基于最小二乘法的脈沖壓縮技術(shù)研究

王傳志，李學(xué)華,2，秦正霞，孫 清

(1.成都信息工程大學(xué) 電子工程學(xué)院，四川 成都 610225;2.中國氣象局大氣探測重點(diǎn)開放實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610225)

脈沖壓縮技術(shù)是現(xiàn)代雷達(dá)系統(tǒng)中應(yīng)用比較廣泛的一種技術(shù)，較好的解決了距離分辨率與脈沖發(fā)射平均功率之間的矛盾，在提高探測距離的情況下也能夠保持很好地距離分辨率。脈沖壓縮的實(shí)質(zhì)就是大時(shí)寬帶寬積的信號經(jīng)過匹配濾波的過程。通常進(jìn)行脈沖壓縮之后除了期望的主瓣信息還會(huì)帶來距離旁瓣的影響，文獻(xiàn)[1]提出了一種譜修正的旁瓣抑制技術(shù)，文獻(xiàn)[2]使用了組合窗函數(shù)的譜修正方法來抑制旁瓣，但脈壓副瓣依舊很高同時(shí)還會(huì)帶來較大的主瓣展寬和信噪比損失影響。文獻(xiàn)[3]提出的clean算法能夠有效地降低和消除距離副瓣，但是在多目標(biāo)的環(huán)境下會(huì)出現(xiàn)虛假目標(biāo)的現(xiàn)象。文獻(xiàn)[4～6]提出的雙向加權(quán)脈沖壓縮算法有很好的旁瓣抑制特性，但是對發(fā)射信號的加權(quán)會(huì)受到功率放大器非線性特性的影響。文獻(xiàn)[7～9]提出了基于現(xiàn)代信號處理的最大信噪比和最小均方誤差準(zhǔn)則的自適應(yīng)脈沖壓縮。本文提出的基于最小二乘算法的脈沖壓縮算法通過對脈沖壓縮之后的輸出進(jìn)行優(yōu)化使其與期望脈壓輸出誤差的平方和最小，從而提高脈沖壓縮性能。

1 脈沖壓縮數(shù)學(xué)模型

在雷達(dá)系統(tǒng)中，窄脈沖具有較寬的頻譜帶寬，如果對寬脈沖進(jìn)行頻率或者相位調(diào)制則可以獲得與窄脈沖相同的帶寬。假設(shè)一個(gè)調(diào)制后的寬脈沖的帶寬為B，由接收機(jī)的匹配濾波器壓縮后的脈沖寬度將等于1/B，這個(gè)過程叫做脈沖壓縮。在現(xiàn)代雷達(dá)系統(tǒng)中脈沖壓縮技術(shù)有效地解決了距離分辨率與平均功率之間的矛盾。實(shí)現(xiàn)脈沖壓縮有兩個(gè)條件，首先是發(fā)射信號必須具有非線性的相位譜，必須使其脈沖的寬度與有效帶寬的乘積(即時(shí)寬帶寬積BT)?1，具有非線性相位譜的信號才具有被“壓縮”的可能；其次是接收機(jī)中必須具有相頻特性與發(fā)射信號“相位共軛匹配”的壓縮網(wǎng)絡(luò)。只有同時(shí)滿足這兩個(gè)條件才能夠?qū)崿F(xiàn)脈沖壓縮[10-11]。

匹配濾波理論是從噪聲背景中雷達(dá)信號的最佳檢測發(fā)展而來的信號處理理論，匹配濾波器是在白噪聲背景中檢測信號的最佳線性濾波器，其輸出信噪比在某個(gè)時(shí)刻可以達(dá)到最大[12]。

已知雷達(dá)發(fā)射線性調(diào)頻信號的復(fù)數(shù)表達(dá)式為

(1)

式中，T為脈沖寬度；k=B/T，B是帶寬；f0為中心頻率。發(fā)射信號經(jīng)過目標(biāo)散射后到達(dá)接收機(jī)的回波信號為

sr(t)=a1s(t-τ)exp(j2πfd(t-τ))

