強相互作用一維冷原子氣體有效自旋鏈模型中密度分布的研究

馮志強,張云波

(山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

一維量子氣體大多是在光晶格里面制備的,例如:伊辛模型的仿真是在傾斜的晶格[1-2]中實現(xiàn)的,經(jīng)典反鐵磁性的研究是在三角晶格[3]中完成的,在極化的晶格氣體[4-5]中可觀測由自旋交換相互作用誘導(dǎo)而產(chǎn)生的偶極相互作用,短程反鐵磁性是在二聚物晶格[6]中研究的。光晶格中的超冷原子氣體為我們展示了豐富多彩的量子磁性,是凝聚態(tài)物理[7]研究的一個非常重要的領(lǐng)域。由于在光晶格中研究一維系統(tǒng)的局限性導(dǎo)致一些量子現(xiàn)象的缺失,例如:雖然短程反鐵磁性在二聚物晶格[8]中已經(jīng)被證實了,但由于經(jīng)典光晶格實驗具有很低的熵,導(dǎo)致實驗上至今沒有觀測到光晶格中兩組分費米氣體的奈爾長程序。2014年德國漢諾威大學(xué)Deuretzbacher等[9]在理論上研究了諧振子勢阱中強相互作用的一維旋量氣體的量子磁性問題,同時提出了在諧振子勢阱中冷原子系統(tǒng)實現(xiàn)有效自旋鏈的理論依據(jù)。同一時期Cui[10]也研究了在諧振子勢阱中自旋軌道耦合對強相互作用的一維費米氣體的影響。2015年德國Heidelberg大學(xué)Jochim小組[11]利用簡諧勢阱中囚禁的6Li原子在散射共振附近實現(xiàn)了反鐵磁海森堡自旋鏈的精確制備,在無須外加光晶格的情況下對少數(shù)幾個粒子的精確操控使得有效自旋鏈模型變?yōu)榭赡?。這也為我們在冷原子中研究一維量子磁性開辟了另一條道路。

本文首先計算了在諧振子勢阱和無限深方勢阱中系統(tǒng)的能級排布和空間密度分布,然后利用有效自旋鏈模型計算了由不同粒子數(shù)構(gòu)成的費米系統(tǒng)處于基態(tài)時各組分的自旋密度分布。最后通過在哈密頓量中引入一項與位置有關(guān)的磁場梯度,研究了磁場梯度對兩組分的費米系統(tǒng)處于基態(tài)和激發(fā)態(tài)時自旋密度分布的影響。

1 有效自旋鏈模型

我們首先考慮一個由N個粒子(費米子或玻色子)組成的系統(tǒng),這些粒子被外勢所束縛(通常為諧振子勢),粒子之間的相互作用通?？梢缘刃С山佑|贗勢(即δ相互作用),它可以通過實驗測量并可利用費什巴赫共振(Feshbach Resonance)[12]來調(diào)節(jié)。其系統(tǒng)哈密頓量為:

(1)

其中M是粒子質(zhì)量,g是粒子間相互作用強度,在散射共振附近即粒子間相互作用g很大但是有限值時,哈密頓量(1)可以約化為一個有效自旋鏈模型[9,13-14]:

(2)

(3)

是相鄰粒子之間的交換常數(shù),θ(x1,…,xN)是階躍函數(shù),如果x1≤x2≤…≤xN那么θ(x1,…,xN)=1,否則等于0,我們將粒子從左到右依次標記。由于諧振子勢阱的空間對稱性,Ji=JN-i。ψF[15]表示由N個無相互作用費米子系統(tǒng)空間基態(tài)波函數(shù),即Slater行列式。

現(xiàn)在我們利用有效自旋鏈模型計算一個由4個自旋1/2的費米子組成的系統(tǒng)的能級分布,這里我們用{N↑;N↓}表示N↑個自旋向上的粒子數(shù)和N↓個自旋向下的粒子數(shù),系統(tǒng)總的粒子數(shù)滿足N=N↑+N↓。對于{2;2}系統(tǒng),在一維諧振子勢阱中J1=J3≠J2,利用公式(3)計算得到J2/J1=1.312 62.通過求解該系統(tǒng)對應(yīng)的薛定諤方程,可以得到其能譜:

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

E5=EF.

