計(jì)及噪聲的動(dòng)態(tài)諧波準(zhǔn)同步采樣分析方法

朱 亮，溫 和，戴慧芳，趙震宇，張春強(qiáng)

(1. 國(guó)網(wǎng)江西省電力有限公司電力科學(xué)研究院，江西 南昌 330096；2. 湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

0 引言

電力系統(tǒng)諧波的準(zhǔn)確測(cè)量為電能計(jì)量、電能質(zhì)量分析、故障診斷以及電力諧波抑制與補(bǔ)償?shù)忍峁┛茖W(xué)依據(jù)[1-3]。通過(guò)對(duì)諧波的檢測(cè)，可以計(jì)算各次諧波含量以及諧波電壓與電流的頻率、相位、幅值參數(shù)[4]。由于諧波具有非線(xiàn)性、隨機(jī)性、分布性、非平穩(wěn)性等特征，難以對(duì)諧波進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量[5]。

現(xiàn)有的動(dòng)態(tài)諧波測(cè)量算法中，主要有基于傅里葉變換的諧波測(cè)量方法、基于瞬時(shí)無(wú)功功率的諧波測(cè)量方法、基于小波變換的諧波測(cè)量方法、基于現(xiàn)代譜估計(jì)的諧波測(cè)量方法[6-10]。雖然這些方法已經(jīng)在實(shí)際設(shè)備中得到應(yīng)用，但都存在一些不足。

基于傅里葉變換的諧波測(cè)量方法是當(dāng)今應(yīng)用最廣泛的一種方法。該算法的可靠性、穩(wěn)定性較高，并有快速傅里葉變換(FFT)算法可以提高信號(hào)檢測(cè)的實(shí)時(shí)性，測(cè)量精度高，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，且被IEC61000-4-7標(biāo)準(zhǔn)采用。該算法的缺點(diǎn)是需要一定時(shí)間的采樣值，且需要進(jìn)行2次變換，計(jì)算量大；而且當(dāng)測(cè)量周期不等于信號(hào)周期的整數(shù)倍或?qū)π盘?hào)進(jìn)行截?cái)鄷r(shí)，F(xiàn)FT算法會(huì)產(chǎn)生頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，引起較大的誤差。在減少頻譜泄漏方面，對(duì)FFT加窗是應(yīng)用比較廣泛的方法[11-13]。加窗FFT算法分析諧波遇到的主要問(wèn)題是同步偏差及初始相位敏感性，即源于非整數(shù)周期采樣和采樣初始時(shí)刻的隨機(jī)性。而實(shí)際應(yīng)用中，無(wú)法嚴(yán)格做到同步采樣[14-15]。選用旁瓣峰值電平高于-58 dB的窗函數(shù)分析電網(wǎng)諧波時(shí)，取5個(gè)基波周期作為時(shí)域分析長(zhǎng)度，就可以忽略初始相位敏感性。

