岸礁地形對港內(nèi)低頻波浪共振影響的數(shù)值研究

高俊亮，王志瑜，周校軍，嵇春艷，鄭子波

(1.江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，鎮(zhèn)江 212003) (2.中交第一航務(wù)工程勘察設(shè)計(jì)院有限公司，天津 300222) (3.江蘇科技大學(xué) 江蘇省船舶先進(jìn)設(shè)計(jì)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，鎮(zhèn)江 212003) (4.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024) (5.河海大學(xué) 江蘇省海岸海洋資源開發(fā)與環(huán)境安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210098) (6.大連理工大學(xué) 船舶工程學(xué)院，大連 116024)

港灣共振是指當(dāng)近岸海域的低頻波浪傳播到港灣內(nèi),如果其周期和港灣本征周期相一致,那么就會(huì)激起港灣內(nèi)劇烈的水體共振的現(xiàn)象．港灣共振可以誘發(fā)港內(nèi)泊船的劇烈運(yùn)動(dòng),顯著影響系泊安全和貨物裝卸[1]．實(shí)際港口的本征周期大多在幾分鐘至1 h范圍內(nèi)．在自然界中,能夠誘發(fā)顯著的港灣共振的外力有多種．這些外力包括低頻波浪、大氣壓力擾動(dòng)、海嘯波以及近岸滑坡或結(jié)構(gòu)物墜落產(chǎn)生的沖擊波等[2]．然而,對于大部分港口,最常見的外力往往是從外海入射的波群．典型的風(fēng)浪和涌浪總是以波群的形式向前傳播,盡管它們的周期僅為幾秒至十幾秒,但由于波浪非線性,波群會(huì)產(chǎn)生二階鎖相長波,而這些長波往往會(huì)誘發(fā)港內(nèi)長周期的水體共振現(xiàn)象[3]．

文獻(xiàn)[4]中通過對澳大利亞的Two Rocks港進(jìn)行實(shí)地觀測,證實(shí)了Two Rocks港內(nèi)的水體共振現(xiàn)象是由伴隨著入射波群傳播的鎖相長波導(dǎo)致的．他們還通過Boussinesq模型模擬發(fā)現(xiàn):當(dāng)外海波群向岸傳播時(shí),相對于外海低頻波浪的能量,在近岸珊瑚礁系統(tǒng)上的低頻波浪能量大約增大8～10倍,進(jìn)而顯著增大了Two Rocks港內(nèi)水體發(fā)生長周期共振的風(fēng)險(xiǎn)[5]．文獻(xiàn)[6-7]中通過實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬的方法也證實(shí)了近岸珊瑚礁地形能夠顯著增大低頻波浪的能量．

文獻(xiàn)[8]中提出了基于最小二乘法的分離港內(nèi)低頻波浪的方法,并基于此波浪分析技術(shù),研究了在港灣發(fā)生第1共振模態(tài)條件下短波波長的變化對于港內(nèi)鎖相長波和自由長波波幅以及它們的相對成分的影響．隨后,文獻(xiàn)[9]中將此研究拓展到最低的4個(gè)共振模態(tài),并進(jìn)一步研究了入射短波波幅的變化對于它們的影響．然而,文獻(xiàn)[8-9]中均將港外地形假設(shè)為平底,并未考慮近岸地形對于港灣長周期共振的影響．與此不同，文中不再假設(shè)港外地形為平底,而是將近岸珊瑚礁地形考慮在內(nèi)．

文中將系統(tǒng)研究近岸珊瑚礁地形外坡坡度和形狀變化對于港灣共振條件下港內(nèi)自由長波、鎖相長波以及它們相對成分的影響．受到文獻(xiàn)[10]的啟發(fā)，文中將使用斜坡地形、反正切型地形和雙曲余弦型地形等不同形狀地形作為近岸珊瑚礁外坡地形．文中的研究將對我國南海島礁上的港口建設(shè)提供理論指導(dǎo),以期能夠降低這些港口發(fā)生港灣共振的風(fēng)險(xiǎn)．

1 數(shù)值模型和分析技術(shù)

1.1 數(shù)值模型

Boussinesq方程是近些年來被廣泛地應(yīng)用于模擬波浪在近岸的傳播過程的一種數(shù)值模型．它可以精確地模擬波浪的色散性、非線性、淺水變形、破碎和波成流等一系列現(xiàn)象[11]．文中采用FUNWAVE模型[12]來進(jìn)行數(shù)值模型實(shí)驗(yàn)．該模型以文獻(xiàn)[13]中提出的色散性精確到二階的完全非線性Boussineq方程為基礎(chǔ)開發(fā)．