(2)

式中，a1與目標(biāo)的RCS、天線增益以及衰減等因素有關(guān)，時(shí)間延遲τ=2R/c；fd為目標(biāo)物的多普勒頻移。

回波信號經(jīng)過接收機(jī)的匹配濾波器來實(shí)現(xiàn)脈沖壓縮，由匹配濾波理論知道匹配濾波器的脈沖響應(yīng)與發(fā)射信號是復(fù)共軛的關(guān)系。所以，匹配濾波器在時(shí)域上的函數(shù)即脈沖響應(yīng)為

h(t)=ks*(t0-t)

(3)

式中，s*(t0-t)為輸入信號的鏡像，它與輸入信號s(t)的波形相同，但從時(shí)間t0開始反轉(zhuǎn)過來。匹配濾波器對于時(shí)延信號具有適應(yīng)性，因此延時(shí)t0可以不考慮，而k是個(gè)常數(shù)，所以可以不考慮，因此匹配濾波器的方程式特性可以簡化為

h(t)=s*(-t)

(4)

回波信號經(jīng)過匹配濾波器之后的輸出為回波與濾波器響應(yīng)函數(shù)的卷積

y(t)=sr(t)?h(t)=Tsinc(πBt),|t|≤T

(5)

若取信號的時(shí)寬為10 μs，帶寬為5 MHz，采樣頻率為10 MHz則其經(jīng)過脈沖壓縮之后的仿真圖如圖1所示,具有較高的距離旁瓣(-13.5 dB)。

圖1 LFM脈壓結(jié)果

2 算法原理

2.1 最小二乘法(LS)

最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)并且使得所求的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和最小[13]。形如對于矩陣方程

Aw=b

(6)

為了尋找一定意義下的最優(yōu)解，在最小二乘條件下定義誤差向量為

(7)

定義誤差向量e的平方和為

(8)

為取得一個(gè)極小值將上式可以表示為

J=eHe=bHb-bHAw-wHAHb+wHAHAw

(9)

將上式對J求關(guān)于w的梯度，從而可以得到J的極小值

(10)

所以，當(dāng)w滿足上式時(shí)，會(huì)使J取到極小值，矩陣?yán)碚撋蠈⑸鲜椒Q為確定性正則方程[14]，如果AHA矩陣此處是非奇異的，那么

(11)

就是基于以上公式推導(dǎo)出來的最小二乘解。

2.2 基于最小二乘的脈沖壓縮

J(w)=eHRe

(12)

式中，R是一個(gè)對角加權(quán)矩陣，而且其每一元素均為正數(shù)。當(dāng)出現(xiàn)幅度大的誤差時(shí)，通常選用小的權(quán)重，反之運(yùn)用較大的權(quán)重[15]。當(dāng)A矩陣是一個(gè)列滿秩矩陣時(shí)，方程Aw=b可以推導(dǎo)出的加權(quán)時(shí)的最小二乘解

wWLS=(ATRA)-1ARb

(13)

通過迭代方法，在誤差準(zhǔn)則一定時(shí)，加權(quán)最小二乘解將在此條件之下更接近真實(shí)解。引入一個(gè)與誤差相關(guān)的迭代加權(quán)向量r(k)，可以理解為：其結(jié)果是對最小二乘解做一個(gè)訂正，每次迭代過程中，下一次的加權(quán)系數(shù)將會(huì)由當(dāng)次的系數(shù)依據(jù)當(dāng)次最小二乘解和真實(shí)解相減得到的差來決定。將第k次迭代之后其誤差定義為

ek=|Awk-b|

(14)

計(jì)算其加權(quán)系數(shù)：r(k)=r(k-1)·ek-1用向量r(k)構(gòu)造對角矩陣為

R(k)=diag[r(k)]

(15)

將上式使用的加權(quán)矩陣R迭代時(shí)帶入式中，可得

wIRLS(k)=[ATR(k-1)A]-1ATR(k-1)b

(16)

