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    運(yùn)用手持計(jì)算器對(duì)函數(shù)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的探索

    2018-05-21 12:08:58劉紅衛(wèi)程海波劉伯賢雷丹夏遠(yuǎn)景
    求知導(dǎo)刊 2018年1期
    關(guān)鍵詞:中心對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)

    劉紅衛(wèi) 程海波 劉伯賢 雷丹 夏遠(yuǎn)景

    摘 要:函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線,是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是競(jìng)賽和高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn),函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題是函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要方面,也是歷年高考熱點(diǎn)問(wèn)題之一,函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性包括圖像關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)和關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的兩類(lèi)問(wèn)題,函數(shù)圖像對(duì)稱(chēng)問(wèn)題還分為一個(gè)函數(shù)圖像的自對(duì)稱(chēng)問(wèn)題和兩個(gè)函數(shù)圖像的互對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。圖形計(jì)算器一般是指一種可以繪制函數(shù)圖像、解高次方程或多元方程組以及能執(zhí)行其他復(fù)雜操作的手持計(jì)算器,大多數(shù)圖形計(jì)算器還能編寫(xiě)數(shù)學(xué)類(lèi)程序。有人指出:“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該使用科技來(lái)幫助所有學(xué)生理解數(shù)學(xué),并為在越來(lái)越科技化的社會(huì)中應(yīng)用數(shù)學(xué)做好準(zhǔn)備?!蓖瑫r(shí)也要求培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力,提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。文章針對(duì)這些問(wèn)題給出一般結(jié)論,并分別加以理論證明和手持計(jì)算器中的直觀呈現(xiàn),體現(xiàn)了手持計(jì)算器在數(shù)學(xué)教學(xué)下的作用和優(yōu)勢(shì),以及它在教學(xué)中的應(yīng)用,希望能給廣大教師一定的教學(xué)啟發(fā)。

    關(guān)鍵詞:圖形計(jì)算器;自對(duì)稱(chēng);互對(duì)稱(chēng);軸對(duì)稱(chēng);中心對(duì)稱(chēng)

    中圖分類(lèi)號(hào):G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A收稿日期:2017-12-08

    首先我們看看高考題或高考模擬題:

    1.【2011年新課標(biāo)卷文12】函數(shù)y=—的圖像與函數(shù)y=2sinπx(-2≤x≤4)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于

    (A)2 (B)4

    (C)6 (D)8

    解析:圖像法求解。y=—的對(duì)稱(chēng)中心是(1,0),也是y=2sinπx(-2≤x≤4)的中心,-2≤x≤4,它們的圖像在x=1的左側(cè)有4個(gè)交點(diǎn),則x=1右側(cè)必有4個(gè)交點(diǎn)。不妨把它們的橫坐標(biāo)由小到大設(shè)為x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,則x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2,所以選D。

    考點(diǎn):①函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性;②數(shù)形結(jié)合思想。

    2.【2014高考全國(guó)2卷文第15題】偶函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng),f(3)=3,則f(-1)=______.

    解析:因?yàn)閥=f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng),故,f(3)=f(1)=3,又因?yàn)閥=f(x)是偶函數(shù),所以f(-1)=f(1)=3,故答案為3。

    考點(diǎn):①函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性;②函數(shù)周期性。

    函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、周期性、奇偶性是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,而且多以選擇題、填空題綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)同時(shí)考查,分值5分,高中學(xué)生必須理解。下面我小結(jié)了函數(shù)對(duì)稱(chēng)的幾個(gè)性質(zhì),首先從理論上證明,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力,同時(shí)用手持計(jì)算器探索、演示,可培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)生成的直觀感受,讓學(xué)生有身臨其境的感覺(jué),這是手持計(jì)算器獨(dú)到的好處,也是本文的亮點(diǎn)。

    一、同一個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)(自對(duì)稱(chēng))

    結(jié)論1:設(shè)a,b均為常數(shù),函數(shù) y=f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿(mǎn)足f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=—對(duì)稱(chēng)。