采用笛卡爾坐標(biāo)系,x和y軸位于靜水面,z軸以垂直向上為正,則控制方程表達(dá)式為:

(1)

式中:

M= (h+η)u+(h+η)·

(2)

(3)

V2=[(zα-η)(uα·)(·(huα))+

(4)

uα為zα=-0.531h時(shí)x和y方向的水質(zhì)點(diǎn)速度,η為自由水面．對以上的控制方程采用文獻(xiàn)[14]中提出的有限差分格式進(jìn)行求解,對方程中空間的一階和二階導(dǎo)數(shù)分別采用五點(diǎn)和三點(diǎn)中心差分格式,邊界附近的點(diǎn)采用相應(yīng)的偏心差分格式．控制方程的時(shí)間離散則使用預(yù)估—校正法進(jìn)行處理．預(yù)估步驟采用三階顯式Adams-Bashforth格式,校正步驟采用四階隱式Adams-Moulton格式．為方便邊界的處理,采用域內(nèi)源造波與海綿層結(jié)合的方法．域內(nèi)源造波采用文獻(xiàn)[15]中提出的方法,即在計(jì)算域內(nèi)設(shè)置造波區(qū),產(chǎn)生向造波區(qū)一側(cè)傳播的波浪．海綿層即在固壁邊界前設(shè)置1～2倍波長的人工阻尼區(qū)使波浪衰減．

文獻(xiàn)[16]中采用FUNWAVE模型模擬了文獻(xiàn)[17]中的物理實(shí)驗(yàn),通過將模擬得到的港灣共振條件下1～3倍頻波浪成分沿港內(nèi)中軸線的分布與物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)它們之間吻合很好,表明該數(shù)值模型能夠精確地模擬港灣共振現(xiàn)象．

1.2 分離方法

文中采用文獻(xiàn)[8]中提出的港內(nèi)低頻波浪的分離程序來將港內(nèi)的低頻波浪成分進(jìn)一步分解為低頻鎖相駐波和低頻自由駐波成分．

圖1呈現(xiàn)了港口平面和測點(diǎn)布置情況．港口長度L=50.0 m,寬度W=5.0 m．港池內(nèi)的水深常數(shù)hI=1.0 m．沿著港口中軸線等間距地布置N=21個(gè)測點(diǎn)．相鄰兩個(gè)測點(diǎn)的間距D=2.5 m．測點(diǎn)G01布置在港口底墻處．海岸線和港內(nèi)邊墻均設(shè)置為全反射直墻．笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)(o,x,y,z)的原點(diǎn)取在靜水面,z軸以垂直向上為正．

圖1 實(shí)驗(yàn)布置和測點(diǎn)位置示意圖Fig.1 Definition sketch of the experimental setupand the location of the wave gauges

在港外,由頻率分別為f1和f2的自由短波組成的雙色波群垂直于口門入射．根據(jù)文獻(xiàn)[3]中對雙色波垂直口門入射情況下狹長矩形港內(nèi)波浪的公式描述,港內(nèi)的低頻波浪成分可以表示為:

ηL=ζbcos[(2πΔf)t-αb]cos(Δkx)+

ζfcos[(2πΔf)t-αf]cos(κx)

(5)

式中:

Δf=|f1-f2|

Δk=|k1-k2|

(2πf1)2=gk1tanh(k1hI)

(2πf2)2=gk2tanh(k2hI)

(2πΔf)2=gκtanh(κhI)

式(5)等號(hào)右端第1項(xiàng)為低頻鎖相駐波,第2項(xiàng)為低頻自由駐波．ζb、ζf分別為低頻鎖相駐波和低頻自由駐波的波幅．Δk、κ分別為低頻鎖相駐波和低頻自由駐波的波數(shù)．αb、αf分別為低頻鎖相駐波和低頻自由駐波的初始相位．k1和k2分別為港內(nèi)短波f1和f2成分的波數(shù)．

對式(5)進(jìn)行一系列的三角變換,可以得到港內(nèi)低頻波浪波幅沿著中軸線變化的解析表達(dá)式:

A(x)2=aφ0(x)+bφ1(x)+cφ2(x)

(6)

式中:

(7)