基于瞬時(shí)無(wú)功功率的諧波測(cè)量方法的核心在于經(jīng)過(guò)不含零序分量的Park變換得到三相電流。當(dāng)電網(wǎng)電壓對(duì)稱(chēng)且無(wú)畸變時(shí)，各電流分量的測(cè)量電路比較簡(jiǎn)單并且延時(shí)小。但該算法需要2次坐標(biāo)變換，計(jì)算量較大，且目前常采用IIR濾波器，跟隨性能不好。通過(guò)采用高階濾波器或提高截止頻率可提高暫態(tài)響應(yīng)速度，但諧波檢測(cè)準(zhǔn)確度會(huì)相應(yīng)降低。基于小波變換的諧波測(cè)量方法以周期信號(hào)模型為基礎(chǔ)，通過(guò)頻率分析進(jìn)行頻率測(cè)量。該算法計(jì)算精度高，能分析穩(wěn)態(tài)信號(hào)，也能分析暫態(tài)時(shí)變信號(hào)，但是小波變換頻帶劃分不絕對(duì)，可能產(chǎn)生頻帶重疊，同時(shí)由于能量不集中，易產(chǎn)生頻譜泄漏，導(dǎo)致諧波分析準(zhǔn)確度降低[16-18]?；诂F(xiàn)代譜估計(jì)的諧波測(cè)量方法通過(guò)建立模擬實(shí)際過(guò)程的模型，利用測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)該模型的參數(shù)，最后利用有限的數(shù)據(jù)對(duì)信號(hào)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。但當(dāng)信號(hào)模型中含有噪聲時(shí)，分辨率就會(huì)降低，同時(shí)構(gòu)造樣本函數(shù)計(jì)算量偏大，實(shí)現(xiàn)也較復(fù)雜。實(shí)際測(cè)量中，一方面根據(jù)微小誤差準(zhǔn)則，算法可能引入的隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差，影響諧波測(cè)量精度；另一方面弱幅值的諧波往往容易被鄰近的強(qiáng)頻率成分干擾，這也對(duì)算法的精度提出了更高要求。因此，研究高精度的諧波分析算法對(duì)動(dòng)態(tài)諧波測(cè)量具有重要的意義。

20世紀(jì)80年代，東南大學(xué)的戴先中教授提出準(zhǔn)同步采樣算法QSSA(Quasi-Synchronous Sampling Algorithm)[19-20]。該算法的提出使非同步采樣情況下的頻率測(cè)量精度得到了明顯改善，這正是由于QSSA不要求滿(mǎn)足嚴(yán)格的同步采樣條件，即允許存在一定的采樣同步偏差。QSSA在電力系統(tǒng)頻率測(cè)量和諧波分析中得到了廣泛的應(yīng)用。實(shí)際應(yīng)用中，諧波分析準(zhǔn)確度往往受到噪聲影響，而噪聲影響下的準(zhǔn)同步采樣諧波分析的準(zhǔn)確度問(wèn)題還有待深入研究。

本文提出一種基于QSSA的動(dòng)態(tài)諧波分析算法，分析噪聲對(duì)諧波頻率測(cè)量的影響，建立了諧波頻率測(cè)量方差理論式。仿真與實(shí)際應(yīng)用結(jié)果表明基于QSSA的動(dòng)態(tài)諧波算法能克服頻率波動(dòng)及噪聲影響，實(shí)現(xiàn)較高精度的動(dòng)態(tài)諧波測(cè)量。

1 動(dòng)態(tài)諧波的準(zhǔn)同步采樣分析算法

QSSA不要求采樣周期與信號(hào)周期嚴(yán)格同步，對(duì)采樣起點(diǎn)沒(méi)有要求。

根據(jù)文獻(xiàn)[21]和[22]，含諧波的信號(hào)的模型可設(shè)為：

(1)

其中，T為信號(hào)周期；f0為基波頻率，第h次諧波的頻率為fh=hf0；Ah為第h次諧波的幅值；φh為第h次諧波的初相角；H為最高諧波次數(shù)。

設(shè)x(t)為被積函數(shù)，[a，b]為積分區(qū)間，則利用復(fù)化梯形公式獲得的數(shù)值積分結(jié)果為：

(2)

其中，N為序列長(zhǎng)度；d=(b-a)/N為歸一化積分步長(zhǎng)；ti=a+id(i=0，1，…，N)為積分點(diǎn)；x(a)與x(b)為所求區(qū)間兩端處的函數(shù)值。復(fù)化梯形積分的權(quán)值如表1所示，表中ρ為由數(shù)值積分公式和N所確定的權(quán)系數(shù)。

表1 復(fù)化梯形積分的權(quán)值Table 1 Weight of complex trapezoidal integral

以采樣頻率fs=1/Ts對(duì)x(t)進(jìn)行采樣，從采樣序列中提取長(zhǎng)度為L(zhǎng)N+1的采樣序列x(n)(n∈[1，LN+1])，其中Ts為采樣周期，L為迭代次數(shù)。

