基于認(rèn)知負(fù)荷理論的函數(shù)定義的教學(xué)設(shè)計(jì)*

☉四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林 李雪梅

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線.著名數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：“函數(shù)概念，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂.”［1］函數(shù)定義深含數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)，具有較高的立人樹人價(jià)值.但是，高中函數(shù)定義是公認(rèn)的教學(xué)難點(diǎn).有調(diào)查顯示，超過90%的中學(xué)生弄不清究竟函數(shù)是指f，是f（x），還是y=f（x）；高中學(xué)生很難接受“對(duì)應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)”的表述［2］.學(xué)生感到理解函數(shù)定義困難的重要原因是很難接受對(duì)應(yīng)關(guān)系f，其根本原因是認(rèn)知負(fù)荷的總量超過了工作記憶容量的上限［3］.關(guān)于高中函數(shù)定義已有一些教學(xué)設(shè)計(jì)，但尚未看到在初中函數(shù)定義基礎(chǔ)上直接建構(gòu)高中函數(shù)定義的教學(xué)設(shè)計(jì).對(duì)此，本文在初中函數(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上基于認(rèn)知負(fù)荷理論給出函數(shù)定義的“八步”教學(xué)設(shè)計(jì).

一、認(rèn)知負(fù)荷理論及相應(yīng)的教學(xué)策略

米勒的組塊理論表明，成人工作記憶可以同時(shí)處理5至9個(gè)信息組塊（chunk）［4］.1988年澳大利亞教育心理學(xué)家斯威勒（J.Sweller）等人提出了認(rèn)知負(fù)荷理論［5］.該理論認(rèn)為認(rèn)知資源（即工作記憶容量）是有限的［6］.認(rèn)知負(fù)荷分為內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷、外在認(rèn)知負(fù)荷和相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，該理論認(rèn)為這三種認(rèn)知負(fù)荷的總量應(yīng)限制在工作記憶容量的范圍之內(nèi).

內(nèi)部認(rèn)知負(fù)荷是指工作記憶對(duì)認(rèn)知任務(wù)本身所包含的信息元素及其交互性進(jìn)行認(rèn)知加工活動(dòng)所產(chǎn)生的負(fù)荷［7］.當(dāng)學(xué)習(xí)材料的內(nèi)部認(rèn)知負(fù)荷高于工作記憶容量的上限時(shí)，可以將學(xué)習(xí)材料進(jìn)行適當(dāng)分解，采用“小步子”教學(xué)來降低內(nèi)部認(rèn)知負(fù)荷；也可以通過呈現(xiàn)一些與新知學(xué)習(xí)具有實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的引導(dǎo)性材料也就是所謂的“腳手架”，來降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷.對(duì)于新學(xué)習(xí)的高中函數(shù)定義而言，最好的“腳手架”就是初中學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等具體函數(shù)模型.下面將以學(xué)生熟知的二次函數(shù)y=x2-1作為新知識(shí)的“腳手架”，通過幾個(gè)引導(dǎo)性問題的思考與探究，最后師生協(xié)同完成用“集合”和“對(duì)應(yīng)”概念給這個(gè)二次函數(shù)重新定義的任務(wù)，這里的重新定義，其實(shí)質(zhì)就是用高中函數(shù)定義的方式重新來定義二次函數(shù)y=x2-1.這樣處理的意圖是分解和降低內(nèi)部認(rèn)知負(fù)荷.

外在認(rèn)知負(fù)荷是添加給內(nèi)部認(rèn)知負(fù)荷的額外負(fù)荷，它是由學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式及其所要求的學(xué)習(xí)活動(dòng)所帶來的負(fù)荷，主要是由于不恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)所致［8］.可通過優(yōu)化學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)形式來控制或減少外在認(rèn)知負(fù)荷.

