溯本追源揭秘?cái)?shù)列

摘要：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)知識(shí)的理解要遠(yuǎn)比對(duì)知識(shí)的掌握重要，只有深刻的理解所學(xué)的知識(shí)，才能完全掌握知識(shí)，才能靈活自如的運(yùn)用知識(shí)。然而，數(shù)學(xué)又是抽象的，不像物理、化學(xué)等學(xué)科可以通過直觀的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行學(xué)習(xí)。因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生只有了解了相關(guān)知識(shí)的來龍去脈，才能夠順利的將知識(shí)融會(huì)貫通，并同化到自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)中。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；通項(xiàng)公式；函數(shù)思想

英國學(xué)者P.歐內(nèi)斯特說：“數(shù)學(xué)教學(xué)的問題并不在于教學(xué)的最好的方式是什么，而在于數(shù)學(xué)是什么……”可見，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)者來說，掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)，了解數(shù)學(xué)是什么至關(guān)重要。通過分析各種數(shù)學(xué)研究可以看出，數(shù)學(xué)本質(zhì)不僅包括隱藏在客觀事物背后的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)規(guī)律，還包括隱藏在這些數(shù)學(xué)知識(shí)、規(guī)律背后的本質(zhì)屬性。另外，數(shù)學(xué)本質(zhì)還涉及統(tǒng)攝具體數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)思想方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要學(xué)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和發(fā)展過程，從而讓學(xué)生更好的感受隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的思想和方法，使學(xué)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果。

然而在實(shí)踐中，我發(fā)現(xiàn)，大部分教師只傾向于知識(shí)的灌輸，不重視對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，導(dǎo)致學(xué)生無法真正理解知識(shí)，進(jìn)而無法靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解答問題。本人不禁思考：教學(xué)過程中，教師應(yīng)該進(jìn)行如何溯本追源呢？

本人認(rèn)為，在課堂的教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生從追求“是什么”“為什么”“相同點(diǎn)”“精華處”的過程中，尋找數(shù)學(xué)的本質(zhì)。下面結(jié)合本人在教學(xué)中碰到的問題談?wù)勅绾螄@數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行設(shè)計(jì)并開展教學(xué)。

問題1：已知等差數(shù)列{an}中，a2=4，a4+a7=15，

（1） 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2） 設(shè)bn=2an-2+n，求b1+b2+b3+…+b10。

該題是在一次學(xué)校高三第一輪復(fù)習(xí)后統(tǒng)考的一個(gè)解答題，大部分學(xué)生的解答情況如下：

學(xué)生解答：（1） a4+a7=a2+2d+a2+5d=2a2+7d=15

∵a2=4，代入上式得8+7d=15，∴d=1

∴an=a2+（n-2）d=4+（n-2）=n+2

（2） bn=2n+n

∴b1=3，b2=6，b3=11，b4=20，b5=37，……

大部分同學(xué)都是上面的解答，解到一半沒能繼續(xù)下去，有極個(gè)別同學(xué)能算到b10并求出最后正確的答案。

學(xué)生為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況，究其原因，學(xué)生對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式并沒有真正的理解，只是知道等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并沒有真正深入的掌握數(shù)列通項(xiàng)公式的本質(zhì)。更為嚴(yán)重的是，許多教師并沒有主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生深入探究思考通項(xiàng)公式的本質(zhì)，致使學(xué)生只能從表面上理解數(shù)列通項(xiàng)公式，做不到真正的融會(huì)貫通和靈活運(yùn)用。

一、 異中求同，尋通法

本人認(rèn)為，解題教學(xué)中的本質(zhì)是不同題目之間的相同點(diǎn)。教師在進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)，不能僅僅局限于題目本身，教會(huì)學(xué)生解題方法，而是要引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考不同題目，從而發(fā)現(xiàn)不同題目中蘊(yùn)含的相同點(diǎn)。這樣的教學(xué)方式，不僅鍛煉激活了學(xué)生的思維，而且還能幫助學(xué)生抓住一類問題背后蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而自如應(yīng)對(duì)不同的問題，達(dá)到“授人以魚不如授人以漁”的教學(xué)效果。

