初中幾何教學(xué)中“中點(diǎn)”問(wèn)題的解題策略及案例

張鳳琴

（寧波市鄞州區(qū)橫溪鎮(zhèn)中學(xué)）

當(dāng)我們解決幾何問(wèn)題時(shí)，構(gòu)造輔助線，找到中點(diǎn)、中心、重心的位置，分析線段比例等，都能夠幫助我們很好地分析和解決問(wèn)題。運(yùn)用好“中點(diǎn)”這一要素，可以幫助我們快速地抓住要點(diǎn)，更快更準(zhǔn)地完成答題任務(wù)。

一、見(jiàn)“中點(diǎn)”，要分析

（一）考慮中位線

在三角形中解決幾何問(wèn)題時(shí)，如果已知一邊中點(diǎn)，第一步要考慮找到另一條邊的中點(diǎn)，將兩點(diǎn)連線，這條線便是該三角形的中位線。中位線的特點(diǎn)是，平行并等于第三條邊的一半。

比如下面這道例題：

已知三角形ABC中，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，證明

（分析：由題可知點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是線段AB和線段AC的中點(diǎn)，所以線段DE是三角形ABC的中位線，所以線段BC的長(zhǎng)度等于兩倍線段DE的長(zhǎng)度。）

解：∵D和E分別是AB和AC的中點(diǎn)

且∠DAE=∠BAC

∴△ABC∽△ADE

綜上

圖1

（二）特殊三角形首先考慮中線

當(dāng)結(jié)題時(shí)遇到特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形等圖形時(shí)，首先找到特殊邊的中點(diǎn)。例如：找到直角三角形斜邊中點(diǎn)，將這個(gè)中點(diǎn)與直角的頂點(diǎn)相連，這條線為斜邊中線，長(zhǎng)度為斜邊的一半。

圖2

例題：如圖2所示，△ABC為直角三角形，D為AB的中點(diǎn)，AC長(zhǎng)為3cm，DC長(zhǎng)2.5cm，求BC長(zhǎng)度。

（分析：首先證明出直角三角形斜邊中線為斜邊的一半，再利用勾股定理求出BC長(zhǎng)度。）

方法一：

圖3

解：如圖3所示，延長(zhǎng)CD，使DE=CD。連接AE，EB

∵D是AB中點(diǎn)，CD是AB上的中線

∴AD=DB

∵CD=DE

∴四邊形ACBE是平行四邊形

∵∠ACB=90°

∴平行四邊形ACBE是矩形

∴AB=CE，AD=BD，CD=DE

∴AD=BD=CD=DE

∴AB=2CD=5cm

∵AC2＋BC2=AB（2勾股定理）

∴BC2=52-32

BC=4cm

答：BC長(zhǎng)為4厘米。

方法二：（分析：利用三角形全等定理證明CD=1AB，再通過(guò)

2勾股定理算出邊長(zhǎng)。）

圖4

解：如圖4，過(guò)B點(diǎn)做一條垂直于BC的直線與CD延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)

∵∠ACB=∠EBC=90°

∴AC∥BE（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

∴∠CAB=∠ABE

在△ACD和△BDE中

∠CAB=∠ABE

D是AB中點(diǎn)

∴AD=DB

∠ADC=∠EDB

∴△ACD≌△BED（ASA）

∴AC=EB，CD=ED

∴在△ACB和△EBC中

AC=EB

∠ACB=∠EBC

CB=BC

∴△ACB≌△EBC（SAS）

∴∠DCB=∠ABC

∴CD=BD=AD

∵AB=2CD=5cm

∵AC2＋BC2=AB2（勾股定理）

∴BC2=52-32

BC=4cm

答：BC長(zhǎng)為4厘米。

特殊的三角形：等腰三角形的三線合一定理

（分析：利用三角形的全等知識(shí)，證明出等腰三角形的三線合一定理，從而解決相關(guān)問(wèn)題。）

圖5

例題：如圖5所示，△ACB為等腰三角形，P為CB中點(diǎn)，AB＝5cm，AP＝4cm，求BC的長(zhǎng)度。

解：∵P是CB中點(diǎn)

∴CP＝PB

∵△ACB是等腰三角形

∴AC＝AB

∠C＝∠B

AP是△ACP和△APB的公共邊

∴△APB≌△ACP

∠CAP＝∠PAB

∴AP⊥CB（三線合一定理）

∠APB＝90°

∴△ACP和△APB是直角三角形

根據(jù)勾股定理可知，

PB2＋AP2＝AB2

∵AB＝5cm，AP＝4cm

∴PB＝3

∵P是CB中點(diǎn)

