一種改進粒子群算法的立體陣列優(yōu)化方法

樊征兵，李 陽，宋亞輝，張武林

(中國飛行試驗研究院，陜西西安710089)

0 引 言

近些年來，許多專家致力于傳聲器陣列優(yōu)化設計的研究，傳聲器陣列也從一維線陣列發(fā)展到二維平面陣列和三維立體陣列。對于線陣列，由于陣元的線形分布導致其無法對聲場進行二維或更高維的重建。二維平面陣列也存在明顯的缺點。如果聲源距離平面陣列較近，那么平面陣列對聲源在陣列前或后的位置就無法做出準確判斷，而且使用平面陣列對汽車或飛機內(nèi)部密閉空間的聲源進行識別時，存在較大的困難。三維立體陣列彌補了一維線陣列和二維平面陣列的上述缺陷。在三維立體陣列中，星形立體陣列設計簡單，變量參數(shù)容易控制，陣列具有較好的指向特性，而且對后向噪聲具有一定的抑制作用。因此，本文選擇星形立體陣列進行優(yōu)化。

目前，在陣列優(yōu)化設計中，主要的智能算法包括遺傳算法[1-3]、模擬退火算法[4-6]、蟻群算法[7-8]和粒子群算法[9-12]等。遺傳算法作為一種全局優(yōu)化算法，因其魯棒性強、實用高效等特點被廣泛應用于陣列優(yōu)化設計中，但是與后面三種智能算法相比，其需要對問題進行編碼和解碼，編程實現(xiàn)比較復雜。另外，遺傳算法中的交叉概率和變異概率嚴重影響了算法求解的品質(zhì)，而這兩個參數(shù)的選擇在很大程度上依靠經(jīng)驗。此外，遺傳算法搜索速度慢，目前很多遺傳算法的改進都是結合其他算法進行的[10]。模擬退火算法雖然同樣能夠得到問題的全局最優(yōu)解，但是由于模擬退火算法對整個搜索區(qū)域不甚了解，使得其運算效率不高，而且模擬退火算法對初始溫度的依賴性很強，進化速度較慢。蟻群算法具有較強的魯棒性，需要設置的參數(shù)少，但是如果參數(shù)設置不當，就會導致求解速度非常慢，而且所得解的質(zhì)量特別差，通常情況下，蟻群算法計算量大，求解所需時間較長。粒子群算法以其容易實現(xiàn)、精度高、收斂快等優(yōu)點被廣泛應用于全局優(yōu)化的問題中，尤其在求解連續(xù)問題時，粒子群算法顯示了非常明顯的優(yōu)越性。但是，粒子群算法也有其自身固有的缺點，如由于收斂快，容易導致出現(xiàn)早熟現(xiàn)象，尤其對復雜問題的優(yōu)化，不結合其他方法或者對算法進行改進，很難獲得全局最優(yōu)解。本文在傳統(tǒng)粒子群算法的基礎上，通過對算法的迭代進行先“粗”優(yōu)化后“細”優(yōu)化的策略，達到改進算法的目的。

1 星形立體陣列模型和聲學性能

圖1為平面波入射到星形立體陣列的模型，其中?= 1 ,2,… ,L為星形立體陣列臂數(shù)，信號入射方向為(θ,?)，其中θ為信號入射方向與z軸夾角，即信號俯仰角，?為信號入射方向在xoy平面的投影與x軸正向夾角，稱為方位角。星形立體陣列第?臂的安裝角為(θ?,??)。利用波束成形方法推導得到的陣列的指向特性為

其中，w?,i為第?臂上第i個陣元的加權系數(shù)，為突出陣列本身的指向性，本文加權系數(shù)全部取1；r?,i為第?臂上第i個陣元到參考點(本文選擇坐標原點(0,0,0)為參考點)的距離向量；K=-k?κ為(θ,?)方向的入射波矢量，k= 2 π/λ為波數(shù)，λ為入射波的波長，κ= (sinθcos?,sinθsin?,cosθ)為入射波單位矢量；K0=-k?κ為目標信號的入射波矢量，本文假設目標信號入射方向為(0,0)，則κ0= ( 0,0,1)；n為每個臂上的陣元數(shù)

