橢圓解題十二招式理論與實(shí)踐

【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何進(jìn)行實(shí)踐與探索，總結(jié)橢圓解題招式套路，并在教學(xué)中快速應(yīng)用招式解決橢圓常見問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，快速有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)成績。

【關(guān)鍵詞】橢圓解題招式套路 解決橢圓問題 有效提高學(xué)生成績

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）16-0125-01

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者經(jīng)過多年的實(shí)踐與探索，總結(jié)出了橢圓解題十二個招式套路，簡介如下：

招式一：建設(shè)現(xiàn)（限）代化。求軌跡方程步驟：一是建立直角坐標(biāo)系，二是設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，三是注意限制條件，四是代入計算，五是化簡。

招式二：橢圓a最大。在a、b、c中，a最大，字母a中間圖案很像橢圓，a2=b2+c2。

招式三：誰大聽誰的。給定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷是x型還是y型，看分母大的，再看分子是x還是y。

招式四：長軸你真長啊。橢圓中，不論是x型還是y型，長軸是最長的。

招式五：通徑。上下通氣不咳嗽.通徑音類似于通氣，電影《紅高粱》歌詞上下通氣不咳嗽，即x型橢圓的通徑垂直于是x軸。

招式六：a、b、c總動員，飛機(jī)也來了。x型橢圓的通徑上端點(diǎn)坐標(biāo)為（c，）。

招式七：點(diǎn)在橢圓上，滿足定義。點(diǎn)P在橢圓上，滿足定義PF1+PF2=2a。

招式八：點(diǎn)在橢圓上，坐標(biāo)滿足方程。點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓上，滿足方程+=1。

招式九：點(diǎn)在橢圓上，地毯式轟炸。焦點(diǎn)三角形面積公式S=b2·tan，其中b是炸彈的英文單詞首字母，數(shù)字2形如飛機(jī)。

招式十：點(diǎn)在橢圓上，橢圓的臉龐燒焦掉。x型橢圓中，左焦半徑公式：PF1=a+e·x0。

a表示醫(yī)生叫病人喊一聲“阿”， 十字架+表示醫(yī)生，e表示打針，x0表示打針后留下的針眼。

招式十一：點(diǎn)在橢圓上，直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為參數(shù)式。即x0=a·cosθ，y0=a·sinθ。

招式十二：中點(diǎn)弦，點(diǎn)差法。直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，已知中點(diǎn)坐標(biāo)，求直線方程，一是分別設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)并代入橢圓方程，二是做差，求直線斜率，三是得出直線方程。

學(xué)生用以上十二個招式套路，可以提高解題速度，快速提高學(xué)習(xí)成績。

例1.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

分析：要求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，用招式一“建設(shè)現(xiàn)（限）代化”，一是建立直角坐標(biāo)系，二是設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，三是注意限制條件，四是代入計算，五是化簡。

例2.橢圓方程：+=1，判斷是x型還是y型。

分析：要判斷是x型還是y型，用招式三“誰大聽誰的”即得，一看分母大的，是5，再看分子是x，得知是x型。

例3.求證x型橢圓的通徑上端點(diǎn)坐標(biāo)為（c，）。

分析：用招式五“通徑：上下通氣不咳嗽。”，即得知x型橢圓的通徑垂直于是x軸。可設(shè)坐標(biāo)為P（c，y0），用招式八“點(diǎn)在橢圓上，坐標(biāo)滿足方程”， 點(diǎn)P（c，y0）在橢圓上，滿足方程+=1，解得y0=，即端點(diǎn)坐標(biāo)為（c，）。記憶時，用招式六：“a、b、c總動員，飛機(jī)也來了”。

例4.已知直線經(jīng)過x型橢圓左焦點(diǎn)，與橢圓交于P、Q，求三角形△PQF周長。

分析：直線經(jīng)過x型橢圓左焦點(diǎn)，與橢圓交于P、Q，要求三角形△PQF周長，用招式七“點(diǎn)在橢圓上，滿足定義”，點(diǎn)P在橢圓上，滿足定義PF1+PF2=2a，同理，點(diǎn)Q在橢圓上，滿足定義QF1+QF2=2a，即得求三角形△PQF周長為4a。

例5.已知直線方程為x-y+3=0，橢圓方程為+y2=1，點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓上，求點(diǎn)P到直線距離的最小值。

分析：直線方程為x-y+3=0，橢圓方程為+y2=1，點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓上，用招式十一“點(diǎn)在橢圓上，直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為參數(shù)式”，即x0=acosθ，y0=a·sinθ，得x0=cosθ，y0=sinθ，即P（cosθ，sinθ），用點(diǎn)到直線距離公式，得d==2sin（θ-60°）-3，當(dāng)sin（θ-60°）=1時，d最小值為。

例6.已知橢圓方程為+=1，直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為M（2，1），求直線l方程。

分析：已知橢圓方程為+=1，直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為M（2，1），要求直線l方程，用招式十二“中點(diǎn)弦，點(diǎn)差法”：

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，

得：+=1①，+=1②

①-②，得：（x12-x22）+（y12-y22）=0，

整理，得：（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，

解得k=-，得直線方程：8x+9y-25=0。

總之，在橢圓教學(xué)中，對常見的題型進(jìn)行歸納總結(jié)，應(yīng)用以上招式，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，可以快速有效的提高學(xué)生學(xué)習(xí)成績。

參考文獻(xiàn)：

[1]《全日制普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

作者簡介：

薛超群，福建省寧德市高級中學(xué)校長、黨總支書記，中學(xué)高級教師，國培計劃（2010）—高中數(shù)學(xué)學(xué)科骨干教師研修項目學(xué)員，30多項教研成果參加全國、省級比賽并多次獲獎或在CN等刊物上發(fā)表。