二維分數階非線性薛定諤方程的守恒數值方法

張榮培, 張 怡, 劉 佳

(1. 沈陽師范大學 數學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034;2. 沈陽師范大學 大學外語教學部, 沈陽 110034)

0 引 言

本文考慮Ω=[a,b]×[c,d]邊界在二維對稱空間分數階[11-13]非線性薛定諤方程:

(1)

這里Γ(·)是標準的伽瑪函數。

此外,分數階非線性薛定諤方程有以下質量守恒形式:

和能量守恒形式:

應用加權和偏移Grunwald-Letnikov方法對方程(1)進行空間離散。將求解區(qū)域剖分為一個n×n網格點的二維系統(tǒng),定義一個n×n的解矩陣U來存儲網格點上的未知值。為了減少所需的存儲量和運行時間,引入了分數階微分矩陣。分數階導數算子在x方向和y方向產生2個微分矩陣Dx和Dy,這樣分數階導數在網格點的值就可以由微分矩陣與解矩陣的乘積得到。

其次，“多元互動”式合作學習是以小組分設為重要前提的，這個小組分設要以課堂為載體，以學生為課堂主體，以家長為配合，以教師的指導為主導并根據學生的學習水平、學習能力、性格特征等進行科學性、合理性的層次分配。如此，才能有效完成組員互動、組間互動、家長和學生的互動、家長和教師的互動等多樣化的互動形式。

空間離散后得到一組非線性常微分方程組, 采用隱式緊致積分因子[17]的方法求解該常微分方程組[18]。 在二維情況下,緊致積分因子方法的運算量是o(n3), 非緊致方法的運算量會達到o(n4)。 緊致積分因子方法[19-22]的指數矩陣eDx和eDy可以在預處理階段計算和存儲, 在時間循環(huán)過程中可以直接應用;對擴散項的精確計算與非線性項的隱式處理解耦, 只需在每個時間周期內求解每個空間網格點的局部非線性代數方程組, 因此, 緊致積分因子方法在存儲和分數階擴散問題的計算上更有效。

1 數值方法

下面給出帶有齊次狄利克雷邊界條件的分數階非線性薛定諤方程的求解方法。設定空間域為矩形:Ω=[a,b]×[c,d],將其離散化為如下矩形網格:

Th={(xj,yk)=(a+jhx,c+khy),j=0,1,…,Nx,k=0,1,…,Ny},

(U⊙V)j,k=(ujkvjk)

同時定義離散空間上的內積和范數:

使用加權和偏移Grunwald-Letnikov近似方法[23]來逼近左、右黎曼劉維爾空間分數階導數。左、右黎曼劉維爾分數階導數在x方向作為加權和偏移Grunwald-Letnikov公式按如下定義:

采用矩陣U表示定義在節(jié)點(xj,yk)的數值解:

將式(2)～式(3)寫成矩陣形式,可以得到方程(1)的差分格式如下:

(4)

2 隱式積分因子方法

定義時間步長τ=Δt,則第n層時間步長tn=nτ,n=0,1,2…。在方程(4)左乘指數矩陣e-Axt,同時右乘指數矩陣e-Ayt,可以得到下面的等式:

然后從tn到tn+1進行積分,整理得到

通過拉格朗日插值多項式,整理得到二階緊致差分格式:

圖1 離散的質量和能量的時間演化Fig.1 Time evolution of a discrete mass and energy

3 數值算例

圖2 時間t=1時,不同α的數值解|u|Fig.2 Numerical solutions with different α at t=1

4 結 論

結合加權偏移Grunwald-Letnikov空間離散方法和緊致積分因子時間離散方法來計算二維分數階非線性薛定諤方程,不但減少存儲量和計算量,而且數值試驗驗證了方法的有效性。將來還可以將該方法推廣至求解更多的分數階反應擴散方程。

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