陣列旁瓣水平(Sidelobes Levels，SL)經(jīng)歸一化處理后定義為：

式中為歸一化旁瓣水平，?為旁瓣區(qū)域。

陣列的優(yōu)化目標函數(shù)為

式中為主瓣寬度。陣元位置約束條件為

將第n個陣元固定在直桿最外端，可以有效地降低陣列的主瓣寬度；將第1個陣元固定在直桿rmin處，可以有效抑制主瓣附近的旁瓣水平，r0為相鄰陣元的最小間距。

圖1 星形立體陣列模型Fig.1 Star-shaped 3D array model

2 改進的粒子群算法

2.1 傳統(tǒng)粒子群算法

星形立體陣列的優(yōu)化為搜索優(yōu)化目標的全局最優(yōu)解，陣列的優(yōu)化目標則為最小化主瓣寬度和旁瓣水平，見公式(3)。在粒子群算法中，每個粒子表示一種布陣方式，所有粒子根據(jù)適應度函數(shù)不斷更新個體極值和種群極值，最終得到全局最優(yōu)解。如果一個粒子群包含N個D維的粒子，則第k代粒子群的位置Xk可表示為

第k代粒子群速度Vk可表示為

第k代粒子個體的歷史最優(yōu)值Pk可表示為

第k代粒子群歷史最優(yōu)值Gk可表示為

粒子位置和速度根據(jù)式(9)更新：

式中：ω為線性遞減慣性權重，ω表達式見式(11)；c1和c2分別為粒子認知系數(shù)和社會系數(shù)；μ1和μ2為0～1之間均勻分布的隨機數(shù)。

式中：ωmax和ωmin分別為最大和最小慣性權重；kmax為最大進化代數(shù)。

2.2 改進粒子群算法(IPSO)

在使用傳統(tǒng)的粒子群算法對本文5臂30陣元的星形立體陣列進行優(yōu)化時，如果對 30個陣元中的 20個陣元同時進行優(yōu)化，算法計算時間較長，而且結果往往只優(yōu)化到局部解。為了解決這個問題，本文提出了一種改進粒子群算法。改進粒子群算法的一般步驟為：

(1) 降維處理：將粒子維數(shù)由原來的L(n- 2 )降為n-2。具體操作為：任意選擇1臂作為優(yōu)化臂，對優(yōu)化臂上除固定陣元外的其他陣元進行優(yōu)化，剩余L-1個臂上的陣元坐標由優(yōu)化臂上的陣元旋轉(zhuǎn)獲得；

(2) 初始化前半部種群：同時初始化S(S＞L)個種群，每個種群規(guī)模為N，粒子維數(shù)為n- 2，設置最大進化代數(shù)k1max為停止條件；

(3) 并行優(yōu)化上述S個種群，利用式(11)更新粒子慣性權重，利用式(9)、式(10)更新粒子速度、位置；

(4) 滿足停止條件后，根據(jù)式(3)的目標函數(shù)選擇L個最優(yōu)粒子群組成L+1個陣列，具體方法為：

a) 前L個陣列：在S個粒子群中選擇最優(yōu)的前L個粒子群，每個粒子群構成陣列的參考臂，共L個參考臂。把每個參考臂繞圖1所示的z軸旋轉(zhuǎn)l*360°/L(l=1,2,…，L-1)，1個參考臂經(jīng)過L-1次旋轉(zhuǎn)后，便生成了1個包括參考臂在內(nèi)共L個臂的陣列，因為有L個參考臂，所以共有L個這樣的陣列。

b) 第L+1個陣列，a)中的L個最優(yōu)粒子群，對應圖1中的L個臂，將這L個臂按照一定規(guī)律排列，使相鄰的兩個臂在xoy平面的投影相隔360°/L。

(5) 初始化后半部種群：將步驟(4)得到的L+1個陣列表示為新的粒子群，新粒子群的種群規(guī)模為L+1，粒子維數(shù)為

(6) 對新粒子群繼續(xù)進行優(yōu)化，此時取最小慣性權重，滿足停止條件后輸出最優(yōu)結果。

改進粒子群算法主要分兩部分：前半部為步驟(1)、(2)和(3)，目的是對粒子降維，得到中間解。后半部為步驟(4)、(5)和(6)，目的是降低種群規(guī)模，對中間解進行更精細的優(yōu)化。