    證明:在函數(shù)f(x)上任取一點(diǎn)P(x1,y1),即y1=f(x1),則點(diǎn)P關(guān)于直線x=—的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q(a+b-x1,y1),

    ∵f(a+x)=f(b-x),

    ∴f(a+b-x1)=f(a+(b-x1))=f(b-(b-x1))=f(x1)

    ∴y1=f(a+b-x1)

    ∴點(diǎn)Q(a+b-x1,y1)也是函數(shù)y= f(x)上的點(diǎn)。

    ∴命題得證。

    下面用手持計(jì)算器直觀呈現(xiàn)(改變a,b的值)。

    (1)我們先將公式變形,將f(a+x)=f(b-x)轉(zhuǎn)換為f(—+t)=f(—-t)

    a+x→ —+—+x

    b-x→ —-—-x

    另t=—+x

    a+x→ —+t

    a+x→ —-t

    (2)做出a,b的值,選擇命令→繪圖→滑動(dòng)條,取最小值為-10,最大值為10,值和步長(zhǎng)都為1,選擇動(dòng)畫(huà)為無(wú)動(dòng)畫(huà)(如圖1)。

    同樣的方法作出b的值。

    (3)作出t的值,也是以滑動(dòng)條的方式做出t的值,將t的值設(shè)置為來(lái)回或循環(huán)。

    (4)因?yàn)楹瘮?shù)的定義為:設(shè)在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y,如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)y是x的函數(shù),x叫做自變量。所以任意一—+t都有一個(gè)y值與之對(duì)應(yīng),但y值是唯一確定的值。

    (5)進(jìn)入symb視圖,選擇命令→點(diǎn)→點(diǎn),輸入point(—+t,t2)。這時(shí)出現(xiàn)的是一個(gè)移動(dòng)的點(diǎn)。點(diǎn)擊屏幕,選擇選項(xiàng)將動(dòng)畫(huà)前面的鉤取消掉。點(diǎn)擊點(diǎn),選擇選項(xiàng),勾選矩陣跡。點(diǎn)的縱坐標(biāo)t2不唯一,不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系產(chǎn)生不同的y值,隨著t值的變化,點(diǎn)的位置也會(huì)變化,形成的就是某種對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)圖像(如圖2)。

    (6)根據(jù)步驟五作出point(—-t,t2),勾選矩陣跡,點(diǎn)擊屏幕,勾選動(dòng)畫(huà),作出函數(shù)圖像。函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=—對(duì)稱(chēng)(如圖3)。

    (7)我們可以改變a,b的值,作出函數(shù)的圖像。點(diǎn)擊屏幕,取消動(dòng)畫(huà)。改變a,b的值,點(diǎn)擊點(diǎn),選擇清除矩陣跡,勾選動(dòng)畫(huà)(如圖4)。

    (8)重復(fù)步驟7,改變函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,將t2改成3-t(如圖5)。

    結(jié)論成立。

    推論1:在直角坐標(biāo)系中,滿(mǎn)足f(a+x)=f(a-x)的函數(shù)y= f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)(其中a為常數(shù))(特例:當(dāng)a=0時(shí),若y= f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則y= f(x)為偶函數(shù))。

    推論2:在直角坐標(biāo)系中,滿(mǎn)足f(a-x)=f(x-a)的函數(shù)y= f(x)的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)。

    二、兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)(互對(duì)稱(chēng))

    結(jié)論2:在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y1=f(a+x)與函數(shù)y2=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x=—對(duì)稱(chēng)(其中a,b均為常數(shù))。

    證明:

    方法一:已知y1,求出y1關(guān)于直線x=—對(duì)稱(chēng)的函數(shù)y3,若y3=y2則證明完畢。

    在函數(shù)y3上任取一點(diǎn)P(x0,y0),即y0=f(a+x0),則點(diǎn)P關(guān)于直線x=—的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q(b-a-x0,y0),則點(diǎn)Q必在函數(shù)y1的圖像上。

