基于單元分解的多粒子糾纏態(tài)的糾纏度量方法

蘇沛源

(中國海洋大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100)

最近，我國成功發(fā)射了世界第一顆量子科學(xué)實驗衛(wèi)星，并成功研制了10比特超導(dǎo)量子計算機(jī)，標(biāo)志著量子信息科學(xué)的發(fā)展已進(jìn)入了一個嶄新的時代。作為量子信息科學(xué)的核心資源[1]，量子糾纏無論在量子通信還是量子計算中均起著重要作用[2-4]。

對多粒子糾纏態(tài)的研究涉及糾纏態(tài)的定義、制備、判定、度量、操控等多個方面。糾纏態(tài)的制備，通常采用自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換的非線性光學(xué)過程制備多個光子的糾纏態(tài)。糾纏度量是對多粒子糾纏態(tài)糾纏程度的定量描述[5]，具有重要的基礎(chǔ)地位。目前，已有多種多粒子糾纏度量方法[6]被提出，但大多難以擺脫隨著粒子數(shù)增加而帶來的計算復(fù)雜度問題[7]。2001年，Raussendorf等人提出了以測量為基礎(chǔ)的量子計算模型[8]。該模型以特定的多粒子糾纏態(tài)為平臺，僅憑對單格點的測量來完成基本的量子計算任務(wù)。這種特定的多粒子糾纏態(tài)被稱為共價鍵固態(tài)(Valence-Bond Solid State，VBS)。所以，本文引入了多粒子糾纏態(tài)的表示，將具有VBS表示的一維多粒子糾纏態(tài)進(jìn)行了單元分解。以單元分解為基礎(chǔ)，本文提出了一種新的糾纏度量方法。文中對新方法的合理性進(jìn)行了證明，同時對兩種不同的多粒子糾纏度量方法進(jìn)行了分析與比較。

1 研究內(nèi)容

1.1 單元分解

本文主要研究了具有一維VBS表示的多粒子糾纏態(tài)。一個具有一維VBS表示的多粒子糾纏態(tài)[9]，如圖1表示。

圖1展示了一種高度對稱的結(jié)構(gòu)。將圖中的每個大圓圈當(dāng)作是一個格點實粒子，每個格點的實粒子均由大圓圈中的兩個虛粒子構(gòu)成。兩個相鄰格點的虛粒子構(gòu)成了VBS表示的基本元素之—，糾纏鍵。

(1)

在一維VBS態(tài)的兩端，分別存在兩個單獨(dú)的輔助虛粒子。這兩個輔助虛粒子的狀態(tài)均為

|φ〉=a0|0〉+a1|1〉

(2)

在第i個格點上，會有一個局域投影算符Pi，將該格點中的兩個虛粒子的狀態(tài)投成一個真實粒子的狀態(tài)。由于VBS態(tài)具有高度對稱的結(jié)構(gòu)，所以每一個格點所對應(yīng)的投影算符和連接相鄰格點的糾纏鍵均相同。最終，一維VBS態(tài)可表示為

(3)

根據(jù)這種對稱結(jié)構(gòu)，一維VBS多粒子糾纏態(tài)可被拆分成不同的單元，各單元的具體結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 不同種類的單元

單元總共有3種形式，分別是左邊單元、中間單元和右邊單元。中間單元包含兩個糾纏鍵和一個投影算符。中間單元的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以寫為

(4)

其中

(5)

經(jīng)投影算符作用Pi的兩個虛粒子狀態(tài)構(gòu)成了單元中格點的狀態(tài)。通過式(4)可以看出，中間單元的形式實際上和三粒子糾纏態(tài)的表達(dá)式相同。

左單元和右單元的形式比較特殊，需要與中間單元區(qū)別開來。左單元的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(6)

其中，通過投影算符P1對最左端的輔助虛擬粒子態(tài)和糾纏鍵中的虛粒子狀態(tài)的作用得到左單元的格點狀態(tài)。對于左單元而言，其表達(dá)式與兩粒子糾纏態(tài)一致。

右單元的組成和左單元相同，其表達(dá)式可以寫成

(7)

其中，通過投影算符Pn對最末端的輔助虛擬粒子態(tài)和糾纏鍵中的虛粒子狀態(tài)作用，得到右單元的格點狀態(tài)。這樣，具有VBS表示的一維多粒子糾纏態(tài)就成功地被分解成了多個單元。這種方法被稱為單元分解方法。

2.2 糾纏度量

將上文中提出的單元分解方法運(yùn)用到多粒子糾纏度量中，便可將對整個多粒子糾纏態(tài)的糾纏度量轉(zhuǎn)化成對每個單元的糾纏度量。對中間單元而言，首先將式(4)中的表達(dá)式重新寫成

(8)

其中

(9)

在式(9)中，|n>是投影算符作用后真實粒子的狀態(tài)，d是真實粒子的空間維度。式(8)中的每一個系數(shù)αjnm均由構(gòu)成這一單元的糾纏鍵和投影算符的形式?jīng)Q定。在本文當(dāng)中，每個單元的糾纏度由廣義Concurrence[10]來度量。中間單元的系數(shù)矩陣可以表示為

(10)

(11)

其中，|Mγ|是行列式的模的大小。

根據(jù)相同的步驟，可以得到左單元和右單元的糾纏度EL,ER。在成功計算了3個基本單元的糾纏度后，整個多粒子糾纏態(tài)的糾纏度表示為

E=Ei(N-2)+EL+ER

(12)