算法流程如圖2所示。

圖2 IPSO算法流程圖Fig.2 The flowchart of the IPSO algorithm

3 仿真實驗

假設一個5臂星形立體傳聲器陣列，L=5，陣列每臂的直桿上分布6個傳聲器，n= 6，每根直桿在rmin和rmax處各固定1個傳聲器，共固定10個傳聲器。每根直桿與z軸的夾角為 60°，5根直桿在xoy平面內(nèi)的投影在 360°內(nèi)等分。rmin= 0 .2 m，rmax=2 m。

選擇1000 Hz作為信號的分析頻率，在仿真實驗之前，對式(3)的目標函數(shù)做如下簡化：

式中：k1為主瓣寬度加權系數(shù)；k2為旁瓣水平加權系數(shù)，且k1+k2=1。

將式(12)作為本文改進粒子群算法的適應度函數(shù)。經(jīng)過多次實驗驗證，當主要優(yōu)化主瓣寬度時，取當主要優(yōu)化旁瓣水平時，取

線性遞減慣性權重粒子群算法(Linearly Decreasing Inertial Weight Swarm Optimization Algorithm, LDWPSO)和本文改進粒子群算法(IPSO)進行比較，兩種算法的參數(shù)設置為：

(1) LDWPSO：種群規(guī)模為30，最大迭代步數(shù)為 1000，線性遞減慣性權重為

(2) IPSO前半部：線性遞減慣性權重：

(3) IPSO后半部：最小慣性權重：

(4) 兩種算法適應度函數(shù)選擇式(12)，主要優(yōu)化旁瓣水平。

(5) 入射波俯仰角θ范圍為 0～30°，其中，0～10°之間步長取 0.2°，10.5～30°之間步長取 1°。方位角?的范圍為0～180°，步長取10°。

(6) 本文對適應度中的主瓣寬度進行歸一化處理：旁瓣水平用式(2)作歸一化處理。

3.1 IPSO算法與LDWPSO算法的優(yōu)化比較

本文改進粒子群算法(IPSO)和 LDWPSO算法各執(zhí)行5次，取各自的最優(yōu)者進行比較，結果如圖3所示。

圖3 兩種算法的比較Fig.3 The comparative diagram of the two algorithms: LDWPSO and IPSO

通過圖3可以看出，LDWPSO算法雖然設置迭代1000步為停止條件，但是，當算法迭代到800步時已經(jīng)收斂到局部解。本文IPSO算法在前半部分(圖3實線起始位置)的降維優(yōu)化中，已經(jīng)得到比LDWPSO算法更優(yōu)的結果，在后半部(圖3實線)進行更精細的優(yōu)化，進一步得到了更優(yōu)的結果。

LDWPSO算法和 IPSO算法的優(yōu)化時間見表1(仿真實驗電腦配置為 Intel(R) Core(TM) i5 CPU M460@2.53 GHz 1.19 Ghz, 2.98 GB內(nèi)存)。

表1 5次優(yōu)化平均時間Table 1 The average time of 5 times optimization

在表1中，與LDWPSO算法相比，本文IPSO算法的計算時間明顯下降。所以采用先降維再降種群規(guī)模的方法，可以達到對算法時間和結果進行優(yōu)化的目的。

3.2 陣列的主瓣寬度和旁瓣水平分析

圖4為本文改進粒子群算法優(yōu)化后的陣列二維俯視圖，對應的陣元坐標如表2所示。圖5為LDWPSO算法優(yōu)化后的陣列二維俯視圖，對應的陣元坐標如表3所示。

仿真1：頻率在1000 Hz時，分別計算圖4和圖5陣列的指向性圖，仿真結果見圖6～7。

圖4 采用IPSO算法優(yōu)化陣列的俯視圖Fig.4 The top view of the optimized array by IPSO algorithm

圖5 采用LDWPSO算法優(yōu)化陣列的俯視圖Fig.5 The top view of the optimized array by LDWPSO algorithm

