籃下側(cè)旋打板投籃的動(dòng)力學(xué)分析

楊大有

(鄭州市第一中學(xué) 河南 鄭州 450052)

1 問(wèn)題的提出

籃球?qū)官愔校@下區(qū)域投籃，球空中行程短，命中率高于中長(zhǎng)距離投籃，歷來(lái)是攻防最激烈的地方，也是籃球運(yùn)動(dòng)最具魅力之處．由于在籃下防守的嚴(yán)密，進(jìn)攻隊(duì)員很難找到恰當(dāng)?shù)拿闇?zhǔn)點(diǎn)直接完成投籃動(dòng)作, 更多的情況則是借助打板完成投籃，但比賽中又很難在籃下找到合適的打板點(diǎn)．欣賞過(guò)NBA騎士隊(duì)巨星凱里·歐文的比賽后，種種困惑就迎刃而解，他經(jīng)常能在嚴(yán)密的貼身防守下，不可思議地完成籃球側(cè)旋打板進(jìn)筐，突破了人們對(duì)投籃打板點(diǎn)選擇的常規(guī)性認(rèn)識(shí)，改變了人們對(duì)籃下進(jìn)球的慣性思維，使“意想不到”成為籃球運(yùn)動(dòng)出奇制勝的“法寶”．凱里·歐文精湛的技藝引得無(wú)數(shù)球迷爭(zhēng)相模仿，若要在籃球比賽中完成凱里·歐文式的動(dòng)作應(yīng)該把握好哪些要素？這些因素又是如何影響籃球命中率的呢？我們是否能像凱里·歐文一樣完成側(cè)旋打板進(jìn)筐的精彩動(dòng)作呢？

2 側(cè)旋轉(zhuǎn)球的引入

通過(guò)反復(fù)觀看凱里·歐文的多場(chǎng)籃球比賽視頻，發(fā)現(xiàn)籃球出手后的側(cè)旋轉(zhuǎn)角速度、平動(dòng)速度、打板的方向和角度、打板點(diǎn)的位置等因素直接影響到能否進(jìn)球．凱里·歐文的籃下側(cè)旋轉(zhuǎn)打板上籃，籃球出手時(shí)運(yùn)動(dòng)的方向與籃板面的豎直夾角很小，基本上是豎直向上，籃球的側(cè)旋轉(zhuǎn)程度越高，其反彈后改變?nèi)肟鸾嵌仍酱?，在看似不可能打板進(jìn)筐的“死”角位置也能進(jìn)球，達(dá)到了投籃“出其不意”的命中效果．籃球左旋在高、中、低三個(gè)不同位置打板示意圖，如圖1所示．

圖1 籃球左旋在高中低三個(gè)不同位置打板

3 動(dòng)力學(xué)分析

3.1 打板時(shí)的受力分析

(1)籃板作用在籃球上的摩擦力f．假設(shè)籃球出手時(shí)沿著豎直方向(Z軸)向左旋轉(zhuǎn)(從上方向下看為順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，圖2)，籃球具有初始角速度ω1，平動(dòng)初速度v1，由于籃球打板向左旋轉(zhuǎn)，籃板給藍(lán)球一個(gè)與側(cè)旋方向相反的摩擦力(圖2)，方向沿著X軸正向，籃球質(zhì)心在摩擦力的驅(qū)動(dòng)下獲得了與側(cè)旋方向相反的瞬間加速度，籃球彈離籃板后獲得了一個(gè)向左的速度v10x(與X軸同向)，此速度應(yīng)小于或等于ωr(ω為籃球側(cè)旋轉(zhuǎn)角速度，r為籃球半徑)，同時(shí)在摩擦力矩的阻礙下，籃球側(cè)旋轉(zhuǎn)的角速度(ω10)減?。硎緸?/p>

v10x<ω1r

(1)

圖2 打板后受力分析

(2)N為籃球打板時(shí)籃板作用在籃球上的彈力，垂直于籃板，方向沿Y軸正向．

(3)G是籃球受到的重力mg．

3.2 進(jìn)筐過(guò)程中的受力分析

籃球左旋打板后在摩擦力f作用下，反彈方向向左偏移，v10是籃球打板后的速度，偏移角度θ即入籃角度，是速度v10在XY平面上的分速度v10xy與Y軸的夾角；v10與Z軸的夾角為反彈角α′(本文暫不計(jì)算)，如圖3所示．