圖1 準(zhǔn)同步采樣的L次迭代Fig.1 Lth iteration process based on QSSA

準(zhǔn)同步采樣的L次迭代的原理如圖1所示。運(yùn)用式(2)對(duì)采樣序列x(n)數(shù)值積分公式作圖1所示的遞推運(yùn)算，得到遞推運(yùn)算結(jié)果為：

(3)

其中，i=1，2，…，(l-1)N+1為在運(yùn)用式(3)計(jì)算平均值過(guò)程中各子區(qū)間序號(hào)；ρn(n=i，i+1，…，i+N)為由數(shù)值積分公式和N所確定的權(quán)系數(shù)；l=1，2，…，L為迭代次數(shù)。根據(jù)離散傅里葉變換的定義，x(m)的離散頻譜的實(shí)部和虛部可以按照式(3)分別進(jìn)行L次迭代。

如圖2所示，從準(zhǔn)同步采樣序列中提取長(zhǎng)度為L(zhǎng)N+1的序列x1(m)，即(x1(m0)，x1(m0+1)，…，x1(m0+LN))，其起始時(shí)刻為t0=m0/fs，m0為對(duì)應(yīng)起始時(shí)刻的正整數(shù)值。對(duì)于第h次諧波，序列x1(m)的初始相角為?t0=2πfhm0/fs+φ。

圖2 序列選取示意圖Fig.2 Schematic diagram of sequence selection

(4)

(5)

其中，γmm為迭代因子。

(6)

用?t0減去?t1，即可計(jì)算第h次諧波的頻率為：

(7)

根據(jù)式(4)，第h次諧波的幅值與初始相角分別為：

(8)

(9)

2 噪聲對(duì)動(dòng)態(tài)諧波頻率測(cè)量的影響分析

(10)

(11)

其中，?m0和?m1分別為第m0和m1采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的初始相角。

同理，由式(6)可得?m0減去?m1的方差理論計(jì)算式分別為：

(12)

(13)

其中，k=fhN/fs。將式(11)和(12)代入式(10)，可得：

(14)

其中，2σy2/A2即為信噪比SNR的倒數(shù)。

式(14)表明，諧波頻率測(cè)量的方差與信噪比成反比，即信號(hào)越弱(對(duì)應(yīng)的噪聲越強(qiáng))，頻率測(cè)量方差越大。此外，式(14)還可以用于確定頻率測(cè)量過(guò)程中的各項(xiàng)參數(shù)。如果給定了頻率測(cè)量誤差的限值，對(duì)于已經(jīng)完成采樣的信號(hào)序列，可以通過(guò)式(14)計(jì)算出采用QSSA所需的最小序列長(zhǎng)度N和迭代次數(shù)L。比如，給定頻率測(cè)量的極限誤差為0.002(按2倍標(biāo)準(zhǔn)差分析)，則頻率測(cè)量方差限值為10-6，設(shè)采樣頻率為6 400 Hz，測(cè)量通道信噪比為10 dB，代入式(14)可計(jì)算得到：當(dāng)N取256時(shí)，L至少取值為4。在實(shí)際測(cè)量中，可以運(yùn)用式(14)確定頻率測(cè)量過(guò)程中的采樣頻率fs、序列長(zhǎng)度N和迭代次數(shù)L，以滿(mǎn)足預(yù)設(shè)的頻率測(cè)量誤差限值。

3 動(dòng)態(tài)諧波仿真分析

對(duì)于提出的基于QSSA的動(dòng)態(tài)諧波分析方法，通過(guò)MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證該分析方法的可行性和有效性。

3.1 含基波和2～21次諧波信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)包含基波和2～21次諧波的信號(hào)表達(dá)式為：

(15)