表2 陣元坐標(IPSO)Table 2 The Cartesian coordinates of the array elements for IPSO algorithm

觀察圖5可以發(fā)現(xiàn)，LDWPSO算法得到的陣列陣元集中在外端。如果陣元集中在外端，會相應增大陣列的有效孔徑，對降低陣列的主瓣寬度有利，而降低陣列主瓣寬度勢必會造成陣列旁瓣水平的惡化。比較圖6和圖7可以看出，LDWPSO算法得到的陣列與IPSO算法得到的陣列相比，最大旁瓣級出現(xiàn)了明顯的惡化，在具體量值上，雖然LDWPSO算法的主瓣寬度降低了6.9%，但是旁瓣水平提高了41.2%。

在500～3000 Hz的頻率范圍內(nèi)，利用圖4和圖5的陣列分別計算主瓣寬度和旁瓣水平，計算結果如表4和表5所示。

從表4和表5可以看出，在優(yōu)化旁瓣水平的前提，與LDWPSO算法相比，IPSO算法達到了優(yōu)化的目的，但同時也看到，當單獨優(yōu)化旁瓣水平時，不可避免地造成了主瓣寬度的惡化，特別是在低頻情況下，這是因為主瓣寬度與頻率和陣列孔徑之間成反比。

圖6 IPSO算法優(yōu)化陣列的指向圖Fig.6 The directivity pattern of the array with the IPSO algorithm

表4 兩種陣列的主瓣寬度比較(°)Table 4 Comparison between the main lobe widths ofthe two arrays (°)

圖7 LDWPSO算法優(yōu)化陣列的指向圖Fig.7 The directivity pattern of the array with the LDWPSO algorith m

表5 兩種陣列的旁瓣水平比較(dB)Table 5 Comparison between the side lobe levels of the two arrays (dB)

3.3 信號源個數(shù)對陣列指向性的影響

通過2個仿真實驗，分析了信號源個數(shù)對陣列指向性的影響。

仿真2：信號頻率為1000 Hz，信號源入射方向為(15°，0°)，圖8和圖9分別給出了圖4和圖5陣列在兩種算法下的陣列指向性等值線的仿真結果，圖中“+”為信號源，圖中右側色棒代表歸一化后的聲壓值(以下同)。

仿真3：信號頻率均為1000Hz，兩個信號源入射方向分別為(20°，130°)和(10°，-120°)，仿真結果見圖10～11。

圖8 入射方向為(15°，0°)時，IPSO算法陣列指向性等值線仿真結果(f =1000 Hz)Fig.8 The array output with the IPSO algorithm in the direction of incidence is (15°, 0°), plotted in terms of constant contours over a scanning plane (f =1000 Hz)

圖9 入射方向為(15°，0°)時，LDWPSO算法陣列指向性等值線仿真結果(f =1000 Hz)Fig.9 The array output with the LDWPSO algorithm, in the direction of incidence is (15°, 0°), plotted in terms of constant contours over a scanning plane (f =1000 Hz)

圖10 雙信號源時IPSO算法陣列指向性等值線仿真結果(f =1000 Hz)Fig.10 The array output with the IPSO algorithm for two signal sources, plotted in terms of constant contours over a scanning plane (f =1000 Hz)

圖11 LDWPSO算法陣列指向性等值線仿真結果(f =1000 Hz)Fig.11 The array output with the LDWPSO algorithm, for two signal sources, plotted in terms of constant contours over a scanning plane (f =1000 Hz)

利用兩種算法得到的陣列同時對 1～2個信號源進行方位識別。由圖8～11可以看出，2種陣列均可有效識別信號源方位，但是IPSO算法得到的陣列對旁瓣的抑制效果更好。隨著信號源個數(shù)的增加，波束成形計算結果的干擾增加，這是算法自身的缺點，若要去除干擾，需要對波束成形方法進行改進。

3.4 信噪比對陣列指向性的影響

同理，通過仿真實驗，對信噪比對陣列指向性的影響進行分析。

仿真4：信號頻率為1000 Hz，信號源入射方向為(15°，0°)，信噪比從-10～20 dB 變化時，觀察圖4和圖5陣列的角度估計誤差隨信噪比的變化情況，仿真結果見圖12。

