中考題中的統(tǒng)計(jì)與概率

沈良琴

統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)在中考的選擇、填空、解答題中都會(huì)經(jīng)常出現(xiàn).結(jié)合條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖，利用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差等對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從而得出相應(yīng)的結(jié)論；利用樹狀圖或列表的方法計(jì)算一些簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率常以解答題形式出現(xiàn).一般統(tǒng)計(jì)與概率在中考試題中占總分值的12%～15%.下面通過(guò)一些實(shí)例加以說(shuō)明：

一、數(shù)據(jù)的收集、整理、分析

例1（2017·懷化）下列說(shuō)法中，正確的是（ ）.

A.要了解某大洋的海水污染情況，宜采用全面調(diào)查方式；

B.如果有一組數(shù)據(jù)為5，3，6，4，2，那么它的中位數(shù)是6；

C.為了解懷化市6月15日到19日的氣溫變化情況，應(yīng)制作折線統(tǒng)計(jì)圖；

D.“打開電視，正在播放懷化新聞節(jié)目”是必然事件.

【分析】本題考查了數(shù)據(jù)的收集與整理、數(shù)據(jù)的分析.解題關(guān)鍵是掌握全面調(diào)查和抽查的不同情況，掌握中位數(shù)的確定方法，知道什么情況下使用折線統(tǒng)計(jì)圖以及必然事件的概念.

【解答】選項(xiàng)A中某大洋中的海水面積非常廣闊，并且量特別大，因此不能采用全面調(diào)查，而應(yīng)該抽樣調(diào)查；選項(xiàng)B中將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為2，3，4，5，6，所以中位數(shù)是4；選項(xiàng)C中要反映溫度變化情況，最合適的統(tǒng)計(jì)圖是折線統(tǒng)計(jì)圖；選項(xiàng)D中隨機(jī)打開電視可能是懷化新聞節(jié)目，也可能是其他節(jié)目，所以“打開電視，正在播放懷化新聞節(jié)目”不是必然事件.故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題易錯(cuò)點(diǎn)是在找中位數(shù)的時(shí)候，沒(méi)有把所有數(shù)據(jù)按照一定順序排列，就去找位于中間的數(shù).

【變式練習(xí)1】（2017·烏魯木齊）下列說(shuō)法中，正確的是（ ）.

A.“經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈”是必然事件

B.已知某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率是0.6，則他投10次一定可投中6次

C.處于中間位置的數(shù)一定是中位數(shù)

D.方差越大數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，方差越小數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小

【答案】D.

二、三數(shù)兩差

例2（2017·棗莊）下表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運(yùn)動(dòng)員最近幾次選拔賽成績(jī)的平均數(shù)與方差：________________________

180 8.1_________________甲乙_____丙_____丁__平均數(shù)（mm）__方差_______185___3.6____180____3.6____185 7.4

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績(jī)好且發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員參加比賽，應(yīng)該選擇（ ）.

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

【分析】首先比較平均數(shù)，平均數(shù)相同時(shí)選擇方差較小的運(yùn)動(dòng)員參加.

【解答】∵甲、丙的平均數(shù)大于乙、丁的平均數(shù)，又∵甲的方差小于丙的方差，∴甲的成績(jī)更穩(wěn)定，應(yīng)選擇甲參賽.故選A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平均數(shù)和方差，正確理解方差與平均數(shù)的意義是解題關(guān)鍵.

【變式練習(xí)2】（2017·青島）小明家1至6月份的用水量統(tǒng)計(jì)如圖所示，關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）.

【答案】C.

三、統(tǒng)計(jì)圖表

例3（2017·大連）某校為了了解全校學(xué)生對(duì)新聞、體育、動(dòng)畫、娛樂(lè)、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛情況，隨機(jī)選取該校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，要求每名學(xué)生從中只選一類最喜愛的電視節(jié)目.以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖表的一部分.________________________________

____類別__節(jié)目類型____人數(shù)A____B____C____D____E__新聞__12體育__30動(dòng)畫_m娛樂(lè)__54____戲曲9__

根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：

（1）被調(diào)查的學(xué)生中，最喜愛體育節(jié)目的有_______人，這些學(xué)生數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為_______%；

（2）被調(diào)查學(xué)生的總數(shù)為_______人，統(tǒng)計(jì)表中m的值為________，統(tǒng)計(jì)圖中n的值為_______；

（3）在統(tǒng)計(jì)圖中，E類所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為_______°；

（4）該校共有2000名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校最喜愛新聞節(jié)目的學(xué)生數(shù).

