，最后與常規(guī)方法一樣，先利用二倍角公式求出sin2α和cos2α，最后再將其代入展開的co中即可.該種方式與常規(guī)解法相比，雖然都需要求解二元一次方程組，但極大地減小了計算量，更為簡捷.

上述案例是在學(xué)生完成常規(guī)解題后開展的過程反思，反思已知條件與目標(biāo)問題之間的關(guān)系，從不同的角度來思考題干信息，嘗試?yán)貌煌臄?shù)學(xué)思想來解決問題，并對方法的優(yōu)劣進(jìn)行了比較，最終找到更為簡捷的解題思路.通過對問題的分析反思，有效拓寬了學(xué)生的解題思維，促進(jìn)知識之間的聯(lián)系重組，反思的過程同樣可以調(diào)動學(xué)生探究的主動性.

三、反思問題本質(zhì)

高中數(shù)學(xué)問題形式多樣、千變?nèi)f化，反思問題的本質(zhì)就顯得尤為重要，尤其是在反思中深入了解問題產(chǎn)生的實質(zhì)，從中概括出問題存在的一般形式，總結(jié)解決問題的通性通法或?qū)嵸|(zhì)結(jié)論，反思問題的另一個重要意義是基于現(xiàn)有問題進(jìn)行的拓展抽象，從中衍生出形異而質(zhì)同的問題，加深對于問題本質(zhì)的認(rèn)識.

例3 已知橢圓E：=1（a＞b＞0），其長軸長為4，離心率為0.5，直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，-2），與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，其中點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，直線BC交x軸于點(diǎn)Q，如圖1所示.

（1）試求橢圓E的方程.

（2） 探究是否為定值，如果是求出定值；若不是，請說明理由.

圖1

解：（1）易求橢圓的方程（過程略）

（2）由意題可知，直線l的斜率存在且不為零，設(shè)l的方程為y=kx-2，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，-y1），則，令y=0可得Q的橫坐標(biāo)聯(lián)立直線l與橢圓的方程整理可得（3+4k）2x2-16kx+4=0，則x1+x2=帶入xQ中，解得xQ=2k，·（2k，0）=4，所以的定值為4.

反思：一般解析幾何題存在一些問題和解法上的通性，在解決問題后開展深層次的反思，反思問題的本質(zhì)是十分必要的.

結(jié)合問題條件和結(jié)論的數(shù)量特征、關(guān)系特征，定點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），結(jié)論定值為4，半長軸a=2，其中可能存在一定的聯(lián)系，可嘗試從以下幾點(diǎn)進(jìn)行猜想，探究問題本質(zhì)：1.結(jié)論一般化后是否依然成立；2.條件和定點(diǎn)一般化后是否依然成立.依據(jù)上述猜想可設(shè)計如下問題：

問題1：已知橢圓E（a＞b＞0），如果直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，-a），與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，其中點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，直線BC交x軸于點(diǎn)Q，探究是否為定值.

問題2：已知橢圓E（a＞b＞0），如果直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，其中點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，直線BC交x軸于點(diǎn)Q，探究O—→P·O—→Q是否為定值a2.

另外對于問題可以進(jìn)行拓展性反思，其他條件不改變，將橢圓換為雙曲線，探究其結(jié)論是否依然成立.

問題3：如圖2，已知雙曲線（a＞0，b＞0），如果直線l與雙曲線E交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，其中點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，直線BC交x軸于點(diǎn)Q，探究是否為定值a2.

基于問題本質(zhì)開展的反思可以幫助學(xué)生深刻理解問題實質(zhì).上述從定點(diǎn)問題入手，反思已知條件與待求結(jié)論之間存在某種聯(lián)系，將特殊問題向一般化轉(zhuǎn)變，從而得出具有普遍適用的結(jié)論，并且對問題進(jìn)行了拓展，由橢圓結(jié)論推廣到雙曲線上，完成了知識的重要遷移.

圖2

四、反思中的思考

中學(xué)生具有很強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)造能力，單純的題海戰(zhàn)術(shù)并不能顯著提高學(xué)生的解題能力，引導(dǎo)學(xué)生開展解題反思是十分必要的教學(xué)活動，上述講到的解題反思三部曲，即反思解題結(jié)果、解題過程、問題本質(zhì)，不應(yīng)該單獨(dú)開展，三者之間存在著緊密的聯(lián)系，結(jié)合使用往往可以取得成倍的學(xué)習(xí)效果.另外，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是一個逐步深入的過程，在開展反思時應(yīng)從問題的簡單表象入手、遞進(jìn)到思維過程，深入到其中的本質(zhì)，從問題的不同角度、不同解題策略來引導(dǎo)學(xué)生開展全方面的思考，可以結(jié)合一題多解、多題一解的模式來反思問題，在反思中培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性.

解題反思過程中需要注意的是不能采取灌輸式的講法，不顧及學(xué)生的思維過程，忽略學(xué)生在解題反思中的主體地位.教師應(yīng)給學(xué)生留足思考的空間，結(jié)合學(xué)生的實際情況，來設(shè)計相應(yīng)的反思環(huán)節(jié)，既要注重問題的優(yōu)解方法，又要合理把握對問題的實質(zhì)拓展.

五、結(jié)束語

中學(xué)時期正是培養(yǎng)學(xué)生自主能力、數(shù)學(xué)思維能力、空間想象能力的重要階段，提升學(xué)生能力需要與解題反思充分結(jié)合.從解題結(jié)果、解題過程、問題本質(zhì)三方面來開展學(xué)習(xí)反思，借助反思的學(xué)習(xí)手段，幫助學(xué)生解決問題，優(yōu)化方法，把握知識本質(zhì)，在反思中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).需要注意的是解題反思的過程中要給學(xué)生留足思考的空間，尊重學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生充分享受學(xué)習(xí)的快樂.

1.陳墨迪.反思本質(zhì)，追根溯源——談一道題的延伸拓展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2017（8）.

2.朱利鋒.反思解題方法，提升思維靈活性——以反思三角函數(shù)解題方法為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2018（1）.

3.郎建林.探究題目“錯解”，發(fā)現(xiàn)動弦“性質(zhì)”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（9）.

4.孫世林.一道高考題的解法探究、孌式及反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（3）.H