相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷是在建構(gòu)圖式時(shí)不是必須但投入后又有利于圖式建構(gòu)的認(rèn)知負(fù)荷，也與教學(xué)設(shè)計(jì)有關(guān)［8］.良好的教學(xué)設(shè)計(jì)雖然可能會(huì)適度增加學(xué)生的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，使之在圖式建構(gòu)中投入更多的努力，但它有利于圖式建構(gòu)和圖式自動(dòng)化.

二、數(shù)學(xué)家對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)

14世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家奧萊斯姆使用了圖形表示依時(shí)間t而變的x.這可能是函數(shù)概念的萌芽.17世紀(jì)伽俐略、笛卡爾等注意到一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系.在牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分時(shí)，數(shù)學(xué)家還沒有明確的函數(shù)概念，他們把函數(shù)當(dāng)作曲線.1718年約翰·貝努利把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”.18世紀(jì)歐拉給出了函數(shù)符號(hào)f（x）.歐拉的定義是：一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和常數(shù)組成的解析式［9］.簡言之，函數(shù)即解析式（注：不嚴(yán)密）.1822年傅里葉發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個(gè)式子表示，或用多個(gè)式子表示.1823年柯西認(rèn)為函數(shù)不一定要有解析表達(dá)式.1837年狄利克雷指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的值x，y都有一個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù).”［9］至此，傅里葉、柯西和狄利克雷等對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)更全面、嚴(yán)密了，標(biāo)志著函數(shù)概念的成熟.

由此可見，函數(shù)概念從萌芽到成熟經(jīng)歷了300多年的時(shí)間，教師不能期望學(xué)生能在幾節(jié)課之內(nèi)把函數(shù)理解得很準(zhǔn)確、很到位.

三、基于認(rèn)知負(fù)荷理論的高中函數(shù)定義的“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)

基于認(rèn)知負(fù)荷理論，高中函數(shù)定義的教學(xué)，需要分解和降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷，控制或減少外在認(rèn)知負(fù)荷，適當(dāng)增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，以期促進(jìn)學(xué)生提升復(fù)雜認(rèn)知任務(wù)（高中函數(shù)定義學(xué)習(xí)）的完成水平.據(jù)此，筆者構(gòu)建了高中函數(shù)定義的“八步”教學(xué)設(shè)計(jì)，即“憶”—“激”—“問”—“探”—“粗”（“粗定義”）—“定”—“化”—“用”. 下面對(duì)這“八步”的基本含義、實(shí)施建議、設(shè)計(jì)意圖作簡要說明.

第一步：“憶”

“憶”是指回憶，也即復(fù)習(xí)舊知.

初中定義（選自1989年人教版初中教材）：“設(shè)在某變化過程中有兩個(gè)變量x，y，如果對(duì)于變量x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量.”

思考：x與y是怎樣對(duì)應(yīng)的？對(duì)應(yīng)關(guān)系（法則）是什么？怎樣理解對(duì)應(yīng)關(guān)系（法則）？這幾個(gè)問題留到后面的問題2中解決.

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)初中函數(shù)定義的相關(guān)知識(shí)，一是為新知學(xué)習(xí)搭建腳手架，二是為同化學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件.從而可降低新知學(xué)習(xí)的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷.

第二步：“激”

“激”是指激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

問題1：y=2是函數(shù)嗎？

分析：由于初中函數(shù)定義要求“有兩個(gè)變量”，但y=2中只有一個(gè)變量，因此，學(xué)生用初中函數(shù)定義來判斷就可能有三種（或兩種）意見：不是函數(shù)；不能判斷；搞不清楚.

設(shè)計(jì)意圖：問題1意在引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高中函數(shù)定義的內(nèi)在動(dòng)機(jī).這樣安排雖然會(huì)適度增加學(xué)生的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，但能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，增加學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力.

第三步：“問”

“問”是指需要探究的問題.問題是探究的焦點(diǎn).問題是激發(fā)思維的催化劑.任何探究（索）都基于問題.