其中，基波頻率f0為50.1 Hz；采樣頻率為6 400 Hz。Ah和φh具體取值見(jiàn)表2。基于QSSA的動(dòng)態(tài)諧波分析 方法以及基于4項(xiàng)3階Nuttall窗插值FFT、Hanning窗插值FFT和Hamming窗插值FFT對(duì)基波頻率、2～21次諧波頻率測(cè)量的絕對(duì)誤差分布圖如圖3(a)所示。所有算法均使用1 024個(gè)采樣點(diǎn)。

由圖3(a)可知，基于QSSA的動(dòng)態(tài)諧波分析算法對(duì)基波及各次諧波的頻率測(cè)量絕對(duì)誤差均小于10-10Hz，且頻率絕對(duì)誤差的準(zhǔn)確度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于基于4項(xiàng)3階Nuttall窗插值FFT、Hanning窗插值FFT和Hamming窗插值FFT，準(zhǔn)確度比加窗插值FFT算法高6～7個(gè)數(shù)量級(jí)?；赒SSA的動(dòng)態(tài)諧波分析方法和基于4項(xiàng)3階Nuttall窗插值FFT、Hanning窗插值FFT和Hamming窗插值FFT相角測(cè)量絕度誤差和幅值測(cè)量相對(duì)誤差的分布曲線(xiàn)分別如圖3(b)、(c)所示。

表2 基波及諧波參數(shù)Table 2 Parameters of fundamental and harmonic waves

圖3 基波和諧波測(cè)量誤差Fig.3 Measurement errors of fundamental and harmonic waves

由圖3(b)、(c)可知，基于QSSA的動(dòng)態(tài)諧波分析算法的相角測(cè)量和幅值測(cè)量的準(zhǔn)確度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于基于4項(xiàng)3階Nuttall窗插值FFT、Hanning窗插值FFT和Hamming窗插值FFT，準(zhǔn)確度分別比WIFFT算法高6～7和7～8個(gè)數(shù)量級(jí)。完全滿(mǎn)足國(guó)標(biāo)相角偏差小于±5°的要求。

3.2 不含白噪聲時(shí)頻率波動(dòng)仿真實(shí)驗(yàn)

基波頻率波動(dòng)時(shí)，將引起信號(hào)各頻率分量之間的頻譜泄漏量發(fā)生變化，影響各參數(shù)檢測(cè)的準(zhǔn)確度。為了分析信號(hào)頻率波動(dòng)對(duì)基波及各次諧波的幅值和相角的影響，基波頻率f0分別在49.5～50.5 Hz內(nèi)取值，步長(zhǎng)為0.1 Hz。在此條件下，對(duì)式(15)所示信號(hào)進(jìn)行仿真分析。圖4為基波頻率波動(dòng)時(shí)，基于QSSA的動(dòng)態(tài)諧波分析算法頻率測(cè)量絕對(duì)誤差、相角測(cè)量絕對(duì)誤差和幅值測(cè)量相對(duì)誤差的分布曲線(xiàn)圖。

圖4 基波頻率波動(dòng)時(shí)基波和諧波測(cè)量誤差Fig.4 Measurement errors of fundamental and harmonic waves when fundamental wave frequency fluctuates

由圖4(a)可知，基波頻率f0=49.5 Hz時(shí)，基于QSSA的動(dòng)態(tài)諧波分析算法準(zhǔn)確度最低，但基波及各次諧波頻率測(cè)量絕對(duì)誤差仍小于10-3Hz。當(dāng)頻率越靠近50 Hz，基波及各次諧波的誤差越小。實(shí)行嚴(yán)格的同步采樣，當(dāng)f0=50 Hz時(shí)，基波及2～21次諧波頻率測(cè)量絕對(duì)誤差非常小，頻率測(cè)量絕對(duì)誤差可以達(dá)到10-14～10-11Hz。