等差數(shù)列通項(xiàng)公式為an=a1+（n-1）d，而決定等差數(shù)列的兩個(gè)基本量為a1和d，等比數(shù)列通項(xiàng)公式為an=a1·qn-1，決定等比數(shù)列的兩個(gè)基本量為a1和q，如果我們?cè)诮虒W(xué)中真正落實(shí)了學(xué)生對(duì)兩個(gè)基本量的理解。那么對(duì)于（1）中的問題，可以采用兩個(gè)基本量來解，如下：

a2=a1+d=4（1）

a4+a7=a1+3d+a1+6d=15（2）

由（1）（2）兩式解得a1=3

d=1，∴an=n+2

這樣的解法就抓住了等差數(shù)列的兩個(gè)基本量a1和d，采用方程的思想解決這一問題。

如：1. 在等差數(shù)列{an}中，a1+a2=40，a4+a5=60，求a5+a6。

2. 在公差d≠0的等差數(shù)列{an}中，已知a1=4，且a1，a7，a10成等比數(shù)列，

（1） 求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2） 求以a1，a7，a10為前三項(xiàng)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。

我們都可以采用基本量法，轉(zhuǎn)化為方程組的辦法來解決。

再如：（3） 在等差數(shù)列{an}中，a3+a8=10，求3a5+a7的值。學(xué)生很容易就想到用基本量法來解決，得到a3+a8=a1+2d+a1+7d=10，即2a1+9d=10，兩個(gè)未知數(shù)a1和d，一個(gè)方程無法解，由方程思想可以知道，此題必須要整體求解，這是方程思想指導(dǎo)思維，再由3a5+a7=3（a1+4d）+a1+6d=4a1+18d，整體代換可求得。

在等差、等比數(shù)列中，只要抓住兩個(gè)基本量，就抓住了數(shù)列的本質(zhì)。只要讓學(xué)生理解了等差、等比數(shù)列的兩個(gè)基本量的本質(zhì)，學(xué)生在解題時(shí)，就不會(huì)終止在起點(diǎn)。

二、 層層剖析，覓本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中講究“返璞歸真”：當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了大量的同類題目后，會(huì)在某個(gè)時(shí)刻“恍然大悟”，掌握這類問題的“本質(zhì)”。因此對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)教師來說，是否能夠把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，是衡量他的專業(yè)素養(yǎng)的關(guān)鍵。那么對(duì)于教師而言，應(yīng)該怎樣引導(dǎo)學(xué)生揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)呢？多問幾個(gè)為什么，在解決為什么的過程中，清晰推理，追尋本質(zhì)。

在問題1第（2）問的解答中，學(xué)生已經(jīng)求得bn=2n+n，而又對(duì)b1，b2，b3…進(jìn)行逐項(xiàng)求出，想通過b1，b2，b3…，尋找數(shù)列{bn}的規(guī)律。學(xué)生出現(xiàn)這樣的情況，不是因?yàn)闆]掌握分組求和的方法，而是不認(rèn)識(shí)通項(xiàng)公式bn=2n+n的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的學(xué)習(xí)只是對(duì)公式的記憶，沒有深入到本質(zhì)，沒有掌握等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征。

等差數(shù)列an=a1+（n-1）d=dn+a1-d，設(shè)d=k，a1-d=b，則an=kn+b，an是關(guān)于n的離散型一次函數(shù)；等比數(shù)列an=a1·qn-1=a1q×qn，設(shè)a1q=k，則an=k·qn，an是關(guān)于n的離散型指數(shù)型函數(shù)。在數(shù)學(xué)課堂上，對(duì)等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行層層剖析，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入地研究，掌握等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的本質(zhì)。那么對(duì)于問題1第（2）問bn=22+n，學(xué)生就會(huì)認(rèn)識(shí)數(shù)列{bn}是由等比數(shù)列與等差數(shù)列組合而成，從而就很容易想到要進(jìn)行分組求和?？傊?，要想讓學(xué)生從心里接受數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步理解，并真正將知識(shí)同化，就必須讓學(xué)生了解知識(shí)的來龍去脈。因此，在數(shù)列教學(xué)過程中，要注重以下兩個(gè)方面的教學(xué)：

