二維正方晶格中的自旋軌道耦合效應(yīng)

劉聰明,徐志浩,張?jiān)撇?/p>

(山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

自旋軌道耦合[1]是量子物理學(xué)中基本的物理效應(yīng)，很多物理現(xiàn)象與其有關(guān)。如量子自旋霍爾效應(yīng)[2],拓?fù)淞孔佑?jì)算[3]等,它在多種物理現(xiàn)象中扮演了核心角色。這些現(xiàn)象導(dǎo)致產(chǎn)生了自旋電子學(xué)[4]，拓?fù)浣^緣體[5]、拓?fù)涑瑢?dǎo)體[6]等當(dāng)前凝聚態(tài)物理中最重要的前沿研究領(lǐng)域。

在冷原子領(lǐng)域,我們關(guān)心的是原子氣體的自旋和動量等,但是由于其整體是中性的,因此并不存在天然的自旋軌道耦合效應(yīng)。2009年,NIST的研究小組通過拉曼光和原子內(nèi)部的能級耦合作用,在冷原子氣體中實(shí)現(xiàn)了規(guī)范場[7],后來他們又實(shí)現(xiàn)了玻色原子氣體的一維自旋軌道耦合[8]。2012年,山西大學(xué)[9]和MIT的研究小組[10],分別實(shí)現(xiàn)了費(fèi)米冷原子氣體的一維自旋軌道耦合。最近由中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)和北京大學(xué)聯(lián)合團(tuán)隊(duì)以及山西大學(xué)的張靖組分別提出并實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)超冷原子二維自旋軌道耦合的人工合成[11-12],其為研究新奇量子物態(tài)奠定了良好的基礎(chǔ),它將對冷原子和凝聚態(tài)物理產(chǎn)生重大影響。

本文主要研究二維正方晶格中自旋軌道耦合效應(yīng)對于體系能譜以及拓?fù)湫再|(zhì)的影響。

1 理論模型

考慮無相互作用的具有自旋軌道耦合的費(fèi)米氣體被捕陷在二維的正方晶格中,緊束縛近似下(只考慮最近鄰躍遷),其哈密頓量為

(1)

(2)

tx,↑=-tx,↓=t,ty,↑=-ty,↓=t,

(3)

(4)

這里α為x方向自旋軌道耦合的強(qiáng)度,β為y方向自旋軌道耦合的強(qiáng)度。α=β時(shí),自旋軌道耦合的類型為Rashba型;當(dāng)α=-β時(shí),自旋軌道耦合的類型為Dresselhaus型。α或β其中一個為0時(shí),二維的自旋軌道耦合變?yōu)橐痪S的自旋軌道耦合。整個系統(tǒng)中我們設(shè)t為能量單位。

為了研究二維具有自旋軌道耦合方格子的性質(zhì),我們首先計(jì)算其能譜,在周期邊界條件下,利用傅里葉變換

(5)

其中N表示二維晶格中格點(diǎn)的數(shù)目,可將哈密頓量轉(zhuǎn)化到動量空間,可以得到

H(k)=d(k)·σ,

(6)

上式中σ=(σx,σy,σz)是泡利矩陣,d(k)=(dx,dy,dz)是布洛赫矢量,其中,dx=2βsinky,dy=2αsinkx,dz=-2t(coskx+cosky)。該模型滿足粒子空穴對稱性,且在α或β等于0時(shí)具有手征對稱性,但不滿足時(shí)間反演對稱性,當(dāng)α和β不等于0時(shí),手征對稱性被破壞。對角化此系統(tǒng)哈密頓量得到其能量本征值為

(7)

2 系統(tǒng)能帶的線性色散關(guān)系

(8)

(a)The energy band diagram for α=β=t；(b)and(c)show the band dispersion forα=t and β=0,0.2α,0.4α and α,which can be obtained in the vicinity of contact of the energy band in the qy and qx directions, respectivelyFig.1 Energy band diagram and dispersion of the system(a)α=β=t時(shí),體系的能帶圖；(b)和(c)表示α=t,β=0,0.2α,0.4α和α?xí)r,在能帶接觸點(diǎn)附近,能量分別在qy和qx方向,能帶所呈現(xiàn)的色散關(guān)系圖1 體系的能帶圖和色散關(guān)系