圖3 打板后籃球的入籃角度

(2)Magnus(馬格努斯)力．根據(jù)伯努利定律，如果側(cè)旋運(yùn)動(dòng)的籃球在繞著豎直方向以順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，如圖4所示，兩側(cè)的壓力差使籃球球體受到Magnus (馬格努斯)力的作用，力的方向指向空氣流速度較大的一側(cè)，并始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直．

圖4 馬格努斯效應(yīng)

(3)籃球受到的重力mg．

3.3 對(duì)Magnus力的作用分析

為了檢驗(yàn)Magnus力，在籃球場(chǎng)進(jìn)行了多次側(cè)旋轉(zhuǎn)上籃測(cè)試，籃板最高處距離地面3.9 m，假設(shè)投球者身高1.75 m，出手打板的高度1.9 m，籃球空中行進(jìn)的距離在2 m以內(nèi)．投球者站在籃下(籃板右側(cè)的正下方)，使籃球順時(shí)針向左側(cè)旋轉(zhuǎn)，同時(shí)向上投出打板，經(jīng)反復(fù)多次測(cè)試發(fā)現(xiàn)，籃球打板前的運(yùn)動(dòng)軌跡幾乎是直線運(yùn)動(dòng)(近似于豎直向上)，肉眼較難觀察出運(yùn)動(dòng)軌跡的彎曲．打板后可以明顯看到籃球向左偏向，運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線(圖1)．打板過(guò)程中籃球沿Y軸方向行進(jìn)的距離短(約0.3 m)、分速度較小，且Magnus力的方向沿X軸反方向，與籃球打板后改變的方向相反．籃球彈離籃板后，沿著與Y軸夾角θ方向運(yùn)動(dòng)(圖3)，這時(shí)該力與v10方向垂直，指向籃板．可以得知，該力在短距離內(nèi)改變籃球運(yùn)動(dòng)軌跡的作用不大，可以忽略．

4 籃球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

以籃球的打板點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系(圖5和圖6) ，其中OZ軸豎直向上，OX軸方向指向籃筐，OY軸垂直于籃板指向讀者方向．側(cè)旋球打板反彈后的飛行軌跡是一條曲線．

籃球打板后的速度為v10，此速度在XY平面上分速度為v10xy，沿X，Y，Z方向的分速度分別為v10x，v10y，v10z(圖5)．

圖5 速度合成矢量圖

假設(shè)球初始繞OZ軸旋轉(zhuǎn)，忽略空氣阻力矩，籃球打板后的運(yùn)動(dòng)微分方程可簡(jiǎn)化為

豎直方向

(2)

水平方向

(3)

對(duì)式(2)作變形，有

積分

再積分得

其中c1，c2為積分常數(shù)，設(shè)t=0時(shí)，z=0,v=v10z，c1相當(dāng)于籃球在Z軸方向的分速度v10z，c2=0．

(4)

對(duì)式(3)積分

(5)

將t=0,v=v10xy代入式(5)中，得

(6)

考慮到kv10xy與m相比較小，可忽略空氣阻力不計(jì)，得v=v10xy．

Magnus力忽略不計(jì)，θ為入籃角度(圖3)．籃球打板后在水平方向內(nèi)的位移

(7)

(8)

式(7)、(8)平方后相加得

x2+y2=v10xy2t2

(9)

為了便于研究，把籃板分成6份(圖6).

圖6 籃板尺寸、打板點(diǎn)位置及坐標(biāo)

正對(duì)籃板右側(cè)的兩份中找出6個(gè)非常規(guī)打板點(diǎn)(圖6上1，2，3，4，5，6點(diǎn))，籃球從這6個(gè)打板點(diǎn)的某一點(diǎn)打板反彈后落入籃筐，入筐時(shí)質(zhì)心與籃筐的圓心重合(即空心入籃)，籃筐的坐標(biāo)點(diǎn)在籃筐圓心．假設(shè)，籃球的質(zhì)心在球心，當(dāng)籃球打在籃板上時(shí)，籃球質(zhì)心的Y坐標(biāo)為0.121 3 m，根據(jù)觀察凱里·歐文籃下側(cè)旋打板投籃的視頻，用秒表多次計(jì)時(shí)估算出低、中、高6個(gè)打板點(diǎn)從打板到進(jìn)筐時(shí)間t的平均值分別為0.30 s，0.35 s，0.40 s．本文暫不分析籃球打板后與籃圈發(fā)生碰撞的進(jìn)筐情況．

圖6中1，2，3，4，5，6點(diǎn)為選定點(diǎn)，x，y，z的值是已知的，這6點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，籃球運(yùn)動(dòng)的x，y，z數(shù)值已知．籃球的半徑按照男子成年籃球7號(hào)球的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)為0.121 3 m，計(jì)算中取3位小數(shù)為0.121，數(shù)值Y=0.150+0.225-0.121=0.254 m．將上述數(shù)據(jù)代入式(9)，計(jì)算出籃球順時(shí)針側(cè)旋轉(zhuǎn)(從球的上方向下看)時(shí)水平方向的分速度v10xy的值．

將計(jì)算出的v10xy值，與已知的t，x或y值代入到式(7)或式(8)中計(jì)算出θ．將z，t，g(9.8)的值代入(4)中求出v10z．由v10xy，v10z求出v10．

前面式(1)中，r取值為0.121 m，算出ω1的最小值如表1所示.