1. 理清數(shù)列知識(shí)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)的形式化是數(shù)學(xué)抽象性這一特點(diǎn)的表現(xiàn)之一。在教學(xué)中，如果教師要想將形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生更容易接受的教育形式，就必須深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)。如果做不到這一點(diǎn)，教學(xué)就很容易陷入照本宣科的窠臼，只會(huì)把書上的內(nèi)容重復(fù)一遍，造成索然無味的數(shù)學(xué)課堂。這種無趣的課堂必然難以引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更別談學(xué)好數(shù)學(xué)了。教師要想打好有效教學(xué)的基礎(chǔ)和前提，就必須要理解數(shù)學(xué)，而要想更好的理解數(shù)學(xué)，就必須要理清知識(shí)的聯(lián)系和結(jié)構(gòu)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。數(shù)列知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖如下：

2. 建立數(shù)列概念與函數(shù)的聯(lián)系

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)體系具有內(nèi)在邏輯聯(lián)系的系統(tǒng)性結(jié)構(gòu)特點(diǎn)?；谶@一特點(diǎn)，在教學(xué)時(shí)，教師若想引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)，就必須要讓學(xué)生知道每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)從哪里發(fā)展而來，又延伸出什么知識(shí)，只有這樣學(xué)生才能準(zhǔn)確把握知識(shí)的來龍去脈。就拿數(shù)列來說，數(shù)列的上位概念是函數(shù)，數(shù)列的下位概念有等差數(shù)列與等比數(shù)列等。因此在數(shù)列教學(xué)中，教師要想讓學(xué)生真正了解掌握數(shù)列知識(shí)，就必須引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)過的函數(shù)、等差數(shù)列、等比數(shù)列等知識(shí)串聯(lián)起來，并與已有知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行結(jié)合，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。通過這樣的教學(xué)和學(xué)習(xí)，學(xué)生才能準(zhǔn)確的理解數(shù)列的來龍去脈，才能掌握數(shù)列的通項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的變化關(guān)系，認(rèn)識(shí)到數(shù)列是一種函數(shù)，函數(shù)關(guān)系才是數(shù)列的本質(zhì)。

三、 函數(shù)思想，拓思維

從前文的分析中，我們已經(jīng)知道數(shù)列本質(zhì)上屬于函數(shù)，具備函數(shù)的某些性質(zhì)，因此在數(shù)列教學(xué)中，教師可以引進(jìn)函數(shù)思想。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生利用已經(jīng)掌握的函數(shù)知識(shí)及函數(shù)學(xué)習(xí)方法來學(xué)習(xí)數(shù)列——觀察圖像發(fā)現(xiàn)性質(zhì)。學(xué)生通過圖像的觀察可以直觀的看清楚數(shù)列的變化趨勢(shì)，進(jìn)而掌握數(shù)列的單調(diào)性特點(diǎn)，找到使數(shù)列達(dá)到最值時(shí)所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)。等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn可以看作關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)，圖像是拋物線上的點(diǎn)。因此，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的性質(zhì)可以用前面學(xué)習(xí)的二次函數(shù)性質(zhì)來研究。

問題2：等差數(shù)列{an}中，a1=-20，S9=S12，求該數(shù)列前多少項(xiàng)和最小。

分析：由基本量法得a1=-209a1+9×82d=12a1+12×112d，解得a1=-20d=2，∴an=2n-22。

再由an=2n-22≤0，解得n≤11，故數(shù)列{an}前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最小。這是尋求數(shù)列通項(xiàng)的方法解決前n項(xiàng)和最小值。

