主從式機(jī)械手從手伸縮臂的定位誤差研究

丁彩紅，賴 勇

（東華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620）

1 引言

由于工作環(huán)境工況的特殊性，主從式機(jī)械手的從手臂采用鏈條、鋼絲和鋼帶等純機(jī)械形式傳遞來自主手臂的運(yùn)動，涉及的機(jī)械環(huán)節(jié)多，因此機(jī)械部件間的間隙或者傳動部件的柔性對從手臂的運(yùn)動精確性影響較大，直接影響到從手臂末端執(zhí)行器的定位精度。

目前的文獻(xiàn)資料對伸縮臂的研究主要有：基于有限元差分方法對伸縮臂局部穩(wěn)定性進(jìn)行研究[1-2]；文獻(xiàn)[3]中基于Rayleigh-Ritz法得到了三種特定工況下伸縮臂末端瞬態(tài)誤差響應(yīng)。文獻(xiàn)[4]中將伸縮臂視為階梯梁結(jié)構(gòu)處理，得到了其振動固有頻率和前端動態(tài)響應(yīng)函數(shù)等。但是這些研究都單純地將伸縮臂視為一個整體進(jìn)行動力學(xué)分析[5-8]，沒有考慮到伸縮臂各套接處存在的間隙以及其傳動系統(tǒng)力耦合的因素。

考慮了伸縮臂套接處間隙的存在，推導(dǎo)出主從式機(jī)械手末端誤差與間隙的關(guān)系，得到無傳動系統(tǒng)狀態(tài)下，運(yùn)動過程中伸縮臂的末端定位誤差。其次考慮伸縮臂梯形絲杠傳動系統(tǒng)中的時變受力耦合情況，建立數(shù)學(xué)模型，通過實際參數(shù)進(jìn)行求解，得到梯形絲杠撓度引起伸縮臂末端響應(yīng)，對比分析得到伸縮臂運(yùn)動狀況，接近于實際情況。由此得到伸縮臂工作到任何工作位置穩(wěn)定時的定位誤差，為后續(xù)主從式機(jī)械手的定位精度研究和控制提供理論依據(jù)。

2 主從式機(jī)械手從手伸縮臂結(jié)構(gòu)

圖1 主從式機(jī)械手從手伸縮臂結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure Diagram of Master-slave Manipulator’s Slave Arm

主從式機(jī)械手從手伸縮臂結(jié)構(gòu)，如圖1所示。主從式機(jī)械手從手的伸縮臂由外管、中管、內(nèi)管組成。中管以梯形絲杠帶動螺母和套管傳動，使得中管沿著直線進(jìn)行伸縮，內(nèi)管由鋼帶傳動進(jìn)行伸縮運(yùn)動，從而實現(xiàn)伸縮臂長距離軸向運(yùn)動。

3 數(shù)學(xué)建模

3.1 考慮間隙存在的伸縮管模型

在理想情況下，外、中、內(nèi)管是共軸線的，且截面為同心圓。在實際情況中，由于在伸縮管上安裝或裝配滑塊時，可能使得套接處管壁產(chǎn)生屈服變形，使得管截面變成非圓狀態(tài)，從而導(dǎo)致在運(yùn)動過程中出現(xiàn)運(yùn)動不暢或卡死情況。為避免這種情況，通常在各伸縮管之間留有一定的間隙。

假設(shè)第i+1節(jié)伸縮管與第i節(jié)伸縮管的套接處間隙為Δi，如圖2（a）所示。第i節(jié)伸縮管總長為Li，即外管總長為L1，中管總長為L2，內(nèi)管總長為L3。

因為間隙的存在以及伸縮管受到末端負(fù)載和自身重力的影響，會使得伸縮管的軸線發(fā)生偏差，對末端定位產(chǎn)生一個偏移誤差f，并且這個偏移誤差是隨著伸縮管的伸出量的變化而變化。在到達(dá)某平衡臨界位置之前，伸縮管并不會繞下滑塊處轉(zhuǎn)動，而是伸縮管直接沿垂直方向偏移2Δi，如圖2（b）所示；當(dāng)超過某平衡臨界位置，伸縮管發(fā)生繞下滑塊處偏轉(zhuǎn)θi，當(dāng)伸縮管偏轉(zhuǎn)時，可視為繞下滑塊處為支點的杠桿，如圖2（c）所示。

圖2 間隙引起末端定位偏移誤差示意圖Fig.2 Diagram of Position Error Caused by Gap

當(dāng)在某平衡臨界位置，以下滑塊處為杠桿支點，伸縮管套接部分受力、伸縮管伸出部分受力以及末端負(fù)載受力構(gòu)成杠桿平衡。假設(shè)N節(jié)伸縮管，第i節(jié)伸縮管的線密度為ρi，第i+1節(jié)與第i節(jié)伸縮管平衡時的套接長度為Lxi，末端負(fù)載質(zhì)量為m，根據(jù)杠桿平衡列式：