問題2：已知二次函數(shù)y=x2-1，思考與探究下列問題：

（1）給定x的值，怎樣計(jì)算x對(duì)應(yīng)的值呢？其算法是什么？

（2）x的取值范圍（集合）是什么？y的取值范圍（集合）是什么？

（3）這個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系（法則）是什么？

（4）數(shù)學(xué)家用什么符號(hào)表示函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系（法則）？

（5）能否用“集合”和“對(duì)應(yīng)”等概念給這個(gè)函數(shù)重新下一個(gè)定義？

讓學(xué)生先思考幾分鐘.

第四步：“探”

“探”是指問題的探究（索）.探究是解決問題的基本手段.探究源于問題，當(dāng)面對(duì)的新問題不能用現(xiàn)成方法解決時(shí)，學(xué)生的探究意識(shí)就會(huì)自然產(chǎn)生.

探究：說明：教師和學(xué)生協(xié)同完成，盡量讓學(xué)生完成.若學(xué)生說不完整或說不準(zhǔn)確，則教師可邊分析邊講解，教師補(bǔ)充完整或準(zhǔn)確.

師：（1）這個(gè)問題有點(diǎn)抽象，可不可以先從具體化、特殊化著手，就是把x的值先取定，比如，我們不妨取幾個(gè)試試.（下面做法是，教師說出上句“取x=…”，讓學(xué)生說下句“則y=…”，不要求算出y的具體的值）

如果取x=3，那么y=32-1=…；

取x=x0，則y=（x0）2-1=x02-1.

師：現(xiàn)在，請(qǐng)回答這個(gè)二次函數(shù)的算法是什么？

生：“平方，減1”.

師：對(duì).算法是“（對(duì)x）平方，再減1”.

師：由此，能不能看出一些規(guī)律？（學(xué)生講不出來時(shí)，教師自問自答）

首先，x和y有先后之分，即先給出x的值，再去算y的值；

其次，對(duì)于x取不同的值，算出y的值總是只有一個(gè)；

再次，對(duì)于x取不同的值，算出y的值雖然可能不同，但算法都是相同的.也就是說，算法是不變的.從運(yùn)算的角度看，這個(gè)二次函數(shù)實(shí)質(zhì)上是給了一個(gè)確定的算法，且該算法具有不變性.

（2）x的取值范圍（集合）是R，y的取值范圍（集合）是{y|y≥-1}.

在函數(shù)理論里，一般把x的取值范圍（集合）叫做定義域，把y的取值范圍（集合）叫做值域.也就是說，二次函數(shù)y=x2-1的定義域是R，值域是{y|y≥-1}.

（3）這個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系（法則）是什么呢？

首先，要明確x和y有先后順序之分，就是用x去對(duì)應(yīng)y.習(xí)慣上，一般把x叫做自變量（注：自變量的概念初中已學(xué)），y叫做因變量.

其次，在本問題中，對(duì)應(yīng)關(guān)系（法則）就是“（對(duì)x）平方，減1”，即x→y=x2-1.

結(jié)論：在本問題中，對(duì)應(yīng)關(guān)系（法則）可以理解為對(duì)x施加的一系列運(yùn)算.簡言之，本問題的對(duì)應(yīng)關(guān)系（法則）就是算法.

（4）由（2）知，x∈R，y∈{y|y≥-1}，或y∈［-1，+∞）.也就是，x在實(shí)數(shù)集R里變化，y在集合{y|y≥-1}里變化.由x到y(tǒng)的對(duì)應(yīng)可以引出實(shí)數(shù)集R到集合{y|y≥-1}的對(duì)應(yīng)，這個(gè)對(duì)應(yīng)可記為：R→{y|y≥-1}.

“對(duì)應(yīng)關(guān)系”是數(shù)學(xué)中的常用術(shù)語，說與寫都麻煩，數(shù)學(xué)家怎樣解決這個(gè)麻煩呢？

著名數(shù)學(xué)家歐拉最早想到用一個(gè)“符號(hào)”來表示“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，他于1734年首次使用符號(hào)f（x）表示x的函數(shù)［10］.從此，數(shù)學(xué)家也用符號(hào)“f”來表示“對(duì)應(yīng)關(guān)系”.