如果我們把前n項(xiàng)和最值與函數(shù)的最值建立聯(lián)系，根據(jù)題目可求得Sn=n2-21n，就可以將數(shù)列{an}前n項(xiàng)和最小值轉(zhuǎn)化為離散型二次函數(shù)y=x2-21x（x∈N+）的最小值。

在數(shù)列這一章教學(xué)中，我們不能只講題型與方法，讓學(xué)生被動(dòng)的接受。本人認(rèn)為，在這一章的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用函數(shù)思想解決數(shù)列問題，學(xué)會(huì)將函數(shù)與數(shù)列進(jìn)行聯(lián)系，掌握解決數(shù)列問題的不同思維角度。這樣不僅能夠拓展學(xué)生的思維，而且還能提高學(xué)生觀察、分析、解決問題的能力。

四、 圖形輔助，顯真諦

眾所周知，合理利用圖像是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段。圖像可以讓抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀生動(dòng)，可以將抽象的概念轉(zhuǎn)化為具體的圖像，而學(xué)生可以通過圖像的變化更好的了解掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而解決一些抽象數(shù)學(xué)問題。

在問題2中，我們先對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)一步深入的探究，Sn=na1+n×（n-1）2d=d2n2+a1-d2n，令d2=A，a1-d2=B，則Sn=An2+Bn，故等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的離散型二次函數(shù)且不含常數(shù)項(xiàng)。如果學(xué)生理解了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的聯(lián)系，那么就可以直接把問題2中的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來解決，設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn，∵a1<0，求Sn的最小值，∴d>0，即A>0，∴二次函數(shù)圖像拋物線開口向上，且經(jīng)過原點(diǎn)，如圖1：

根據(jù)圖像可知等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)和或前11項(xiàng)和最小。

再如，已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是前n項(xiàng)和，Sq=Sp（p

分析：此題利用代數(shù)方法，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，可設(shè)Sn=An2+Bn，再將Sq=Sp代入，得到系數(shù)A，B與項(xiàng)數(shù)p，q的關(guān)系，再求出Sp+q這個(gè)過程繁瑣，且容易出錯(cuò)。如果能夠意識(shí)到數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，畫出前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn函數(shù)圖像，如圖2，由Sp=Sq，知圖像對(duì)稱軸為x=p+q2，再由對(duì)稱性知，x=0與x=p+q關(guān)于對(duì)稱軸x=p+q2對(duì)稱，故Sp+q=0。

作為研究數(shù)量關(guān)系變化的一種模型，數(shù)列隱藏的本質(zhì)其實(shí)就是函數(shù)關(guān)系。因此，在解決數(shù)列問題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)角度看待數(shù)列，利用函數(shù)內(nèi)容和方法研究解決一些特殊的數(shù)列問題。例如：函數(shù)圖像。從解決上述問題的方法中可以看出，利用函數(shù)圖像不僅可以避免答題過程繁瑣、計(jì)算復(fù)雜這樣的弊端，使問題得到快速解決，而且還可以升華數(shù)列內(nèi)涵，擴(kuò)充函數(shù)的外延。更重要的是，這樣的解答方法充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想以及數(shù)學(xué)的對(duì)稱美。

本文研究提醒我們，高中數(shù)學(xué)教學(xué)不能再停留在傳統(tǒng)的記結(jié)論、套公式等方法中，教師要培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想、探索以及歸納總結(jié)能力，要重點(diǎn)教會(huì)學(xué)生創(chuàng)新。另外，在平時(shí)教學(xué)工作中，教師要善于挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)本身蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，并將其滲透給學(xué)生。只有通過這樣的教學(xué)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維才能得到擴(kuò)展，思維主動(dòng)性和思維潛能才能得到激發(fā)，思維品質(zhì)才能得到提高，學(xué)生才能真正認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想的重要性，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題的意識(shí)和能力才能得到增強(qiáng)。

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作者簡(jiǎn)介：

王海平，浙江省溫嶺市，浙江省溫嶺市職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校。