由圖4(b)可知，實(shí)行嚴(yán)格的同步采樣，當(dāng)f0=50 Hz時(shí)，基波及2～21次諧波相角測(cè)量絕對(duì)誤差非常小，相角測(cè)量絕對(duì)誤差可以達(dá)到10-12°～10-9°。當(dāng)基波頻率f0在49.5～49.9 Hz和50.1～50.5 Hz范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)，相角測(cè)量絕對(duì)誤差波動(dòng)比較大，但均小于0.1°。

由圖4(c)可知，實(shí)行嚴(yán)格的同步采樣，當(dāng)f0=50 Hz時(shí)，基波及2～21次諧波幅值測(cè)量相對(duì)誤差非常小，諧波測(cè)量幅值相對(duì)誤差可以達(dá)到10-14%～10-10%。當(dāng)基波頻率越遠(yuǎn)離50 Hz時(shí)，幅值相對(duì)誤差越來(lái)越大。當(dāng)基波頻率f0在49.5～49.9 Hz和50.1～50.5 Hz范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)，幅值測(cè)量相對(duì)誤差在10-6%～10-3%范圍內(nèi)波動(dòng)。

3.3 白噪聲影響下諧波仿真實(shí)驗(yàn)

在實(shí)際測(cè)量中，不可避免地會(huì)受到外界噪聲的干擾(主要是電磁干擾)，因此對(duì)式(15)所示的信號(hào)添加高斯白噪聲，高斯白噪聲的信噪比為50 dB。通過(guò)仿真對(duì)添加高斯白噪聲時(shí)基于QSSA的動(dòng)態(tài)諧波分析算法與加窗插值FFT算法對(duì)諧波測(cè)量的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，在同一信噪比下計(jì)算500次頻率、相角和幅值，其余仿真參數(shù)不變。圖5給出了信號(hào)添加白噪聲時(shí)頻率、相角和幅值測(cè)量方差。

圖5 50 dB白噪聲時(shí)基波和諧波測(cè)量方差Fig.5 Measurement variance of fundamental and harmonic waves in 50 dB white noise

由圖5可知，基于QSSA的動(dòng)態(tài)諧波分析算法的頻率方差、相角方差和幅值方差與加窗插值FFT算法在同一等級(jí)，且方差都比較小，幅值方差的波動(dòng)均在10-8～10-7范圍內(nèi)。因此，基于QSSA的動(dòng)態(tài)諧波分析算法可有效克服噪聲的影響，能準(zhǔn)確測(cè)量基波及各次諧波的幅值。

根據(jù)算法實(shí)現(xiàn)流程，長(zhǎng)度為N的QSSA所需的加法和乘法次數(shù)分別為L(zhǎng)2N和LN/2+LN2/2+L+1，而加窗插值FFT算法所需要的加法和乘法次數(shù)分別為3(LN+1)log2(LN+1)和2(LN+1)log2(LN+1)。可見(jiàn)，QSSA的運(yùn)算量略大于加窗插值FFT算法。圖5的仿真結(jié)果表明：QSSA與加窗插值FFT算法具有相同數(shù)量級(jí)的諧波測(cè)量方差。但值得注意的是，如圖3所示，前者的諧波測(cè)量絕對(duì)誤差優(yōu)于后者約6～7個(gè)數(shù)量級(jí)。

4 應(yīng)用與討論

為了驗(yàn)證基于QSSA的動(dòng)態(tài)諧波分析方法在實(shí)際應(yīng)用中的可靠性，本文開(kāi)展了動(dòng)態(tài)諧波測(cè)量實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)由三相標(biāo)準(zhǔn)源HBS1030、數(shù)據(jù)采集卡NI-ELVIS(Ⅱ)、電壓預(yù)處理電路板(目的是為了降壓)以及上位機(jī)LenovoY460組成。三相標(biāo)準(zhǔn)源HBS1030的最高輸出諧波頻率為6 kHz，輸出頻率穩(wěn)定度為5×10-5；數(shù)據(jù)采集卡NI-ELVIS(Ⅱ)的ADC分辨率為16位，最大采樣頻率為1.25 MHz，電壓輸入范圍為0～10 V。