    ∴y0=f(a+(b-a-x0))=f(b-x0),即點(diǎn)(x0,y0)在y2=f(b-x)的圖像上。

    ∴函數(shù)y3=y2,命題得證。

    方法二:函數(shù)y1=f(a+x)的圖像可以看成是函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移a個(gè)單位所得,現(xiàn)在函數(shù)y=f(x)圖像上任取一點(diǎn)P(x1,y1),則點(diǎn)P1(x1-a,y1)在函數(shù)y1=f(a+x)的圖像上;函數(shù)y2=f(b-x)的圖像可以看成是函數(shù)y=f(x)的圖像先關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)得y=f(-x)的圖像,再向右平移b個(gè)單位得y2=f(-(x-b)),即得函數(shù)y2=f(b-x)的圖像,則點(diǎn)P2(b-x1,y1)在函數(shù)y2=f(b-x)的圖像上,又因?yàn)辄c(diǎn)P1(x1-a,y1)和點(diǎn)P2(b-x1,y1)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),所以?xún)珊瘮?shù)圖像關(guān)于直線x=—對(duì)稱(chēng)。命題得證。

    下面用手持計(jì)算器直觀呈現(xiàn)(改變a,b的值)。

    (1)打開(kāi)幾何學(xué)應(yīng)用程序,我們先做出一個(gè)函數(shù),點(diǎn)擊命令→選擇繪圖→函數(shù),繪制任一函數(shù),為之后不對(duì)結(jié)論產(chǎn)生誤導(dǎo),在這里最好繪制奇函數(shù)而非偶函數(shù)。我們可以嘗試?yán)L制函數(shù)y=x3(如圖6)。

    (2)已經(jīng)作出函數(shù)y1=f(x)的圖像,現(xiàn)在作出函數(shù)y1=f(a+x)的圖像。先做出a值,在plot視圖選擇命令→繪圖→滑動(dòng)條,取最小值-10、最大值10、初始值為1、步長(zhǎng)為1,其他不變(在這里取值是為了取到正數(shù)、0、負(fù)數(shù),證明a為常數(shù)時(shí)結(jié)論滿(mǎn)足)。在符號(hào)視圖將GB改成a(如圖7)。

    現(xiàn)在我們能在plot視圖看到a的值,我們將鼠標(biāo)長(zhǎng)按在a值上會(huì)出現(xiàn)滑動(dòng)塊,移動(dòng)滑動(dòng)塊可以改變a的值(如圖8)。

    (3)使用同樣的步驟作出b值。

    (4)在symb視圖做出y1=f(a+x),進(jìn)入symb視圖,選擇命令→繪圖→函數(shù),plotfunc(a+x)3。為區(qū)分原函數(shù)和函數(shù)y1,改變函數(shù)y1的顏色(如圖9、圖10)。

    (5)同樣的方式作出y2=f(b-x)的函數(shù)圖像(如圖11、圖12)。

    (6)作出函數(shù)y1和y2的函數(shù)后,原函數(shù)不需要了,可以選中原函數(shù)的圖像將函數(shù)圖像隱藏。此時(shí),我們能直觀地看出兩個(gè)函數(shù)圖像是對(duì)稱(chēng)的,但函數(shù)圖像是否對(duì)稱(chēng)還需要我們進(jìn)行證明。

    (7)在y1上面取一點(diǎn),做直線x=—,以直線為對(duì)稱(chēng)軸做出點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),如果對(duì)稱(chēng)點(diǎn)再函數(shù)y2上,則兩函數(shù)對(duì)稱(chēng)。

    (8)進(jìn)入plot視圖,選擇命令→點(diǎn)→上面的點(diǎn)。進(jìn)入symb視圖,選擇命令→線→直線line(x=—)。做出對(duì)稱(chēng)點(diǎn),選擇命令→變換→反射(如圖13)。