3 系統(tǒng)的邊緣態(tài)

為了研究系統(tǒng)邊界態(tài)特征。我們選取系統(tǒng)在x方向?yàn)殚_邊界條件,y方向?yàn)橹芷谶吔鐥l件,即只在y方向做傅里葉變換,而x方向不變[18],其形式為

(9)

這里Ny為晶格沿y方向的格點(diǎn)數(shù)目。從而系統(tǒng)的哈密頓量變?yōu)?/p>

(10)

我們令α=t,β取0,0.2α,0.4α和α?xí)r,從而獲得系統(tǒng)的能譜圖。在圖2(a)中,我們發(fā)現(xiàn),在β=0,系統(tǒng)有2重簡并的零模邊緣態(tài),這是系統(tǒng)具有手征對稱性的體現(xiàn)。圖2(b)為圖2(a)中ky=0.5π時(shí)零模邊緣態(tài)的密度分布情況?？梢钥吹?對應(yīng)于零模邊緣態(tài),粒子分別局域在系統(tǒng)的左右邊界。而在離開β=0點(diǎn)處,系統(tǒng)的手征對稱性被破壞,簡并的零模邊緣態(tài)也發(fā)生破壞,兩支邊緣態(tài)逐漸分離,隨著β值逐漸增大,邊緣態(tài)的能量逐漸向體態(tài)能量靠近,但在ky=0.5π處,邊緣態(tài)始終穩(wěn)定存在,不會隨β增大演化成體態(tài),如圖2的(c),(d)和(e)所示。

而如果y方向取開邊界條件,x方向取周期邊界條件,那么若β=t,在α=0,系統(tǒng)出現(xiàn)簡并的零模邊緣態(tài),而在離開α=0點(diǎn)處,簡并的零模邊緣態(tài)也發(fā)生破壞。通過改變β/α的比值,可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中邊緣態(tài)始終存在,而邊緣態(tài)的存在,表明系統(tǒng)具有非平庸的拓?fù)湫再|(zhì)。

Fig.2 Shows that, with α=t and the changing of β, the edge state of the system is correspondinglychanging (a)β=0;(c)β=0.2α;(d)β=0.4α;(e)β=α;(b) shows the density distributionsalong the x direction corresponding to the zero mode edge statesat ky=π/2 in (a), and the number of lattice sites is Nx=40(a)β=0;(c)β=0.2α;(d)β=0.4α;(e)β=α;(b)對應(yīng)的是(a)中ky=π/2 處簡并的零模邊緣態(tài)沿著x方向的密度分布,其中格點(diǎn)數(shù)目為Nx=40圖2 展示了α=t,隨著β值的變化,系統(tǒng)邊緣態(tài)相應(yīng)的變化

4 結(jié)論

本文主要研究了自旋軌道耦合對二維正方晶格系統(tǒng)能帶和邊緣態(tài)的影響。首先給出理論模型,利用傅里葉變換將哈密頓量轉(zhuǎn)換到動量空間,給出系統(tǒng)的能量本征值,由于系統(tǒng)始終存在2個能量簡并點(diǎn),所以其具有半金屬的特性。在能量接觸點(diǎn)附近做二階泰勒展開,得到其低能有效哈密頓量,從而確定了自旋軌道耦合的相對強(qiáng)度對色散關(guān)系的影響。隨著耦合強(qiáng)度由弱變強(qiáng),其能帶的色散關(guān)系由非線性逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性,而邊緣態(tài)隨著自旋軌道耦合強(qiáng)度的變化,由簡并零模邊緣態(tài)到簡并的破壞,到最后邊緣態(tài)逐漸向體態(tài)方向演化。邊緣態(tài)的出現(xiàn)和一直存在說明系統(tǒng)具有非平庸的拓?fù)湫再|(zhì)。

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