BC＝6cm

答：綜上，BC邊長(zhǎng)為6厘米。

（三）做出以此中點(diǎn)為對(duì)稱中心的對(duì)稱圖形。

圖6

例題：如圖6，△ACB為直角三角形，D為AB邊上的中點(diǎn)，以D為中心，做△ABC的中心對(duì)稱圖形ABE。連接DE。因?yàn)橹行膶?duì)稱，所以△ABC≌△ABE。由此可知 AC＝EB，AE＝CB，AD＝DB＝CD＝

綜合上述條件可以得出邊長(zhǎng)關(guān)系，以便解決其他問(wèn)題。

（四）一般的四邊形中點(diǎn)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為三角形中線，中位線定理的應(yīng)用，也就是連接一條對(duì)角線并找到它的中點(diǎn)。

二、創(chuàng)新型幾何教育教學(xué)工作的開(kāi)展

教師在課堂教學(xué)時(shí)就要努力引導(dǎo)學(xué)生的思維，將那些學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生拉入課堂討論中，提高他們的課堂參與感，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)的熱情。課下，也可以針對(duì)不同學(xué)習(xí)程度的學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo)，在家庭作業(yè)方面可以對(duì)基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生進(jìn)行單獨(dú)的講解，并留一些適合他們練習(xí)的題目。因材施教的方法讓不同程度的學(xué)生都能根據(jù)自己的理解能力，掌握幾何學(xué)習(xí)的節(jié)奏，從而幫助他們理解記憶，以便更好地提高成績(jī)。

在幾何教學(xué)中要注重幾何語(yǔ)言的應(yīng)用。圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言及符號(hào)語(yǔ)言是幾何語(yǔ)言的三種存在形式。老師不僅要鍛煉學(xué)生建立三種幾何語(yǔ)言的能力，還要培養(yǎng)其將三種語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化，并且適當(dāng)運(yùn)用的能力。因?yàn)槿N語(yǔ)言的特點(diǎn)不盡相同，所以在幾何教學(xué)中也都各自發(fā)揮著不同的作用。例如圖形語(yǔ)言比較直觀，其形象生動(dòng)的特質(zhì)能幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)和理解相關(guān)問(wèn)題；文字語(yǔ)言就比較抽象，不是那么容易理解，但是其概括性很強(qiáng)，可以對(duì)圖形本身和其中蘊(yùn)含的條件進(jìn)行準(zhǔn)確的描述與解釋，并且對(duì)幾何的定理、公式、定義等內(nèi)容進(jìn)行精確的表達(dá)，使學(xué)生能充分理解題目，加快做題進(jìn)度，節(jié)省時(shí)間。符號(hào)語(yǔ)言是文字語(yǔ)言的又一次簡(jiǎn)化，更加抽象，因此符號(hào)語(yǔ)言也是三種語(yǔ)言中最難掌握的一種。它對(duì)于幾何學(xué)習(xí)的初學(xué)者的邏輯推理能力要求相對(duì)較高。因此教育工作者在教學(xué)過(guò)程中，要抓住時(shí)機(jī)針對(duì)學(xué)生對(duì)這三種語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化方面的意識(shí)和能力進(jìn)行訓(xùn)練和提升。

在幾何學(xué)習(xí)中什么是證明？經(jīng)過(guò)分析推理出一個(gè)命題的正確性，這個(gè)邏輯推理的過(guò)程也就是我們所說(shuō)的證明。那“推理過(guò)程”又是什么呢？解決具體問(wèn)題時(shí)我們又該如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“推理”呢？

正所謂“授之以魚(yú)，不如授之以漁”，教師所能教授的只是理論，只有學(xué)生自己擁有清晰的解題思路，掌握解題方法，才能做到舉一反三，游刃有余地解決問(wèn)題。因此教師要講解尋找證明思路的方法。幾何學(xué)習(xí)中比較常用的解題方法是分析綜合法。也就是把所學(xué)證明方法進(jìn)行綜合運(yùn)用來(lái)論證命題的一種思維方式。從不同角度出發(fā)考慮問(wèn)題，在解決較難問(wèn)題時(shí)，會(huì)收到事半功倍的效果。

幾何作為一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科。首先在學(xué)習(xí)態(tài)度上就要端正。幾何推理證明能力的養(yǎng)成是很漫長(zhǎng)、很艱難的過(guò)程。不論是老師或是學(xué)生都不要操之過(guò)急，要有計(jì)劃性、有針對(duì)性地去學(xué)習(xí)。從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由淺入深，使學(xué)生由被動(dòng)學(xué)習(xí)變成主動(dòng)學(xué)習(xí)。針對(duì)一些重難點(diǎn)，例如中點(diǎn)、重心、中位線等，要更加注重教學(xué)模式的改革，為學(xué)生打好基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

張順燕.數(shù)學(xué)的源與流［M］.北京：高等教育出版社，2004.