文獻(xiàn)[8-9]中使用已知的解析信號(hào)對該低頻波浪分離程序的精確性進(jìn)行檢驗(yàn),證明了它能夠在不同的共振模態(tài)條件下精確地將港內(nèi)的低頻波浪成分進(jìn)一步分解為鎖相長波和自由長波．

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)布置

使用針對狹長型矩形港口發(fā)生共振的線性解析解[18],可以計(jì)算出文中所用港口的放大因子曲線(圖2)．

圖2 港口的放大因子曲線Fig.2 Amplification factor curve for the rectangle harbor

可見,圖1所示港口的最低5個(gè)模態(tài)的共振頻率分別為0.014、0.043、0.073、0.103和0.133 Hz．文中僅研究雙色波群垂直于港口口門入射并誘發(fā)港內(nèi)產(chǎn)生第1共振模態(tài)的情況．文中所有數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,入射雙色波群中的短波頻率f1和f2均分別設(shè)置為0.250、0.264 Hz,則伴隨波群傳播的鎖相長波的頻率Δf=0.014 Hz,其與港口的第1模態(tài)的共振頻率相一致,因此在雙色波群的作用下港內(nèi)將發(fā)生第1模態(tài)的水體共振[3]．對于入射雙色短波波幅,則考慮3種情況:①a1=a2=0.02 m；②a1=a2=0.05 m；③a1=0.05 m、a2=0.02 m．a(chǎn)1、a2分別為入射f1和f2短波成分的波幅．前兩種情況下,入射雙色波群為完全調(diào)制的,而對于第3種情況,波群為弱調(diào)制的．

圖3為文中所用的數(shù)值波浪水池和港口內(nèi)外地形布置示意圖．?dāng)?shù)值波浪水池尺寸為1 257.8 m×2 084.2 m．港外的珊瑚礁礁坪的長度為50.0 m,礁坪處的水深與港內(nèi)水深相同,均為hI=1.0 m．為了研究珊瑚礁外坡坡度對于港內(nèi)低頻波浪的影響,外坡設(shè)置為常坡度,在100.0 m≤x≤(100.0+b)m范圍內(nèi),水深可解析表達(dá)為:

h(x)=hI+γ(x-100) (常坡度地形)

(8)

外坡寬度b在5.0～100.0 m之間變化．外海的水深常數(shù)h0=5.0 m,則外坡坡度γ在0.04～0.80的范圍內(nèi)變化．根據(jù)線性色散關(guān)系,頻率Δf=0.014 Hz的低頻自由長波在水深h0=5.0 m時(shí)的波長為499.9 m,為了充分吸收向外海輻射的低頻長波,在數(shù)值波浪水池的右邊界和上下邊界分別布置了寬度分別為1 002.8 m和1 000.6 m的海綿層,均略大于低頻自由長波波長的2倍．因?yàn)閳D1所示港口沿中軸線對稱,為了節(jié)省計(jì)算網(wǎng)格和時(shí)間,僅模擬港口和外海的一半?yún)^(qū)域．港內(nèi)等間距布置了N=21個(gè)測點(diǎn)．x方向網(wǎng)格尺寸Δx從港內(nèi)至造波區(qū)均為0.5 m,而在海綿層內(nèi)則從0.5 m逐漸增大到18.7 m;y方向網(wǎng)格尺寸Δy從港內(nèi)的0.5 m逐漸增大至19.9 m．計(jì)算域中包含285 200個(gè)網(wǎng)格數(shù)和286 431個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)．所有的實(shí)驗(yàn)中時(shí)間步長均取為0.025 s．?dāng)?shù)值模型模擬到2 000.0 s,總計(jì)80 000個(gè)時(shí)間步．

圖3 數(shù)值波浪水池示意圖Fig.3 Sketch of the numerical wave basin

圖4 當(dāng)b=50.0 m時(shí)珊瑚礁外坡不同形狀地形比較Fig.4 Comparison of various bottom shapes over the reef slope under the condition of b=50.0 m

為了研究珊瑚礁外坡形狀對港內(nèi)低頻波浪的影響,在珊瑚礁外坡寬度b=50.0 m和100.0 m時(shí),文中還考慮了反正切型地形和雙曲余弦型地形,即在100.0 m≤x≤(100.0+b)m范圍內(nèi),水深可解析表達(dá)為:

h(x)=hI+αatan[β(x-100)] (反正切型地形)