上式即為迭代加權(quán)方法的最小二乘解。定義其迭代過程終止的條件為[16]

max‖b-Awi|-|b-Awi-1‖

(17)

式中，Td是一個(gè)整數(shù)，其數(shù)值較小，是判定迭代過程終止所用相鄰兩個(gè)誤差之間的預(yù)定門限值，這個(gè)門限值的意義是：如果兩次迭代后，更新的數(shù)值變化比較小時(shí)，終止迭代運(yùn)算，并判斷此時(shí)的解為最優(yōu)解。對脈沖壓縮進(jìn)行最小二乘算法的具體算法實(shí)現(xiàn)流程如圖2所示。

圖2 最小二乘脈沖壓縮算法實(shí)現(xiàn)流程

3 仿真結(jié)果分析

利用上述算法進(jìn)行最小二乘脈沖壓縮，仿真實(shí)驗(yàn)取信號的時(shí)寬為10 μs，帶寬為5 MHz，采樣頻率為10 MHz，在低信噪比SNR=10 dB時(shí)，存在弱目標(biāo)環(huán)境下的脈壓結(jié)果分析，主要驗(yàn)證其距離旁瓣對弱目標(biāo)的影響和主瓣對距離分辨率的影響，分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)1和實(shí)驗(yàn)2的對比。實(shí)驗(yàn)1設(shè)有3個(gè)目標(biāo)在R=[850 980 1 200]m處，其對應(yīng)的RCS=[0.5 3 1]m2，圖3所示為回波信號經(jīng)過常規(guī)匹配濾波之后的結(jié)果，可以看出980 m處強(qiáng)散射體旁瓣的能量很高，已經(jīng)淹沒了附近850 m處弱目標(biāo)的存在。圖4所示為進(jìn)行加權(quán)處理的旁瓣抑制，雖然有比較好的旁瓣抑制，但是由于主瓣展寬而無法分辨距離較近的目標(biāo)。圖5為最小二乘算法之后的效果，可以看出強(qiáng)回波附近的弱目標(biāo)能夠分辨，具有較好的旁瓣抑制能力。

圖3 有弱目標(biāo)回波的脈沖壓縮

圖4 有弱目標(biāo)回波進(jìn)行加權(quán)的脈沖壓縮

圖5 有弱目標(biāo)回波最小二乘法的脈沖壓縮

為了與實(shí)驗(yàn)1進(jìn)行對比分析，實(shí)驗(yàn)2取目標(biāo)物距離在R=[850 880 1 200]m處，假設(shè)兩個(gè)靠近的目標(biāo)的散射截面積相等，對應(yīng)的RCS=[3 3 1]m2。圖6為進(jìn)行脈沖壓縮之后的效果圖，由于目標(biāo)物的距離比較靠近，進(jìn)行脈沖壓縮之后依然很難分辨目標(biāo)。圖7為最小二乘法的結(jié)果，從局部放大效果圖可以明顯的區(qū)分出距離較近的目標(biāo)位置，具有較好的距離分辨率。綜合實(shí)驗(yàn)1和實(shí)驗(yàn)2的實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了基于最小二乘脈沖壓縮算法具有較好的旁瓣抑制能力和距離分辨率。

圖6 目標(biāo)靠近的回波脈沖壓縮

圖7 目標(biāo)物靠近的最小二乘法的脈沖壓縮

4 結(jié)束語

為了抑制脈沖壓縮帶來的距離旁瓣影響，提高雷達(dá)對目標(biāo)的檢測能力，本文提出了基于最小二乘法的脈沖壓縮算法。相比于加窗的旁瓣抑制方法，最小二乘法的脈沖壓縮算法具有更好的旁瓣抑制效果且不會(huì)帶來主瓣展寬的影響，在保證距離分辨率的條件下可以有效進(jìn)行取弱小目標(biāo)的提取與檢測，對現(xiàn)代雷達(dá)系統(tǒng)中目標(biāo)檢測具有一定的參考價(jià)值。

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