試析幾何直觀的教學(xué)價(jià)值

新課標(biāo)明確指出： “幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。”可見，幾何直觀的實(shí)質(zhì)就是利用圖形產(chǎn)生直接認(rèn)識，或者借助圖形進(jìn)行分析、推理和展開想象，其在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著舉足輕重的作用。

一、運(yùn)用幾何直觀，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是反映客觀世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的思維形式，其本身是精確的、抽象的。而小學(xué)生的思維處在由具體形象思維逐步向抽象邏輯思維過渡階段，并且抽象思維常常需要直觀形象的支撐。因此，在概念教學(xué)中，老師可以引導(dǎo)學(xué)生借助幾何圖形，由直觀形象逐步理解抽象概念的本質(zhì)。

教學(xué) “蘇教版”三年級 （上冊） “分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識 （一）”時(shí)，在學(xué)生將長方形紙分別折一折、涂一涂表示出它的之后，教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察和比較，認(rèn)識的本質(zhì)屬性。 （如圖1）

圖1

師：三張長方形紙中，涂色部分的形狀不同，為什么都能用表示呢？

生：因?yàn)槿龔堥L方形紙都是被平均分成2份，涂色部分是其中的1份，所以都可以用表示。

分?jǐn)?shù)是抽象的，理解必須是具體的。上述教學(xué)環(huán)節(jié)中，借助圖形直觀，并通過比較剝離出圖形的非本質(zhì)屬性，抽象出 “都是平均分成2份，涂色部分是其中的1份，所以都用表示”的本質(zhì)屬性。學(xué)生基于自己動手操作的經(jīng)歷和體驗(yàn)，借助對圖形的觀察和比較，從感性認(rèn)識中進(jìn)一步歸納和概括出的內(nèi)涵。

二、運(yùn)用幾何直觀，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是對客觀事物的一般關(guān)系的反映，也是人們以數(shù)學(xué)方式認(rèn)識具體事物、描述客觀現(xiàn)象的最基本的形式。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式為一系列的概念系統(tǒng)、算法系統(tǒng)、關(guān)系、定律、公理系統(tǒng)等，這些都是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程，實(shí)際上是對一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握過程。而一些數(shù)學(xué)模型的建立，如能結(jié)合幾何直觀，學(xué)生的理解會更深刻。

如教學(xué)乘法結(jié)合律時(shí)，筆者創(chuàng)設(shè)了數(shù)小正方體的學(xué)習(xí)活動。 （如圖2）

圖2

通過交流不同的數(shù)法：從上面看，每一層有3×5個(gè)，有4層，共有 （3×5）×4個(gè)；從前面看，一層有5×4個(gè)，有3層，共有3×（5×4）個(gè)。學(xué)生很容易理解 （3×5） ×4=3× （5×4）。 再通過舉例驗(yàn)證、 類比歸納，從而建立 （a×b） ×c=a× （b×c），即乘法結(jié)合律的計(jì)算模型。

乘法分配律的代數(shù)模型是 （a+b） ×c=a×c+b×c，為了能讓學(xué)生更直觀地認(rèn)識理解它，筆者出示了下面的圖，要求學(xué)生說一說大長方形的面積可以怎么求。學(xué)生想出兩種方法，恰好反映了乘法分配律的本質(zhì)，同時(shí)這個(gè)長方形也成了乘法分配律的幾何模型。 （如圖3）

圖3

三、運(yùn)用幾何直觀，幫助學(xué)生提高計(jì)算能力

在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，提高學(xué)生計(jì)算能力，不僅是提高學(xué)生計(jì)算的熟練程度，更重要的是讓學(xué)生理解算理，將計(jì)算的方法融會貫通于數(shù)學(xué)的其他方面，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的提煉和概括，它們是相輔相成的。在加、減、乘、除四則運(yùn)算教學(xué)時(shí)我們不妨將幾何直觀融入其中，發(fā)揮幾何直觀對理解算理的作用。在運(yùn)算教學(xué)中，也可以有效地借助幾何圖形讓學(xué)生理解算理。例如，在教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法中，分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘的算理顯得比較復(fù)雜且抽象，如果簡單采取示范告知的方式，不僅不利于學(xué)生對算理的理解，也無法促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。因此，在教學(xué)中需要借助幾何圖形表示分?jǐn)?shù)，從而讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理。

出示：用長方形表示單位 “1”，師生合作涂色表示出長方形的

師：怎樣理解

生表示把平均分成4份，取其中的1份。

師：你能在圖中表示出來嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考后，教師點(diǎn)名板演，如圖4。

圖4

師：你能根據(jù)圖示，寫出的結(jié)果嗎？說明理由。

生從圖上看，畫虛線的部分相當(dāng)于把長方形平均分成8份，取其中1份，所以的占長方形的

上述教學(xué)片段中，教師注意引導(dǎo)學(xué)生利用幾何圖形表示分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，進(jìn)而直接得出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的結(jié)果。同時(shí)，圖形的直觀便于學(xué)生確認(rèn)相乘時(shí)，把分子和分子相乘，分母和分母相乘的合理性。在此基礎(chǔ)上，借助更多的實(shí)例以及幾何直觀，學(xué)生不僅可以順利地認(rèn)識分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理，而且能夠逐步歸納概括分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。

四、運(yùn)用幾何直觀，促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展

皮亞杰在認(rèn)知發(fā)展階段論中指出，具體運(yùn)算階段的兒童雖然不能進(jìn)行抽象的邏輯推理，但可以憑借具體形象的支撐進(jìn)行直觀推理。例如，三年級 “分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”教學(xué)后，在比較的大小時(shí)，有的學(xué)生會受到整數(shù)大小比較的負(fù)遷移，認(rèn)為為此，教師可以充分利用幾何直觀，讓學(xué)生在兩個(gè)同樣大小的圓中分一分，涂色表示出這兩個(gè)分?jǐn)?shù) （如圖5）。這樣，學(xué)生可以根據(jù)兩幅圖中涂色部分的大小進(jìn)行直接判斷，還能夠聯(lián)系分?jǐn)?shù)的含義進(jìn)行分析和推理。借助幾何圖形，使學(xué)生能夠更清晰地解釋比較這兩個(gè)分?jǐn)?shù)大小的方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。又如，在教學(xué)三年級 “生活中的推理”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過列表畫 “√” “×”等方式進(jìn)行推理，不僅使推理過程更直觀、簡潔，也促使學(xué)生的思維在短時(shí)間內(nèi)得到了有效提高。生活中很多推理問題通過幾何直觀的方式都能有效解決。如A、B、C、D、E、F六支球隊(duì)，每兩個(gè)隊(duì)伍比賽一場，當(dāng)A、B、C、D、E分別賽了5、4、3、2、1場時(shí)，F(xiàn)賽了幾場？學(xué)生根據(jù)條件，通過畫圖連線的方法進(jìn)行推理很容易看出F隊(duì)賽了3場。 （如圖所示）

圖5

圖6

總之，借助幾何直觀進(jìn)行教學(xué)，可以形象生動地展現(xiàn)問題的本質(zhì)，有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，在有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)，提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。幾何直觀不僅在 “圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚用一首七言絕句描述了數(shù)學(xué)中的一種非常重要的思想方法： “數(shù)形本是相依偎，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。”用圖形說話，用圖形描述問題、討論問題，這是一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教師要從小培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的思考能力，使之在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得更大的進(jìn)步和發(fā)展。