圖12 2個陣列的角度估計誤差Fig.12 Error of angle estimation for the two arrays

角度估計誤差表達式為

式(13)中，表示估計角度，表示真實角度。

從圖12可以看出，與LDWPSO算法的角度估計誤差相比，IPSO算法的角度估計誤差更低，特別是在低信噪比情況下，LDWPSO算法在低于-8 dB信噪比時，已經(jīng)無法確定信號源位置(圖12中未畫出)。當信噪比大于25 dB時，背景噪聲對IPSO算法已經(jīng)沒有影響，而同樣的情況在 LDWPSO算法中信噪比必須達到30 dB。

3.5 空間角對IPSO算法陣列指向性的影響

空間角對IPSO算法陣列指向性的影響，仍然通過仿真實驗進行分析。

仿真5：設空間有一信號源，保持方位角不變，俯仰角θ從10°～80°變化，信號信噪比從5～30 dB變化，觀察俯仰角變化引起的角度估計誤差的變化，仿真結果見圖13。

仿真6：保持俯仰角不變，方位角?從-180°～135°變化，信噪比(SNR)從 5～30 dB 變化，觀察方位角變化引起的角度估計誤差的變化，仿真結果見圖14。

圖13 IPSO算法陣列角度估計誤差(φ =0°)Fig.13 Error of angle estimation using the array obtained by the IPSO algorithm (φ =0°)

圖14 ISPO算法陣列角度估計誤差(θ=20°)Fig.14 Error of angle estimation using the array obtained by the IPSO algorithm(θ=20°)

分析圖13可知，入射信號方位角保持不變，當信噪比大于等于20 dB時，俯仰角的變化對陣列的角度估計誤差影響比較小，陣列指向性表現(xiàn)平穩(wěn)，當信噪比小于等于10 dB時，陣列的角度估計誤差隨俯仰角的變化較為明顯，尤其俯仰角在 40°和70°附近，陣列的角度估計誤差對俯仰角的變化非常敏感。對于從40°和70°入射的信號，可以將陣列與信號的相對俯仰角調(diào)整到50°～60°之間，以此來降低信噪比對俯仰角在 40°和 70°附近的入射信號的影響。

分析圖14可知，入射信號俯仰角保持不變，當信噪比大于等于10 dB時，信號方位角的變化對陣列角度估計誤差的影響比較小，陣列的指向性表現(xiàn)平穩(wěn)，尤其當信噪比達到30 dB時，信號方位角的變化對陣列的角度估計誤差沒有影響。但是，當信噪比為5 dB時，陣列的角度估計誤差隨信號方位角的變化波動較為明顯，因此在信噪比≤5 dB的低信噪比情況下，可通過繞陣列中心旋轉(zhuǎn)的方式降低較低信噪比對信號角度估計誤差的影響。

4 結 論

本文提出了一種改進的粒子群算法(IPSO算法)，該算法避免了傳統(tǒng)算法易于過早收斂到局部解的問題。利用IPSO算法和LDWPSO算法分別對5臂 30陣元星形立體傳聲器陣列進行優(yōu)化。由于改進算法采取分段優(yōu)化的策略，通過降低粒子維數(shù)結合并行計算的優(yōu)勢，充分利用了慣性權重控制粒子搜索能力的性質(zhì)，合理分配“粗”優(yōu)化和 “精細”優(yōu)化，所以在優(yōu)化過程中不僅縮短了計算時間，而且得到了更優(yōu)的結果。

通過主瓣寬度、旁瓣水平、信號源數(shù)和信噪比對兩種陣列進行多方面比較，除主瓣寬度略寬外，根據(jù)本文提出的改進算法所設計的陣列在其余各方面都優(yōu)于對比陣列。

最后討論了空間角和信噪比對本文改進算法的陣列指向性的影響，得到了在不同信噪比下，信號以不同俯仰角和方位角入射時陣列的指向特性，發(fā)現(xiàn)當信噪比小于 10 dB時，陣列的角度誤差較大，當信噪比大于等于20 dB時，陣列的角度誤差較小。

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