    (9)驗(yàn)證點(diǎn)G是否在函數(shù)圖像上,選擇命令→檢驗(yàn)→對(duì)象上。檢驗(yàn)結(jié)果為1,表示點(diǎn)在直線上。長(zhǎng)按在點(diǎn)B上,進(jìn)入編輯界面,將無(wú)動(dòng)畫(huà)改為來(lái)回或循環(huán),發(fā)現(xiàn)檢驗(yàn)結(jié)果一直為1(如圖14)。

    (10)也可以將點(diǎn)B和點(diǎn)G的坐標(biāo)表示出來(lái),選擇命令→笛卡爾→坐標(biāo)。同時(shí)也可以改變a,b的值,發(fā)現(xiàn)結(jié)論同樣正確(如圖15)。

    推論1:在直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y1=f(a+x)與函數(shù)y2=f(a-x)的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)(特例:當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)y1=f(x)與函數(shù)y2=f(-x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng))。

    推論2:在直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y1=f(a-x)與函數(shù)y2=f(x-a)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)(其中a為常數(shù))。

    三、同一個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)

    結(jié)論3:設(shè)a,b均為常數(shù),函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿(mǎn)足f(a+x)+f(a-x)=2b,則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱(chēng)圖形。

    證明:

    方法一:∵f(a+x)+f(a-x)=2b

    ∴[f(a+x)-b]+[f(a-x)-b]=0

    令F(x)=f(a+x)-b,(x∈R)

    ∴F(x)+F(-x)=0,即F(x)為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)。

    ∴y=f(a+x),(x∈R)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,b)對(duì)稱(chēng)

    ∴y=f(x),(x∈R)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱(chēng),證明完畢。

    ∴命題得證。

    方法二:∨P(x0,y0)∈y=f(x)圖像上,從而有y0=f(x0),

    則可得P(x0,y0)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q(2a-x0,2b-y0)。

    下面證明點(diǎn)Q在y=f(x)上,即證2b-y0=f(2a-x0),

    需證f(2a-x0)+f(x0)<=>f(a+(a-x0))+f(a-(a-x0))=2b。

    這里顯然成立(只需令x=a-x0即可)

    由于P點(diǎn)的任意性可知y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng)。證明完畢。

    下面用手持計(jì)算器直觀呈現(xiàn)(改變a,b的值)。

    (1)本結(jié)論為結(jié)論1的引申,我們?cè)诮Y(jié)論1的方法上證明。使f(a+x)的值為b+x,f(a-x)的值為b-x。將結(jié)論一的point(—+GC,GC2)改為point(GA+GC,GB+GC2),point(—-GC,GC2)改為(GA-GC,GB-GC2)(如圖16)。

    得出函數(shù)圖像(如圖17):

    (2)函數(shù)圖像作出來(lái)之后,點(diǎn)擊選項(xiàng),取消動(dòng)畫(huà)。連接兩點(diǎn)做一條線段,取中點(diǎn),選擇命令→線→線段→選擇點(diǎn)G和點(diǎn)E,再選擇命令→點(diǎn)→中點(diǎn)→選擇點(diǎn)G和點(diǎn)E。勾選動(dòng)畫(huà)(如圖18)。

    點(diǎn)G點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)H對(duì)稱(chēng),點(diǎn)H位置不變,所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)H(a,b)成中心對(duì)稱(chēng)圖形。

    推論:設(shè)a,b,c均為常數(shù),函數(shù)y=f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿(mǎn)足f(a+x)+f(b-x)=2c,則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(—,c)成中心對(duì)稱(chēng)圖形(特例:當(dāng)a=b=c=0時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)(0,0)中心對(duì)稱(chēng))。

    四、兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)

    結(jié)論4:設(shè)a,b,c均為常數(shù),則函數(shù)y1=f(a+x)與y2=c-f(b-x)關(guān)于點(diǎn)(—,—)成中心對(duì)稱(chēng)圖形。

    證明:

    方法一:已知y1,求出y1關(guān)于點(diǎn)(—,—)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)y3,若y3=y2,則證明完畢。