三項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)源通電后，首先通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)源的前面板設(shè)置輸出信號(hào)的頻率、幅值、諧波次數(shù)與諧波含有率等，其中，基波頻率設(shè)為50.5 Hz，基波和諧波的幅值設(shè)置如表2所示，基波和諧波的初相角均設(shè)為0；然后將標(biāo)準(zhǔn)源設(shè)置完成的電信號(hào)送至電壓預(yù)處理電路模塊，將電壓幅值降至5 V左右；之后將降壓之后的電信號(hào)送入數(shù)據(jù)采集卡NI-ELVIS(Ⅱ)的信號(hào)輸入端口，NI-ELVIS(Ⅱ)的電壓輸入范圍為0～10 V，NI-ELVIS(Ⅱ)的采樣頻率可以通過(guò)上位機(jī)設(shè)置，在本實(shí)驗(yàn)中，采樣頻率設(shè)置為fs=6.4 kHz；最后，將采集到的數(shù)據(jù)送入上位機(jī)LenovoY460進(jìn)行波形及數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)。

在實(shí)際測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，存在很多因素導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)隨機(jī)偏差。比如，標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)源輸出的不穩(wěn)定性、互感器受到的電磁干擾、預(yù)處理和采樣電路的電子熱噪聲、模數(shù)轉(zhuǎn)換器的量化誤差、計(jì)算過(guò)程中的截?cái)嗾`差等，這些因素都會(huì)導(dǎo)致諧波測(cè)量結(jié)果無(wú)規(guī)則地偏離真實(shí)值，均可以視為一定水平的白噪聲影響。因此，在本文的實(shí)際測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，未對(duì)標(biāo)準(zhǔn)源產(chǎn)生的信號(hào)添加額外的白噪聲。

圖6為實(shí)際測(cè)量實(shí)驗(yàn)的基波和諧波頻率、幅值和初相角的絕對(duì)誤差和方差。實(shí)際測(cè)量結(jié)果表明，本文所提出的算法在基波頻率、幅值和初相角測(cè)量時(shí)具有很高的精度，但當(dāng)諧波次數(shù)較高時(shí)，誤差有所增加。特別值得注意的是，圖6中，諧波幅值的絕對(duì)誤差小于10-4V，方差小于10-6V2，完全滿(mǎn)足國(guó)標(biāo)GB/T 17626.7—2008《供電系統(tǒng)及所連設(shè)備諧波、諧間波的測(cè)量和測(cè)量?jī)x器導(dǎo)則》中A類(lèi)測(cè)量準(zhǔn)確度的要求。

圖6 實(shí)際測(cè)量實(shí)驗(yàn)基波和諧波的絕對(duì)誤差和方差Fig.6 Absolute errors and variances of fundamental and harmonic waves in practical measurement experiment

5 結(jié)論

本文提出了基于QSSA的動(dòng)態(tài)諧波分析算法，分析了噪聲對(duì)諧波頻率測(cè)量的影響，建立了諧波頻率測(cè)量方差理論式。研究結(jié)果表明，諧波頻率測(cè)量的方差與信噪比成反比，即信號(hào)越弱(對(duì)應(yīng)的噪聲越強(qiáng))，頻率測(cè)量方差越大。此外，式(14)中，頻率測(cè)量方差受到采樣頻率fs、序列長(zhǎng)度N和迭代次數(shù)L等影響，為合理選擇上述參數(shù)達(dá)到合理的諧波頻率測(cè)量方差水平提供了理論依據(jù)?；l率波動(dòng)、白噪聲等情況下的仿真和實(shí)際測(cè)量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提算法的準(zhǔn)確度。

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