其中，N為多粒子系統(tǒng)包含的粒子個數(shù)。

2.3 合理性證明

眾所周知，一個合理的糾纏度量方法必須滿足以下3個基本條件[11]：(1)對于糾纏態(tài)，糾纏度一定要>0；(2)局域幺正變換不改變糾纏度的大?。?3)糾纏度在局域操作和經(jīng)典通訊(LOCC)下不增加。利用上述3個條件，可以證明新提出方法的合理性。

1)通過理解單元的構(gòu)成，若糾纏鍵是可分態(tài)，則可以構(gòu)造可分單元。以中間單元為例，在得到其可分單元的表達(dá)式后，便可寫出與之相關(guān)的系數(shù)矩陣的形式

(13)

其中，矩陣的非零元素恰好均在同一行中。實際上，對于這樣一個可分單元的系數(shù)矩陣，非零的元素一定會出現(xiàn)在同一行或是同一列。式(13)的矩陣只是其中一種特殊的情況。但無論是哪種情況，系數(shù)矩陣的所有2×2的行列式的值均為0。按照式(11)，中間單元的糾纏度也為0。同理可得，左單元和右單元的糾纏度等于0。根據(jù)式(12)，整個具有VBS表示的糾纏態(tài)的糾纏度也等于0。這說明，新的糾纏度量方法滿足條件1的要求；

2)結(jié)合廣義Concurrence[10]和文獻(xiàn)[12]，中間單元的糾纏度又可以表示為

(14)

在式(14)中

(15)

(16)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，Ii,1和Ii,2是兩個在局域幺正操作下的不變量，這說明中間單元的糾纏度Ei在局域幺正操作下也保持不變。類似的，左單元的糾纏度EL和右單元的糾纏度ER，在局域幺正操作下也保持不變。則整個糾纏態(tài)的糾纏度在局域操作下也會保持不變；

3)一個具有VBS表示的多粒子糾纏純態(tài)|ψ>可通過LOCC的操作轉(zhuǎn)化成一個純態(tài)的系綜{Px,|ψx>}。在廣義Concurrence文獻(xiàn)[10]中，已經(jīng)證明了

(17)

對于中間單元而言，在LOCC操作之后，中間單元|ψ>i可轉(zhuǎn)化為系綜{Px,|ψx>i}。這個單元狀態(tài)|ψx>i正好是文獻(xiàn)[10]當(dāng)中所度量的多粒子糾纏態(tài)的一個特例。其是一種三粒子糾纏純態(tài)的形式。則根據(jù)式(17)，就可以得到中間單元的糾纏度滿足

(18)

其中，Exi是經(jīng)LOCC操作后單元狀態(tài)|ψx>i的糾纏度。這表明，中間單元的糾纏度在局域操作和經(jīng)典通信下不增加。左單元和右單元的操作過程與中間單元類似，其均可以被看作是文獻(xiàn)[10]中提出的多粒子糾纏態(tài)的兩粒子特例形式。因此，可以得到

(19)

最后，結(jié)合式(12)和式(18)～式(19)，整個糾纏態(tài)的糾纏度E滿足

(20)

式(20)說明提出的新方法滿足第3個條件的要求。由此證明了，這種新的糾纏度量方法是一種合理的糾纏度量方法。

2.4 分析和討論

本文利用廣義Concurrence和本文提出的新方法計算了3種典型的多粒子糾纏態(tài)的糾纏度。這3種態(tài)分別是GHZ態(tài)[13]、Cluster態(tài)[8]和AKLT態(tài)[9]。其中，GHZ態(tài)的應(yīng)用廣泛，主要用來進(jìn)行量子隱形傳態(tài)。而其他兩種態(tài)均是以測量為基礎(chǔ)的量子計算所需的資源態(tài)。具體的計算結(jié)果，如表1所示。

從表1中多粒子糾纏態(tài)的糾纏度表達(dá)式可看出，利用新方法計算得到的多粒子糾纏態(tài)的糾纏度隨粒子數(shù)的增加呈線性關(guān)系增長。這是由于新方法基于單元分解，而整個量子態(tài)是由多個單元連接而成的。利用廣義Concurrence來計算AKLT態(tài)的糾纏度時，計算難度會隨著粒子數(shù)增大而不斷增加。在表1中，“*”號表示無法得到AKLT態(tài)的具體計算結(jié)果。

表1 不同糾纏度量方法的糾纏度計算結(jié)果

同時，這兩種方法的計算復(fù)雜度也得到了比較分析。其最基本的計算元素是一致的，均是2×2的行列式。對一個N粒子糾纏態(tài)而言，若利用本文提出的新方法來計算，需要考慮的行列式的數(shù)量為4×(N-1)。而用廣義Concurrence來度量糾纏度時，需要計算的行列式的個數(shù)為(2N-1-1)×(2N-2)！/(2！(2N-4)！)。可以明顯地發(fā)現(xiàn)，新方法能夠有效地降低計算的復(fù)雜度。

3 結(jié)束語

本文針對多粒子糾纏度量方法隨粒子數(shù)增加出現(xiàn)的計算復(fù)雜度問題，提出了一種新的多粒子糾纏態(tài)的糾纏度量方法。該方法以單元分解為基礎(chǔ)，主要用來度量具有一維VBS表示的多粒子糾纏態(tài)。這種新方法被證明是一種合理的糾纏度量方法。與已經(jīng)提出的廣義Concurrence糾纏度量方法相比，新方法能夠有效降低多粒子糾纏度量的計算復(fù)雜度。此外，該研究還可加深人們對多粒子糾纏態(tài)結(jié)構(gòu)的理解，同時對以測量為基礎(chǔ)的量子計算的實用化具有積極意義。

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