    在函數(shù)y3上任取一點(diǎn)P(x0,y0),即y0=f(a+x0),則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)(—,—)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q(b-a-x0,c-y0),則點(diǎn)Q必在函數(shù)y1的圖像上。

    ∴c-y0=f(b-a-x0)=f(b-x0),

    ∴y0=c-f(b-x),即點(diǎn)(x0,y0)在y2=c-f(b-x)的圖像上。

    ∴函數(shù)y3=y2,命題得證。

    方法二:函數(shù)y1=f(a+x)的圖像可以看成是函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移a個(gè)單位所得,現(xiàn)在函數(shù)y=f(x)圖像上任取一點(diǎn)P(x1,y1),則點(diǎn)P1(x1-a,y1)在函數(shù)y1=f(a+x)的圖像上;函數(shù)y2=c-f(b-x)的圖像可以看成是函數(shù)y=f(x)的圖像先關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)得y=f(-x)的圖像,再向右平移b個(gè)單位得y=f(-(x-b)),再將所得函數(shù)圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)得y=-f(b-x),最后將所得圖像向上平移c個(gè)單位,即得函數(shù)y2=c-f(b-x)的圖像,根據(jù)函數(shù)圖像變換可知,點(diǎn)P(x1,y1)經(jīng)過(guò)y2=c-f(b-x)的相應(yīng)變換得點(diǎn)P2(b-x1,c-y1),又因?yàn)辄c(diǎn)P1(x1-a,y1)和點(diǎn)P2(b-x1,c-y1)關(guān)于點(diǎn)(—,—)對(duì)稱(chēng),由于點(diǎn)P(x1,y1)是任取的,所以?xún)珊瘮?shù)圖像關(guān)于關(guān)于點(diǎn)(—,—)對(duì)稱(chēng)。命題得證。

    下面用手持計(jì)算器直觀呈現(xiàn)(改變a,b的值)。

    我們?cè)诮Y(jié)論2的基礎(chǔ)上探索結(jié)論4,我們已經(jīng)知道函數(shù)y1=f(a+x)的圖像可以看成是函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移a個(gè)單位所得。我們探索一下y2=c-f(b-x)的函數(shù)圖像的性質(zhì)。

    (1)我們做出函數(shù)y=x的圖像,再做出y=-x和y=6-x的函數(shù)圖像。選擇命令→繪圖→函數(shù)(如圖19)。

    函數(shù)圖像(如圖20):

    我們可以發(fā)現(xiàn)y=6-x相當(dāng)于函數(shù)y=x沿y軸對(duì)稱(chēng)再上移6個(gè)單位。

    (2)我們作出原函數(shù)y=x2的圖像。創(chuàng)建a、b值,作出y=(a+x)2和y= (b-x)2的圖像(如圖21)。

    函數(shù)圖像(如圖22):

    兩函數(shù)圖像關(guān)于x=—對(duì)稱(chēng)。

    (3)創(chuàng)建c值,plot視圖,選擇命令→繪圖→滑動(dòng)條,最小值到最大值任取,步長(zhǎng)為1。作出函數(shù)y=c-(b-x)2的圖像(如圖23)。

    隱藏原函數(shù)和函數(shù)y=(b-x)2。選擇函數(shù)圖像,選擇選項(xiàng)→隱藏(如圖24)。

    (4)在y=(a+x)2作上面的點(diǎn),選擇命令→點(diǎn)→上面的點(diǎn)。做出點(diǎn)(—,—),再上面的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(—,—)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(如圖25)。選擇命令→變換→反射。

    (5)檢驗(yàn)點(diǎn)H在否在函數(shù)上,現(xiàn)在命令→檢驗(yàn)→對(duì)象上(如圖26)。

    移動(dòng)函數(shù)上的點(diǎn),檢驗(yàn)結(jié)果為1,證明結(jié)論正確。

    (6)我們可以改變函數(shù)檢驗(yàn)結(jié)論是否正確,將函數(shù)改為x3(如圖27)。

    結(jié)論正確。

    參考文獻(xiàn):

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