(9)

由于系統(tǒng)的哈密頓量(2)與總自旋S2對易,所以總自旋S是好量子數(shù)可以用來標記系統(tǒng)的本征能量。根據(jù)Lieb-Mattis定理[16]:對于自旋1/2的系統(tǒng),當g>0時,系統(tǒng)的能量隨著總自旋S的增加而增加,當g<0時系統(tǒng)的能量隨著總自旋S的增加而減小。如圖1(a)所示計算結(jié)果與定理保持一致。我們以EF作為零點能,用總自旋數(shù)S來標記系統(tǒng)的能量,可以看出強相互作用下系統(tǒng)不管處于基態(tài)還是激發(fā)態(tài),能級都隨著-1/g線性增加[17]。當-1/g<0,即Tonks氣體區(qū)域,能量隨著總自旋S的增加而增加;當-1/g>0,即Super-Tonks氣體區(qū)域,能量是隨著總自旋S的增加而減小。一維無限深方勢阱是一個均勻的勢阱,所以一維無限深方勢阱中J1=J2=J3,用同樣的方法可以計算出系統(tǒng)的能譜:

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

E5=EF.

(15)

如圖1(b)所示在Tonks氣體區(qū)域能量的變化趨勢與在諧振子勢阱中時一樣都隨總自旋S的增加而增加,在Super-Tonks氣體區(qū)域隨總自旋的增加而減小。由上述能譜公式表明在-1/g→0的附近能量是關(guān)于-1/g線性變化的。比較圖1(a)和1(b)可以看出系統(tǒng)能量的排布不依賴與交換常數(shù)的比值J2/J1,而與系統(tǒng)總的自旋數(shù)S有關(guān)?，F(xiàn)在我們以總自旋S=0所對應(yīng)的兩個能級為例來研究勢阱的改變對能量的影響,當系統(tǒng)處于一維諧振子勢阱時E0=5.072 66(-1/g),E1=3.962 76(-1/g).當系統(tǒng)處于一維無限深方勢阱時E0=4.732 05(-1/g),E1=3.414 21(-1/g).一維諧振子勢阱的能量E0,E1與無限深方勢阱比較,能級關(guān)于-1/g的斜率分別偏移了0.340 61, 0.548 55.

Fig.1 Configuration of the energy spectrum of the system {2;2} in the harmonicoscillator potential well (a) and infinitely deep square potential well (b)，respectively圖1 系統(tǒng){2;2}處于諧振子勢阱(a)和無限深方勢阱(b)時的能級排布

2 兩組分系統(tǒng)的自旋密度分布

實驗上利用Stern-Gerlach可將不同自旋的原子氣體分離,從而測量系統(tǒng)不同組分的密度分布,系統(tǒng)的第m組分的密度分布可以表示成下面的形式:

(16)

其中,m可以取自旋向上(↑)和自旋向下(↓)。這里

(17)

表示在坐標位置x處找到第i個粒子的概率,此時無須考慮第i個粒子的自旋。

(18)

表示第i個粒子處于任意一個自旋態(tài)上自旋磁性等于m的概率,其中χ表示由N個帶有自旋的粒子組成的一個任意自旋態(tài)[9],它可以由系統(tǒng)的一組正交完備的基矢來表示。系統(tǒng)的空間密度分布等于系統(tǒng)中所有粒子的空間密度之和:

(19)

系統(tǒng)的空間密度分布的具體形式與系統(tǒng)所處的外勢有關(guān)。首先在一維諧振子勢阱中計算不同自旋粒子數(shù)組成的系統(tǒng)的密度分布,如圖2所示,其中實線(ρhar)表示在諧振子勢阱中系統(tǒng)的空間密度分布,圖2(a)為3粒子系統(tǒng),圖2(b)為4粒子系統(tǒng)。然后我們將一維諧振子勢阱換成一維無限深方勢阱后繼續(xù)研究了這兩種系統(tǒng)的空間密度分布,虛線(ρsqu)表示在一維無限深方勢阱中系統(tǒng)的空間密度分布。在一維無限深方勢阱中我們選取的勢阱邊界是[-4,4],由于量子力學(xué)中波函數(shù)的有限性和連續(xù)性所以在無限深方勢阱的邊界上波函數(shù)等于零,即邊界上粒子的概率為零。經(jīng)過計算得出結(jié)論:系統(tǒng)空間密度分布會出現(xiàn)峰值,峰值的數(shù)量與粒子個數(shù)保持一致,例如:N=3則會出現(xiàn)3個峰值,N=4則會出現(xiàn)4個峰值。當系統(tǒng)處于一維諧振子勢阱時,粒子密度分布呈現(xiàn)兩邊峰值低中間峰值高的空間對稱分布形式;當系統(tǒng)處于一維無限深方勢阱時,粒子密度分布呈現(xiàn)兩邊高中間低的空間對稱分布形式。