(9)

h(x)=hIcoshκ[μ(x-100)] (雙曲余弦型地形)

(10)

幾何參數(shù)α、β、ν和μ用于決定珊瑚礁外坡的形狀,它們滿足如下關(guān)系:

(11)

(12)

(13)

表1 珊瑚礁外坡形狀參數(shù)Table 1 Geometric parameters of the reef slope inall the numerical experiments

3 結(jié)果和分析

3.1 珊瑚礁外坡坡度對于港內(nèi)低頻波浪的影響

當(dāng)波群傳播到港內(nèi)時(shí),水體將從初始的平靜狀態(tài)逐漸達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)．文中對于港內(nèi)初始反應(yīng)階段的波況不予考慮,僅對達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的港內(nèi)波況進(jìn)行研究[8-9]．對各測點(diǎn)達(dá)到平穩(wěn)的波面時(shí)間序列采用離散序列傅里葉級數(shù)展開的方法提取出差頻成分的波幅,然后使用文中的波浪分離程序?qū)⒉铑l成分進(jìn)一步分解為鎖相駐波和低頻自由駐波成分．圖5為當(dāng)b=50.0 m時(shí)在珊瑚礁外坡形狀分別為α=2.7 m的反正切型、常坡度型和ν=50的雙曲余弦型條件下，由不同波幅雙色波群入射產(chǎn)生的港內(nèi)各測點(diǎn)實(shí)測的差頻成分波幅和采用最小二乘法擬合得到波幅包絡(luò)線．圖中AL表示差頻成分波幅,a=(a1a2)1/2為入射雙色短波的平均波幅．可以看出,對于不同波幅的入射雙色波和不同形狀的珊瑚礁外坡,港內(nèi)實(shí)測的數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合得到的曲線均吻合得很好,這表明使用文中的波浪分離方法計(jì)算得到港內(nèi)低頻自由長波和鎖相長波的結(jié)果是精確可靠的．文中以a1=a2=0.02 m時(shí)的情況為例．當(dāng)珊瑚礁外坡形狀為α=2.7 m的反正切型時(shí)(圖5(a)),分離得到的鎖相駐波波幅ζb=4.61×10-3m,低頻自由駐波波幅ζf=9.99×10-3m,相位差|αb-αf|=97.16°;當(dāng)珊瑚礁外坡形狀為常底坡型時(shí)(圖5(b)),ζb=4.64×10-3m,ζf=9.12×10-3m,|αb-αf|=86.70°; 當(dāng)珊瑚礁外坡形狀為ν=50的雙曲余弦型時(shí)(圖5(c)),ζb=4.75×10-3m,ζf=9.02×10-3m,|αb-αf|=74.09°．文中用振幅比ζb/ζf來定量表示鎖相駐波和低頻自由駐波的相對成分．在以上3組實(shí)驗(yàn)中,振幅比分別為46.12%、50.75%和52.72%．

圖5 當(dāng)b=50.0 m時(shí)港內(nèi)各測點(diǎn)實(shí)測的差頻成分波幅(點(diǎn))和使用最小二乘法擬合得到的波幅包絡(luò)線Fig.5 Subharmonic component amplitudes (dot) in all gauges and their envelope line obtained by usingthe separation procedure under the condition of b=50.0 m

圖6為當(dāng)珊瑚礁外坡為常坡度地形時(shí)港內(nèi)低頻自由駐波波幅ζf和鎖相駐波波幅ζb隨著珊瑚礁外坡坡度系數(shù)(即坡度的倒數(shù))的變化．由圖可知,對于文中所考慮的3種入射波波幅,珊瑚礁外坡坡度的變化對于港內(nèi)低頻自由駐波成分的影響較大．具體來說,港內(nèi)低頻自由駐波的波幅隨著珊瑚礁外坡坡度的增大而增大,而港內(nèi)鎖相駐波成分則對珊瑚礁外坡坡度的變化并不敏感．在文中所研究的外坡坡度變化范圍內(nèi),港內(nèi)鎖相駐波波幅僅隨著外坡坡度的增大略有減小．同時(shí),由于低頻自由長波在港內(nèi)被共振放大,其波幅始終顯著大于港內(nèi)鎖相長波的波幅,這與文獻(xiàn)[8-9]中的發(fā)現(xiàn)相一致．圖7為在不同入射波波幅條件下振幅比ζb/ζf隨著外海珊瑚礁外坡坡度系數(shù)的變化．可以發(fā)現(xiàn),無論入射雙色短波波幅的大小以及雙色波群是否為完全調(diào)制的,振幅比ζb/ζf均隨著外坡坡度系數(shù)的減小(即珊瑚礁外坡坡度的增大)而減?。硗?還可以發(fā)現(xiàn)隨著入射短波波幅的增大,振幅比ζb/ζf略有減?。畬τ谌肷洳úǚ鵤1=a2=0.02 m的情況,ζb/ζf在44.39%～55.29%;當(dāng)a1=0.05 m、a2=0.02 m時(shí),ζb/ζf則在38.25%～53.17%;當(dāng)a1=a2=0.05 m時(shí),ζb/ζf則在33.37%～48.52%．