【分析】（1）直接通過(guò)表格讀取最喜愛體育節(jié)目的人數(shù)，通過(guò)扇形統(tǒng)計(jì)圖讀取喜愛體育的人數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比；（2）通過(guò)喜愛體育的人數(shù)和占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比求出被調(diào)查學(xué)生的總數(shù)，用總數(shù)減去A、B、D、E項(xiàng)目的人數(shù)求出m值，用D項(xiàng)目的人數(shù)除以被調(diào)查學(xué)生的總數(shù)即可得到n的值；（3）求出E類學(xué)生數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比，用這個(gè)百分比乘360°即可；（4）求出喜愛新聞節(jié)目的人數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比，進(jìn)而乘該?？?cè)藬?shù)求得結(jié)果.

【解答】（1）30，20；（2）150，45，36；（3）21.6；（4）解：，答：估計(jì)該校最喜愛新聞節(jié)目的學(xué)生數(shù)是160人.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖給出的信息求出被抽查的總?cè)藬?shù).

【變式練習(xí)3】（2017·泰州）“泰微課”是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的平臺(tái).某初級(jí)中學(xué)共有1200名學(xué)生，每人每周學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)泰微課都在6至30個(gè)之間（含6和30）.為進(jìn)一步了解該校學(xué)生每周學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)泰微課的情況，從三個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的相關(guān)學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)，并整理、繪制成統(tǒng)計(jì)圖如下：

每周學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)泰微課人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖

每周學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)泰微課人數(shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息完成下列問(wèn)題：

（1）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）估計(jì)該校全體學(xué)生中每周學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)泰微課在16至30個(gè)之間（含16和30）的人數(shù).

【答案】（1）a%=1-10%-10%-20%-40%=20%，6÷10%×20%=12（人）.

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

每周學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)泰微課人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖

（2）解：1200×（20%+40%+20%）=960（人）.

答：該校全體學(xué)生中每周學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)泰微課在16至30個(gè)之間的約有960人.

四、概率

例4（2017·連云港）為落實(shí)“垃圾分類”，環(huán)衛(wèi)部門要求垃圾要按A，B，C三類分別裝袋，投放，其中A類指廢電池，過(guò)期藥品等有毒垃圾，B類指剩余食品等廚余垃圾，C類指塑料，廢紙等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了兩袋垃圾，這兩袋垃圾不同類.

（1）直接寫出甲投放的垃圾恰好是A類的概率；

（2）求乙投放的垃圾恰有一袋與甲投放的垃圾是同類的概率.

【分析】（1）所有等可能的結(jié)果有三個(gè)，即：A類、B類、C類，A類只有一種，根據(jù)概率公式即可求出概率；（2）列出樹狀圖，先求出所有等可能的結(jié)果，再找出符合條件的可能數(shù)，然后根據(jù)概率公式求出概率.

【解析】（1）甲投放的垃圾恰好是A類的概率是

（2）列出樹狀圖如圖所示：

由圖可知，共有18種等可能結(jié)果，其中乙投放的垃圾恰有一袋與甲投放的垃圾是同類的結(jié)果有12種.

所以，P（乙投放的垃圾恰有一袋與甲投放的垃圾是同類）

即乙投放的垃圾恰有一袋與甲投放的垃圾是同類的概率是

【點(diǎn)評(píng)】一步試驗(yàn)概率直接根據(jù)計(jì)算；兩步試驗(yàn)概率可以用樹狀圖來(lái)解答，也可以用列表法來(lái)解答；三步或三步以上試驗(yàn)概率只能用樹狀圖來(lái)解答.另外要注意是放回事件還是不放回事件，列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果.

【變式練習(xí)4】（2017·南京）全面兩孩政策實(shí)施后，甲、乙兩個(gè)家庭有了各自的規(guī)劃.假定生男生女的概率相同，回答下列問(wèn)題：

（1）甲家庭已有一個(gè)男孩，準(zhǔn)備再生一個(gè)孩子，則這個(gè)孩子是女孩的概率是_______；

（2）乙家庭沒(méi)有孩子，準(zhǔn)備生兩個(gè)孩子，求至少一個(gè)女孩的概率.

【答案】（1）.（2）乙家庭沒(méi)有孩子，準(zhǔn)備生兩個(gè)孩子，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女），共有4種，它們出現(xiàn)的可能性相同.所有的結(jié)果中，滿足“至少有一個(gè)孩子是女孩”（記為事件A）的結(jié)果有3種，∴