關于Burgers方程在L∞模下收斂的差分格式

朱 玲，徐維艷，孫 紅

(江蘇科技大學 理學院, 鎮(zhèn)江 212003)

Burgers方程是一個重要的和普遍的非線性模型,在等離子物理、量子場論、非線性光學和通信技術(shù)等領域有著重要的地位和作用. Burgers方程是一個雙曲—拋物型非線性微分方程,描述物理問題的對流和耗散的綜合過程, 兼有一階波動方程和熱傳導方程的特性. 應用有限差分方法研究Burgers方程主要分為兩大類:一是當源項f=0時,對Burgers方程作Cole-Holf變換,將其轉(zhuǎn)換成經(jīng)典的熱方程,再對變換后的熱方程建立有限差分格式.文獻[1-4]中基于Cole-Holf變換對Burgers方程建立的差分格式. 二是當f≠0時,Cole-Holf變換就失效了, 需要用其他數(shù)值格式來求解[5-10].目前,對于Burgers方程的差分格式的理論分析相對較少,特別是在L∞模下的穩(wěn)定性及收斂性分析更少. 文中對Burgers方程建立一個三層的線性化的差分格式,并給出了L∞模下嚴格的收斂性分析，考慮Burgers方程

式中，φ(x)為給定的光滑函數(shù)，且φ(0)=0,φ(1)=0.

1 記號和引理

設vh={u|u=(u0,u1,…,um),u0=um=0}是定義在Ωh上的網(wǎng)格函數(shù)空間, 對?u,v∈vh, 定義內(nèi)積和范數(shù)：

引理1[9]對任意的網(wǎng)格函數(shù)v∈Vh, 有：

引理2[9]對任意的網(wǎng)格函數(shù)v∈Vh, 有：

2 差分格式的建立

及

(4)

且存在常數(shù)c1,使得：

在點(xi,tk)處考慮方程式(2), 由Taylor展開,有：

1≤i≤m-1, 1≤k≤n-1

(5)

且存在c2,使得：

注意到初邊值條件,有：

(6)

(7)

略去式(4、5)中的小量項, 對式(1～3)可建立差分格式：

對于格式中的ut(xi,0)可以利用方程式(1)和初值條件式(2)求得：

ut(xi,0)=φxx(xi)-φ(xi)φx(xi)+f(xi,0)

3 差分格式的唯一可解性和收斂性

‖ek‖∞≤C(τ2+h2) 0≤k≤n

(16)

證明: 應用數(shù)學歸納法證明此定理.

當k=0,由式(14～15), 有：

|e0|1=0, ‖e0‖=0

因此，結(jié)論對k=0是成立的.

首先：證明u1是由式(8、11)唯一確定,且式(16)對k=1是成立的.

(1) 考慮式(8、11)的齊次方程組, 有：

于是有：

因而, 方程組(8，11)唯一確定u1.

則：

由上面的不等式可得：

(19)

應用引理1, 得：

因此,式(16)對k=1是成立的.

其次，假設式(8～11)唯一確定uk(1≤k≤l),且式(16)對1≤k≤l是成立的. 下面將證明ul+1可由式(8～11)唯一確定且式(16)對k=l+1是成立的.

‖ek‖∞≤1, 1≤k≤l

因此,

‖uk‖∞≤‖Uk‖∞+‖ek‖∞≤1+c01≤k≤l

(20)

式(21)兩邊同時與ul+1作內(nèi)積, 得：

(23)

應用引理2, 可得：

(24)

由Cauchy-Schwarz不等式和式(20), 有：

(25)

將式(24、25)代入式(23), 得到：

(26)

于是,ul+1由式(8～11)唯一確定.

(2) 證明式(16)對k=l+1是成立的.

式(13)與Δtek作內(nèi)積, 可得：

由引理1.2, 有：

注意到，

于是，

1≤k≤l

(27)

由Cauchy-Schwarz不等式, 引理1和式(20), 得：

和

將以上兩個不等式代入式(27), 得：

于是有：

于是，

h2)2,1≤k≤l

應用Gronwall不等式和式(19), 得：

由上面的不等式, 可得：

|el+1|1≤c3(τ2+h2)

由引理1, 有：

因此，式(16)對k=l+1也是成立的，定理證畢.

4 數(shù)值試驗

應用差分格式(8～11)來計算一個例子，驗證文中建立的差分格式的精度和有效性.

例: 設T=1,f(x,t)=e-tsin(πx)(-1+

πe-tcos(πx)+π2),且φ(x)=sin(πx),問題(1～3)有精確解u(x,t)=sin(πx)e-t.

記最大模誤差：

時間方向的收斂階定義為order1=log2(E∞(

h,2τ)/E∞(h,τ)),當h足夠小.

空間方向的收斂階定義為order2=log2(E∞(

2h,τ)/E∞(h,τ)),當τ足夠小.

定義order3=log2(E∞(2h,2τ)/E∞(h,τ)) 為差分格式的收斂階.

表1 當h=1/800時，時間方向的最大模下的誤差和收斂階Table 1 Maximum norm errors and the temporalconvergence orders with h=1/800

表2 當τ=1/1 000時，空間方向的最大模下的誤差和收斂階Table 2 Maximum norm errors and the spatialconvergence orders with τ=1/1000

表3 差分格式的最大模誤差和收斂階Table 3 Maximum norm errors andconvergence orders

從表1～3可以看出，差分格式(8～11)在時間和空間方向上的收斂階都是二階的, 與文中的理論結(jié)果相吻合.

5 結(jié)論

對Buegers方程建立了一個三層線性化的差分格式, 并應用離散能量法和數(shù)學歸納法對所建立的差分格式的唯一可解性和在最大模意義下的收斂性給出了嚴格的理論證明, 數(shù)值試驗驗證了理論結(jié)果.

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