由式（1）求解得到杠桿平衡時伸縮套接部分長度，即第i+1節(jié)伸縮管運(yùn)動中，在搭接長度為Lxi～Li+1時，末端定位偏移2Δi；當(dāng)搭接長度為0～Lxi時，伸縮管會繞下滑塊處偏轉(zhuǎn)θi。

在第i+1節(jié)伸縮管與第i節(jié)伸縮管套接處，搭接長度為bi，由間隙Δi產(chǎn)生了偏轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角θi，通常情況下間隙較小，故認(rèn)為第i+1節(jié)伸縮臂搭接處繞其下滑塊處旋轉(zhuǎn)，如圖3所示。

圖3 套接處偏轉(zhuǎn)角度示意圖Fig.3 Schematic Diagram of Deflection Angle of Socket

式中：αi+1—第i+1節(jié)伸縮臂與第i節(jié)伸縮臂套接處部分對角線的夾角，°；di+1—第 i+1節(jié)伸縮臂的直徑，mm；bi—第 i+1節(jié)伸縮臂與第i節(jié)伸縮臂套接處搭接長度，mm；θi—第i+1節(jié)伸縮臂與第i節(jié)伸縮臂偏轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角，°；Δi—第i+1節(jié)伸縮臂與第i節(jié)伸縮臂套接處的間隙，mm；

則第i+1節(jié)伸縮管和第i節(jié)伸縮管套接間隙引起的偏差位移fi為：

3.2 考慮梯形絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的伸縮臂模型

其中梯形絲杠進(jìn)給系統(tǒng)對于中管有支撐作用，假設(shè)梯形絲杠剛度足夠支撐中管、內(nèi)管以及負(fù)載，即使外管和中管套接處有間隙接觸，那么中管的軸線也不會產(chǎn)生很大的偏差。針對中管的梯形絲杠傳動系統(tǒng)，需要分析伸縮臂在運(yùn)動過程中，梯形絲杠的彎曲變形情況對末端定位造成影響，所以對梯形絲杠進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行力學(xué)建模分析。

根據(jù)梯形絲杠的工作情況以及軸向固定方式可知，中管梯形絲杠的支承方式為一端固定、一端浮動式。對其簡化為一端固定的懸臂梁處理，將中管、內(nèi)管以及負(fù)載的影響折算成在懸臂梁上的所受的彎矩。梯形絲杠的彎矩受力點位置是隨著伸長量變化的，同時對梯形絲杠的彎矩大小也是時變的。

根據(jù)材料力學(xué)知識[9]可知，梁的撓度微分方程為：

式中：w—撓度位移，mm；

假設(shè)中管伸長量為S1，外管伸長量為S2，對絲杠產(chǎn)生的集中彎矩為M，則根據(jù)實際結(jié)構(gòu)可得到絲杠受到彎矩為：

因為螺母的位置是隨中管的位置而變化，根據(jù)式（6）、式（7）得到梯形絲杠進(jìn)給系統(tǒng)螺母處撓度w及偏轉(zhuǎn)角度θ：

4 計算與分析

主從式機(jī)械手伸縮臂運(yùn)動為順序伸縮，即中管伸縮完，內(nèi)管才會進(jìn)行伸縮。給出主從式機(jī)械手從手伸縮臂的各實際參數(shù)，如表1所示。根據(jù)相關(guān)參數(shù)對中管、內(nèi)管運(yùn)動過程定位誤差進(jìn)行計算。

表1 伸縮臂結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural Parameters of Telescopic Boom

4.1 中管的定位誤差計算與分析

首先對無傳動系統(tǒng)下間隙引起的中管偏差進(jìn)行求解，由公式（1）得：Lx1=904mm，即當(dāng)中管平衡時，臨界位置套接長度為904mm，并且中管最大伸出長度S1max為960mm，故在中管運(yùn)動時，當(dāng)伸出長度為（0～266）mm 時，末端定位誤差偏移2Δ1；當(dāng)伸出長度為（266～960）mm 時，由b1=L2-S1和式（3）可得中管會繞下滑塊處轉(zhuǎn)動角度θ1。

對考慮梯形絲杠進(jìn)給的中管模型求解，當(dāng)中管先伸長時，即S1∈（0，960），S2=0，代入式（8），當(dāng)中管伸長完畢后，內(nèi)管進(jìn)行伸長，即 S1=0，S2∈（0，980），同理代入式（8），得到螺母處梯形絲杠彎曲的偏轉(zhuǎn)角度與總伸長量的關(guān)系。

對比得到的無傳動系統(tǒng)下間隙偏轉(zhuǎn)角度與梯形絲杠偏轉(zhuǎn)角度，如圖4所示。分析中管實際偏轉(zhuǎn)角度的情況。

圖4 間隙偏轉(zhuǎn)角度與梯形絲杠偏轉(zhuǎn)角度對比圖Fig.4 Diagrams of Deflection Angle of Trapezoidal Screw and Gap