表1 計(jì)算數(shù)據(jù)

水平距離接近籃筐的1，3，5的3個(gè)點(diǎn)的角速度值相對(duì)較小，5點(diǎn)的值最小，不少于8.17 r/s，即籃球側(cè)旋轉(zhuǎn)468.30°/s，相當(dāng)于籃球最少旋轉(zhuǎn)1.3 r/s；水平距離相對(duì)遠(yuǎn)離籃筐的2，4，6這3個(gè)點(diǎn)的角速度值相對(duì)較大，2點(diǎn)的值最大，不小于22.04 r/s，即籃球側(cè)旋轉(zhuǎn)1 263.33°/s，相當(dāng)于籃球最少旋轉(zhuǎn)3.5 r/s．

為了印證數(shù)據(jù)的合理性，筆者在籃球上面用紅色的紙條做個(gè)標(biāo)記，用透明膠帶粘牢，模擬籃下旋轉(zhuǎn)投籃動(dòng)作，盡自己最大力量將籃球順時(shí)針側(cè)旋，并向正上方拋出(高度2 m左右)，同時(shí)用手機(jī)記錄下視頻．在電腦上用視頻軟件慢速播放，可以看清紅色標(biāo)記轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)，記下所需時(shí)間，計(jì)算后的數(shù)值約為5.6 r/s，作為有一定基礎(chǔ)的籃球愛好者來(lái)說(shuō)這個(gè)轉(zhuǎn)速基本上接近極限．實(shí)際測(cè)試的側(cè)旋轉(zhuǎn)角速度數(shù)值與上面推算的角速度取值范圍基本一致，計(jì)算出的籃球打板反彈后的速度v10值與凱里·歐文籃球視頻中的演示情況也基本相符，作為一名普通籃球愛好者在實(shí)戰(zhàn)中完全能做到，可行性較強(qiáng)．

5 結(jié)論

本文通過(guò)構(gòu)建理想化模型，采用逆推的方法，對(duì)

籃下側(cè)旋打板投籃進(jìn)行了定量分析，研究后得知，籃下打板投籃時(shí)，籃球以一定的角速度側(cè)向旋轉(zhuǎn)，籃球受到籃板施加的摩擦力(方向與球觸籃板的側(cè)旋方向相反)作用下，反彈方向發(fā)生偏移，使籃球按照理想方向進(jìn)入籃筐，增大了籃下打板區(qū)域的選擇和投籃的命中率．一般情況下，在籃筐的右側(cè)(面對(duì)籃板)投籃，球應(yīng)按豎直方向左旋(從上向下看順時(shí)針?lè)较?；在籃筐的左側(cè)投籃，球應(yīng)按豎直方向右旋；投籃時(shí)打板點(diǎn)離籃筐水平距離越遠(yuǎn)，要求籃球旋轉(zhuǎn)的角速度越大．而在現(xiàn)實(shí)中籃下側(cè)旋打板投籃，籃球與籃筐碰撞后進(jìn)筐等非理想化情況是占多數(shù)，打板點(diǎn)位置也幾乎無(wú)禁區(qū)，因此，表1中籃球的角速度、速度等數(shù)據(jù)的選擇也不是唯一的，允許有一定的取值范圍，作為一名普通籃球愛好者通過(guò)平時(shí)的訓(xùn)練是完全可以掌握的，進(jìn)而為探索打板投籃訓(xùn)練、提高投籃命中率提供了一定的理論指導(dǎo)．通過(guò)本文的探究，令廣大球迷羨慕的凱里·歐文式打板投籃不再是高不可及的神奇“法寶”．

參 考 文 獻(xiàn)

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3 葛隆祺，葉衛(wèi)軍． 足球旋轉(zhuǎn)球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．物理通報(bào)，1999，18(2):7～8

4 王成軍，鄭 旗. 籃球的旋轉(zhuǎn)對(duì)提高投籃命中率的力學(xué)分析體育研究與教育，2012(4)：100～104

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