Fig.2 Spatial density distribution of the system for N=3 (a) and N=4 (b) in the harmonicoscillator potential well (solid lines) and infinitely deep square potential well (dashed lines), respectively圖2 系統(tǒng)(N=3 (a)和N=4 (b))分別在一維諧振子勢阱(實線)和無限深方勢阱(虛線)中的空間密度分布

實驗上可用散射共振的方法來[8]調(diào)節(jié)粒子間的相互作用,現(xiàn)在我們在原來的哈密頓量(2)后面加一項與位置有關(guān)的磁場梯度來繼續(xù)討論系統(tǒng)的自旋密度是如何發(fā)生變化的:

(20)

我們接著在一維無限深方勢阱中繼續(xù)計算了磁場梯度對系統(tǒng){2;2}自旋密度的影響,計算結(jié)果顯示當系統(tǒng)處于基態(tài)時,由于磁場梯度的影響自旋向上組分的密度分布也不再等于自旋向下組分的密度分布,而是兩組分交替出現(xiàn),呈現(xiàn)出反鐵磁序[19]的排列方式如圖4(a)所示, 可與圖3(d)比較。當系統(tǒng)處于有些激發(fā)態(tài)時(第一激發(fā)態(tài),第四激發(fā)態(tài))系統(tǒng)的自旋分布會呈現(xiàn)出反鐵磁排列,但處于另一些激發(fā)態(tài)時(第二,三,五激發(fā)態(tài))則出現(xiàn)磁疇及更復(fù)雜的自旋密度分布。

Fig.3 Spin density distribution without the B-field gradient at the ground state for the system( a{2;1},c{2；2},e{3;1}) in the harmonic oscillator potential well. The spin densitydistribution with the B-field gradient at the ground state for the system( b{2;1},d.{2;2},f{3;1} )圖3 系統(tǒng)(a{2;1},c {2;2},e{3;1})在諧振子勢阱中不加磁場梯度的自旋密度分布和系統(tǒng)(b{2;1},d{2;2},f{3;1})在諧振子勢阱中加磁場梯度的自旋密度分布

Fig.4 Spin density distribution of the two-components system with the B-field gradient respectivelyat the ground state, excited states in one-dimensional infinitely deep square potential well圖4 在一維無限深方勢阱中系統(tǒng)處于基態(tài)和各個激發(fā)態(tài)時，考慮上磁場梯度后兩組分的密度分布

3 結(jié)論

有效自旋鏈模型為研究強相互作用一維量子氣體提供了一種新穎的方法,本文主要利用此模型分別計算了在諧振子勢阱和無限深方勢阱中系統(tǒng)的能級排布和空間密度分布,結(jié)果表明系統(tǒng)能譜的排布和系統(tǒng)總的自旋數(shù)有關(guān),而外勢阱改變后能級會發(fā)生偏移。隨著外勢阱的改變系統(tǒng)的空間密度分布也出現(xiàn)了峰值位置的變化。隨后在原先的哈密頓量的基礎(chǔ)上引入了一項與位置有關(guān)的磁場梯度,我們分別在諧振子勢阱和無限深方勢阱中研究了磁場梯度對系統(tǒng)自旋密度分布的影響。計算結(jié)果顯示這個磁場梯度能夠改變系統(tǒng)的密度分布,自旋平衡的自旋鏈系統(tǒng)處于基態(tài)時,兩組分自旋密度在空間會呈現(xiàn)出交替排布的反鐵磁排序,對系統(tǒng)激發(fā)態(tài)的影響則出現(xiàn)磁疇及更加復(fù)雜的自旋密度分布現(xiàn)象。

參考文獻：

[1] Simon J,Bakr W S,Ma R,etal.Quantum Simulation of Antiferromagnetic Spin Chains in an Optical Lattice[J].Nature,2011,472(7343):307-12.DOI:10.1038/nature09994.

