圓錐曲線的區(qū)域與二元二次不等式

胡友平

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼 我們已學(xué)過線性規(guī)劃問題，那么用類比的方法能否研究圓錐曲線的區(qū)域與二元二次不等式關(guān)系呢？如果我們規(guī)定圓錐曲線所圍的那部分包含焦點的區(qū)域稱為圓錐曲線的內(nèi)部區(qū)域；同時坐標(biāo)平面被圓錐曲線的所劃分的另一部分區(qū)域稱為圓錐曲線的外部，那么這兩個區(qū)域可以分別用二元二次不等式表示出來。

1.橢圓內(nèi)部區(qū)域可表示為{（x，y）|b2x2+a2y2a2b2}

證明：如圖1，設(shè)P（x0，y0）是橢圓內(nèi)部區(qū)域上任意一點，過點P作橢圓長軸的平行線交橢圓于P1（x1，y0），P2（x2，y0），P1、P2的坐標(biāo)統(tǒng)一記為（x1，2，y0）. ∵b2（x1，2）2+a2y02=a2b2， |x0|<|x1，2|，

∴（x1，2）2= （b2-y02）>x02，即b2x02+a2y02a2b2}表示橢圓b2x2+a2y2=a2b2的外部區(qū)域。

2.圓的內(nèi)部區(qū)域可表示為{（x，y）|x2+y2R2}

3.雙曲線的內(nèi)部區(qū)域可表示為{（x，y）|b2x2-a2y2>a2b2}；雙曲線的外部區(qū)域可表示{（x，y）|b2x2-a2y2

4.拋物線的內(nèi)部區(qū)域可表示為{（x，y）|y2<2px}；拋物線外部區(qū)域可表示為{（x，y）|y2>2px}

利用上面的結(jié)論解決某些有關(guān)二次曲線的問題十分方便。

一、解二元二次不等式組

例1.求不等式組x2+y2<9 （1）x2-y2>1 （2）的整數(shù)解。

解：根據(jù)上面的結(jié)論，（1）表示圓x2+y2=9的內(nèi)部，（2）表示等軸雙曲線x2-y2=1的內(nèi)部區(qū)域，不等式組表示的區(qū)域如圖2中陰影部分（不包括周界）所示，其中1<|x|<3，通過解x2+y2<9x2-y2>1 可知|y|<2，滿足（1）（2）的整數(shù)解為x=2，y=0， x=2，y=1， x=2，y=-1， x=-2，y=0， x=-2，y=1， x=-2y=-1

二、求二次曲線上存在關(guān)于直線的對稱點的條件

由于曲線上關(guān)于指定直線的兩對稱點的連接線段的中點必在曲線內(nèi)部（對于雙曲線有可能在內(nèi)部也有可能在外部），因此根據(jù)前面的結(jié)論我們構(gòu)造不等式而求出參數(shù)的范圍。

例2.k為何值時，直線y-1=k（x-1）能垂直平分拋物線y2=x的弦AB。

解：由于y-1=k（x-1）垂直平分AB， ∴kAB=-，設(shè)M（x0，y0）為AB之中點，根據(jù)對稱的性質(zhì)可求得x0=-，y0=-

∵AB的中點M必在拋物線內(nèi)部，根據(jù)前面的結(jié)論得y02

三、求直線和二次曲線是否存在公共點的條件

例3.曲線x2+=a （a>0）與連接A（-1.1），B（2，3）的線段AB沒有公共點，求a的取值范圍。

解：（1）A，B均在橢圓的內(nèi)部，則線段和橢圓沒有公共點，要使A在橢圓內(nèi)部，則1+

或a<-要使點B在梯圓內(nèi)部，則4+或a<- ∴a>

（2）A，B均在圓外部的情形，由1+>a2 且4+>a2，a的取值范圍為0

代入橢圓方程并整理得11y2-30y+25-4a2=0，

△=900-44（25-4a2）<0，解得-

∴0

∴當(dāng)a>或0

例4.設(shè)直線L：x=ty=b+mt （t是參數(shù)），橢圓Cx=1+acos β（a≠0）y=sinβ

問a，b應(yīng)滿足什么條件，使得對于任意m值來說，L和C總有公共點。

解：直線L即y=mx+b，過定點P（0，b），只要P在橢圓上或內(nèi)部，就恒有交點，根據(jù)前面的結(jié)論，就是要求+b2≤1，即+b2≤1，這時L和C總有公共點。

】A 【文章編號】2095-3089（2018）16-0144-01