因此，本題中“從實(shí)數(shù)集R到集合{y|y≥-1}的對(duì)應(yīng)關(guān)系”可記為“f：R→{y|y≥-1}”，“從x到y(tǒng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系”可記為“f：x→y”.

（5）綜上可得下面的結(jié)論：

①在函數(shù)y=x2-1中，隱藏著一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，這個(gè)f就是算法的意思，即“（對(duì)x）平方，減1”.

②f有三個(gè)作用：一是把x和y聯(lián)系起來；二是隱蔽地把數(shù)集R和數(shù)集{y|y≥-1}也聯(lián)系起來了，聯(lián)系的方式叫做“對(duì)應(yīng)”，即f：R→{y|y≥-1}，f：x→y；三是在f的作用（即算法規(guī)則）下，使得R中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著數(shù)集 {y|y≥-1}中的唯一確定的數(shù).

③用“集合”和“對(duì)應(yīng)”等概念給這個(gè)二次函數(shù)的新定義：設(shè)f是從R到{y|y≥-1}的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，若實(shí)數(shù)集合R中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著數(shù)集{y|y≥-1}中的唯一確定的數(shù)，則稱f是一個(gè)函數(shù)，記為y=f（x）.

總結(jié)上述過程，可引出數(shù)學(xué)概念的抽象概括和形成的一般過程，即“問題→分析→概念→定義→應(yīng)用”.

設(shè)計(jì)意圖：在問題2中，（1）的主要作用是讓學(xué)生復(fù)習(xí)并加深理解求函數(shù)值的算法.（2）的作用是幫助學(xué)生理解x和y的變化是有范圍的，另外自然地引出定義域和值域的概念，在這里給出定義域和值域的概念為后面學(xué)習(xí)函數(shù)定義可以減少內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷.（3）的作用是為學(xué)生提供一個(gè)理解“對(duì)應(yīng)關(guān)系”并且學(xué)生很熟悉的模型即算法，算法對(duì)學(xué)生來說是非常熟悉的經(jīng)驗(yàn)，這里把抽象的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”理解為“算法”，雖然是不準(zhǔn)確、不全面的，但這里的“算法”可以看成是“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的“腳手架”，對(duì)學(xué)生理解“對(duì)應(yīng)關(guān)系”這個(gè)抽象、模糊的概念很有幫助.（4）的作用是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)中有兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系（數(shù)的集合到數(shù)的集合，實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)），認(rèn)識(shí)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的常用符號(hào)f，使學(xué)生經(jīng)歷抽象化和符號(hào)化過程即“算法→對(duì)應(yīng)關(guān)系→f”的抽象線路，反過來，就是理解f的（心理）線路即“f→對(duì)應(yīng)關(guān)系→算法”.（5）的作用是得到這個(gè)二次函數(shù)的高中定義，并總結(jié)出數(shù)學(xué)概念的抽象概括和形成的一般過程，這對(duì)學(xué)生今后發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念或給概念下定義來說具有方法論的價(jià)值，真是“授人以漁”.

第五步：“粗”（即“粗定義”）

“粗定義”：設(shè)f是從數(shù)集A到數(shù)集B的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，若數(shù)集A中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著數(shù)集B的唯一確定的數(shù)，則稱f是一個(gè)函數(shù)，記為y=f（x）.

