繩、桿牽連模型中的加速度關(guān)系剖析

李志強(qiáng)

(濟(jì)寧市任城區(qū)教育體育局教研中心 山東 濟(jì)寧 272000)

繩、桿牽連模型是高中物理中常見(jiàn)力學(xué)模型，也是高考、自主招生和物理競(jìng)賽的熱點(diǎn)．解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，是要搞清用繩或桿相連的兩物體的運(yùn)動(dòng)關(guān)系．高中物理中一般地只涉及到兩物體的速度關(guān)系，對(duì)此人們已總結(jié)出了一些可行的方法．一種簡(jiǎn)單且易接受的方法是，利用繩或桿不可伸縮的特點(diǎn)，根據(jù)兩物體在繩或桿長(zhǎng)方向的速度分量相等，建立起兩物體間的速度關(guān)系．但加速度關(guān)系就不是那么簡(jiǎn)單了．這里就此問(wèn)題略作探討，希望對(duì)讀者能有所幫助．

下面用一個(gè)實(shí)例來(lái)具體說(shuō)明.

如圖1所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻直桿兩端固定著兩個(gè)小球A和B，A球在豎直墻壁上運(yùn)動(dòng)，B球在水平地面上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)桿與豎直墻壁的夾角為α，B球向右的速度為vB時(shí)，A球的速度和加速度分別為多少？

圖1 題圖

解析：如圖2所示，B球速度沿桿長(zhǎng)方向的分量為

vA=vBtanα

圖2 A球、B球速度分解

假如B球有向右的加速度aB，那么A球的加速度為多少呢？

不少人認(rèn)為：因繩、桿不可伸長(zhǎng)，當(dāng)其受到彈力作用時(shí)，繩和桿上各點(diǎn)的加速度在繩和桿方向上的投影相等．故常常這樣得出A球的加速度.

將B球的加速度沿桿方向投影，則

設(shè)A球的實(shí)際加速度為aA，其方向豎直向下，將它沿桿方向投影，則有

考慮到沿桿方向的加速度大小相等，所以

aBcos(90°-α)=aAcosα

解得

aA=aBtanα

其實(shí)上述兩球的加速度關(guān)系是錯(cuò)誤的．正確的分析思路如下.

以B球?yàn)閰⒖枷?，桿做逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，A球的速度是B球的速度vB與A球隨桿轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和，如圖3所示．由矢量關(guān)系得到

圖3 以B球?yàn)閰⒖枷?/p>

A球的運(yùn)動(dòng)可以看作是B球平動(dòng)與繞B球逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)．B球有向右運(yùn)動(dòng)的加速度aB，它沿桿長(zhǎng)方向的加速度分量

那么A球也具有這個(gè)加速度分量

另外由于轉(zhuǎn)動(dòng)，A球還有沿桿的加速度分量

A球?qū)嶋H加速度aA豎直向下，所以有

通過(guò)討論我們認(rèn)為：繩、桿牽連模型中的加速度關(guān)系超出了高中物理課本的知識(shí)范圍(但不超出高中學(xué)生的智力范圍，不超出高中物理競(jìng)賽要求的能力范圍)，一般地不要求學(xué)生掌握．但作為教師應(yīng)正確理解繩、桿牽連模型中的加速度關(guān)系，以免“以其昏昏，使人昭昭”，把錯(cuò)誤傳給學(xué)生，謬論流傳，誤人子弟．

參 考 文 獻(xiàn)

1 舒幼生.物理學(xué)難題集萃(增訂本).北京：高等教育出版社，1999.1 108～1 111

2 周衍柏.理論力學(xué)教程(第2版).北京：高等教育出版社，1986

3 王春勝.繩桿兩端物體速度的幾種處理方法.物理通報(bào)，2015(4)：56～57