[2] Meinert F,Mark M J,Kirilov E,etal.Quantum Quench in an Atomic One-Dimensional Ising Chain[J].PhysRevLett,2013,111(5):053003. DOI:10.1103/PhysRevLett.111.053003.

[3] Struck J,?lschl?ger C,Le T R,etal.Quantum Simulation of Frustrated Classical Magnetism in Triangular Optical Lattices[J].Science,2011,333(6045):996-999.DOI:10.1126/science.1207239.

[4] Yan B,Moses S A,Gadway B,etal.Observation Of Dipolar Spin-Exchange Interactions with Lattice-Confined Polar Molecules[J].Nature(London),2013：501-521.DOI:10.1038/nature12483.

[5] Paz A,Sharma A,Chotia A,etal.Nonequilibrium Quantum Magnetism in a Dipolar Lattice Gas[J].PhysRevLett,2013,111(18):699-704.DOI:10.1103/PhysRevLett.111.185305.

[6] Greif D,Uehlinger T,Jotzu G,etal.Short-Range Quantum Magnetism of Ultracold Fermions in an Optical Lattice[J].Science,2013,340(6138):1307-10.DOI:10.1126/science.1236362.

[7] Auerbach A.Interacting Electrons and Quantum Magnetism[M].New York:Springer,2009.

[8] Zürn G,Serwane F,Lompe T,etal.Fermionization of Two Distinguishable Fermions[J].PhysRevLett,2013,108(7):075303.DOI:10.1103/PhysRevLett.108.075303.

[9] Deuretzbacher F,Becker D,Bjerlin J,etal.Quantum Magnetism without Lattices in Strongly Interacting One-Dimensional Spinor Gases[J].PhysRevA,2014,90(90):17590-17599.DOI:10.1103/PhysRevA.90.013611.

[10] Cui X L,Ho T L.Spin-Orbit-Coupled One-Dimensional Fermi Gases with Infinite Repulsion[J].PhysRevA,2014,89(1):432-435.DOI:10.1103/PhysRevA.89.013629.

[11] Murmann S,Deuretzbacher F,Zürn G,etal.Antiferromagnetic Heisenberg Spin Chain of a Few Cold Atoms in a One-Dimensional Trap[J].PhysRevLett,2015,115(21):215301.DOI:10.1103/PhysRevLett.115.215301.

[12] Cheng C,Grimm R,Julienne P.Feshbach Resonances in Ultracold Gases[J].RevModPhys,2010,82(2):63-85.DOI:10.1103/RevModPhys.82.1225.

[14] Gangardt D M,Shlyapnikov G V.Stability and Phase Coherence of Trapped 1D Bose Gases[J].PhysRevLett,2002,90(1):010401.DOI:10.1103/PhysRevLett.90.010401.

[15] Deuretzbacher F,Fredenhagen K,Becker D,etal.Exact Solution of Strongly Interacting Quasi One Dimensional Spinor Bose Gases[J].PhysRevLett,2008,100(16):77-82.DOI:10.1103/PhysRevLett.100.160405.

[16] Lieb E,Mattis D.Theory of Ferromagnetism and the Ordering of Electronic Energy Levels[J].PhysRev,2004,125(1):384-392.DOI:10.1103/PhysRev.125.164.

[17] Cui X L,Ho T L.Ground-State Ferromagnetic Transition in Strongly Repulsive One-Dimensional Fermi Gases[J].PhysRevA,2014,89(2):303-303.DOI:10.1103/PhysRevA.89.023611.

[18] Hao Y J.the Weakening of Fermionization of One Dimensional Spinor Bose Gases Induced by Spin-Exchange Interaction[J].EurPhysJD,2016,70(5):1-6.DOI:10.1140/epjd/e2016-70076-x.

[19] Hao Y J.Ground State Properties of Anti-Ferromagnetic Spinor Bose Gases in One Dimension[J].EurPhysJD,2017,71:47-6.DOI:10.1140/epjd/e2017-70483-5.