從圖（4）中看出，在中管伸出長度為（0～270）mm 時（A-B段），主要以絲杠受彎矩產(chǎn)生撓度偏轉(zhuǎn)角為主；當(dāng)中管伸出長度為（270～840）mm時（B-C段），螺母處梯形絲杠的彎曲變形偏轉(zhuǎn)角度大于外管與中管間間隙產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)角度，此時外管為梯形絲杠承受一部分彎矩，此時中管的偏轉(zhuǎn)角度為間隙產(chǎn)生的極限偏轉(zhuǎn)角度。當(dāng)中管伸出長度為（840～960）mm時（C-D段），螺母處梯形絲杠產(chǎn)生的彎曲變形偏轉(zhuǎn)角度小于外管與中管間間隙產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)角度，主要以絲杠受彎矩產(chǎn)生撓度偏轉(zhuǎn)角為主。

當(dāng)中管完全伸出后，此時螺母位置已固定。但內(nèi)管伸長時，會讓螺母處梯形絲杠受到彎矩繼續(xù)變大，使得螺母處梯形絲杠產(chǎn)生的彎曲變形偏轉(zhuǎn)角度繼續(xù)增大，主要以絲杠受彎矩產(chǎn)生撓度偏轉(zhuǎn)角為主，直到內(nèi)管伸長量為420mm時（D-E段），螺母處梯形絲杠產(chǎn)生的彎曲變形偏轉(zhuǎn)角度大于外管與中管間間隙產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)角度，中管達(dá)到最大偏轉(zhuǎn)角度為0.053°，而后內(nèi)管伸長，中管都以最大偏轉(zhuǎn)角度存在。

故伸縮臂運(yùn)動到工作位置穩(wěn)定時，中管的實際偏轉(zhuǎn)角度θ1與伸長量S的關(guān)系，如圖5所示。

圖5 中管實際偏轉(zhuǎn)角度與伸長量的曲線圖Fig.5 Diagrams of Actual Deflection Angle and Elongation of Middle Pipe

4.2 內(nèi)管的定位誤差計算與分析

由于內(nèi)管伸長靠鋼帶傳動，因為鋼帶為彈性元件，故內(nèi)管的誤差視為無傳動系統(tǒng)下間隙引起的內(nèi)管偏差，進(jìn)行求解。由式（1）得：Lx2=1106mm，即當(dāng)內(nèi)管平衡時，臨界位置套接長度為1106mm，并且內(nèi)管最大伸出長度S2max為980mm，故在內(nèi)管運(yùn)動時，當(dāng)伸出長度為（0～70）mm 時，末端定位誤差偏移 2Δ2；當(dāng)伸出長度為（70～980）mm時，由b2=L3-S2和式（3）可得內(nèi)管會繞下滑塊處轉(zhuǎn)動 θ2。

得到內(nèi)管的實際偏轉(zhuǎn)角度θ2與伸長量S2的曲線圖，如圖6所示。

圖6 內(nèi)管實際偏轉(zhuǎn)角度與伸長量關(guān)系圖Fig.6 Diagrams of Actual Deflection Angle and Elongation of Inner Pipe

內(nèi)管在伸出過程中，當(dāng)超過平衡臨界位置后，偏轉(zhuǎn)角度隨著伸出長度不斷增大，對末端定位誤差影響亦越來越大，完全伸出后，最大偏轉(zhuǎn)角度 θ2為0.06°。

圖7 伸縮臂末端定位誤差圖Fig.7 Diagrams of End of Position Error of Telescopic Boom

根據(jù)式（4）、式（5）及上述中管、內(nèi)管的實際偏轉(zhuǎn)角度，從而得到伸縮臂到任意工作位置的末端定位誤差，如圖7所示。

5 結(jié)論

（1）針對影響主從式機(jī)械手的從手伸縮臂的定位精度的因素，分別提出了考慮間隙的伸縮臂數(shù)學(xué)模型和考慮梯形絲杠進(jìn)給的伸縮臂數(shù)學(xué)模型，模型適用于普遍的伸縮臂傳動定位誤差建模。

（2）對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了求解，結(jié)果分析對比，得到了主從式機(jī)械手伸縮臂在實際工作狀態(tài)下，中管和內(nèi)管的偏移角度變化情況。

（3）結(jié)合中管和內(nèi)管的偏移角度變化情況，得到了主從式機(jī)械手從手伸縮臂運(yùn)動任何工作位置的末端定位誤差圖，其中最大定位誤差為2.31mm。為后續(xù)主從式機(jī)械手定位誤差補(bǔ)償研究提供了理論基礎(chǔ)和參考依據(jù)。

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