認(rèn)知符號(hào)“f（x）”.給學(xué)生說明符號(hào)f（x）不是f與x相乘的意思，其中f叫做函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，或?qū)?yīng)法則.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過對(duì)問題及其變式的思考與探究，已經(jīng)對(duì)“函數(shù)”概念有了初步理解，加之“粗定義”比較簡短，所有理解“粗定義”就比較容易.函數(shù)的“粗定義”自然就成了函數(shù)（嚴(yán)格）定義的“引導(dǎo)性材料”.也可以說，此步的“粗定義”相當(dāng)于是給第四步和第六步搭的一個(gè)“橋”.由于“粗定義”易于理解和接受，學(xué)生對(duì)“粗定義”的工作記憶的加工也不會(huì)發(fā)生困難.在講“粗定義”的同時(shí)，順便讓學(xué)生提前認(rèn)知函數(shù)的符號(hào)，意在為下一步學(xué)習(xí)定義時(shí)減少工作記憶加工的組塊，也就是減少內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷，并有效控制外在認(rèn)知負(fù)荷.

第六步：“定”（即定義）

“定”（即定義）是指函數(shù)的形式化定義，即“精定義”，或者說嚴(yán)格定義.概念教學(xué)的最終目標(biāo)是達(dá)到定義的形式化標(biāo)準(zhǔn)，即達(dá)到定義的嚴(yán)密化、符號(hào)化、一般化等要求.

函數(shù)定義［11］：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使A中的每一個(gè)數(shù)x都對(duì)應(yīng)著B中唯一確定的數(shù)f（x），那么就稱f：A→B為一個(gè)一元函數(shù)，簡稱為函數(shù)，記作y=f（x），x∈A.

設(shè)計(jì)意圖：給函數(shù)賦予形式化的定義與符號(hào)，使其形成一個(gè)具體的數(shù)學(xué)對(duì)象，不僅實(shí)現(xiàn)了定義的精致化，嚴(yán)密化，符號(hào)化，一般化，而且可有效促進(jìn)學(xué)生將此數(shù)學(xué)對(duì)象融化到已有的認(rèn)知圖式中.

第七步：“化”

“化”是指函數(shù)定義的內(nèi)化.學(xué)習(xí)的本質(zhì)在于認(rèn)知，認(rèn)知的目的在于內(nèi)化.內(nèi)化就是使知識(shí)圖式化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化，達(dá)到“言有盡”、“意無窮”的境界［12］.定義的內(nèi)化可以從概念域、函數(shù)符號(hào)的讀法、寫法，指數(shù)與函數(shù)的等價(jià)互化關(guān)系等方面分別去圖式化、系統(tǒng)化.

（1）概念域：自變量，因變量，定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系，值域，函數(shù)，見表1.

表1 符號(hào)（字母）與名稱、意義的對(duì)應(yīng)表

（2）符號(hào)“y=f（x）”的讀法：y是x的函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)概念域的認(rèn)識(shí)和熟悉，強(qiáng)調(diào)函數(shù)符號(hào)的規(guī)范讀法和寫法，起到示范作用的同時(shí)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)符號(hào)的熟悉程度.恰當(dāng)使用表格來說明符號(hào)（字母）與名稱、意義的對(duì)應(yīng)表，可以降低外在認(rèn)知負(fù)荷.

第八步：“用”

“用”是指定義的應(yīng)用，同時(shí)也兼鞏固練習(xí)之任務(wù).

例1已知函數(shù)

（1）求函數(shù)f（x）的定義域；

（3）當(dāng)a＞0時(shí)，求f（a-1）的值.

設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)的目的是使內(nèi)化后得到的圖式更加清晰和牢固，最終達(dá)到思維模塊化、反應(yīng)自動(dòng)化的水平，這就可以為將來解決新的數(shù)學(xué)問題降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷.例1可讓學(xué)生理解求函數(shù)定義域的方法，讓學(xué)生掌握求函數(shù)值的方法.

例2 分析并解答問題1.

分析：把y換成f（x），則有f（x）=2.從而，f：R→{2}，且f：x→2.在f的作用下，集合R中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)著集合{2}中的數(shù)2，所以f是函數(shù).故y=2是函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：用高中定義分析并解決問題1，有釋疑解惑的作用，并再一次強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)高中函數(shù)定義的必要性.

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