圖6 港內(nèi)低頻自由駐波和鎖相駐波波幅隨著珊瑚礁外坡坡度系數(shù)的變化Fig.6 Variations of amplitudes of bound and free longstanding waves with the slope coefficient of thereef slope

3.2 珊瑚礁外坡形狀對于港內(nèi)低頻波浪的影響

圖7 振幅比ζb/ζf隨著珊瑚礁外坡坡度系數(shù)的變化Fig.7 Variations of the amplitude ratios, ζb/ζf, with the slope coefficient of the reef slope

圖8 當(dāng)b=50.0 m時(shí),港內(nèi)低頻自由駐波和鎖相駐波波幅隨著珊瑚礁外坡平均水深的變化Fig.8 Variations of amplitudes of bound and free longstanding waves with the mean water depth overthe reef slope, under the condition of b=50.0 m

圖9 當(dāng)b=50.0 m時(shí),振幅比ζb/ζf隨著珊瑚礁外坡平均水深的變化Fig.9 Variations of the amplitude ratios, ζb/ζf,withthe mean water depth over the reef under the condition of b=50.0 m

圖10 當(dāng)b=100.0 m時(shí),港內(nèi)低頻自由駐波和鎖相駐波波幅隨著珊瑚礁外坡平均水深的變化Fig.10 Variations of amplitudes of bound and free longstanding waves with the mean water depth overthe reef under the condition of b= 100.0 m

圖11 當(dāng)b=100.0 m時(shí),振幅比ζb/ζf隨著珊瑚礁外坡平均水深的變化Fig.11 Variations of the amplitude ratios, ζb/ζf, with the mean water depth over the reef under the condition of b=100.0 m

4 結(jié)論

使用FUNWAVE模型模擬了由雙色波群誘發(fā)的狹長矩形港內(nèi)的二階長波共振現(xiàn)象．文中考慮了近岸珊瑚礁地形對于港灣共振的影響．采用一個(gè)基于最小二乘法的分離港內(nèi)低頻波浪的方法,對港口發(fā)生第一共振模態(tài)時(shí)，港內(nèi)鎖相長波和自由長波成分及其它們的相對成分隨著珊瑚礁外坡坡度和形狀變化進(jìn)行了系統(tǒng)研究,并得到以下結(jié)論:

(1) 對于文中所研究的特定港口和珊瑚礁外坡坡度的變化范圍,港內(nèi)自由長波的波幅隨著珊瑚礁外坡坡度的增大而增大,而港內(nèi)鎖相駐波成分則對珊瑚礁外坡坡度的變化并不敏感．前者由于在港內(nèi)被共振放大,其波幅始終要顯著大于后者的波幅．振幅比ζb/ζf隨著珊瑚礁外坡坡度的增大而減?。?/p>

(2) 珊瑚礁外坡形狀對港內(nèi)自由長波和鎖相長波的影響有所不同．對于港內(nèi)自由長波,珊瑚礁外坡形狀對它的影響還與珊瑚礁外坡寬度有關(guān)．當(dāng)b=50.0 m時(shí),港內(nèi)自由長波波幅隨著珊瑚礁外坡平均水深的增大而增大;而當(dāng)b=100.0 m時(shí),港內(nèi)自由長波波幅隨著珊瑚礁外坡平均水深的增大出現(xiàn)了先減小后增大的變化趨勢．對于港內(nèi)鎖相長波,當(dāng)b=50.0、100.0 m時(shí),它均隨著珊瑚礁外坡平均水深的增大而逐漸減?。?/p>

以上結(jié)論僅針對文中所使用的特定港口、珊瑚礁外坡坡度和形狀變化范圍．

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