月球天梯系統(tǒng)模型建立和太空艙運動的能耗計算★

宋海藍(lán)， 蔣婷婷， 周 莉， 陳佳豪， 田忠健

（重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 重慶 400044）

引言

1895年，俄羅斯科學(xué)家首次提出太空電梯的概念：使用一根繩子連接地球和航天器，人們乘坐太空電梯沿繩子上下穿梭。在引力和向心加速度的相互作用下，繩子被繃緊，太空梯將利用太陽能或激光能沿繩子上下運動[1]。1991年人類便發(fā)明了可以使太空梯這一夢想成為可能的纜繩材料——碳納米管。碳納米管材料的密度只有鋼鐵材料的1/6到1/7，其拉伸強(qiáng)度卻是同單位質(zhì)量上鋼鐵材料抗拉強(qiáng)度的200～300倍。碳納米管長徑比可達(dá)1 000∶1以上，是一種即使做成長達(dá)幾十萬公里的繩子都不會被自身重量拉斷的神奇材料。2003年，美國企業(yè)家邁克爾·萊恩成立了LiftPort公司，該公司投入巨資研究的地球天梯計劃受到了美國宇航局的高度重視。2007年，因該計劃中纜繩的制造成本過高而導(dǎo)致該公司陷入財政危機(jī)。2010年8月12日，在美國華盛頓召開的“國際天梯大會”上，邁克爾·萊恩表示由于月球引力僅是地球引力的1/6，如果把天梯工作重心轉(zhuǎn)向月球天梯，纜繩強(qiáng)度的要求可以得到大大的降低，可實現(xiàn)性強(qiáng)。近年來，各國對進(jìn)行月球探索的研究工作開展得如火如荼，月球天梯的建造自然吸引了各國的關(guān)注，我國清華大學(xué)的魏飛教授就致力于天梯材料碳納米管的研究，其團(tuán)隊成功制備出長達(dá)半米以上的碳納米管更是打破了當(dāng)時的世界紀(jì)錄[2]。但是目前中國國內(nèi)對于月球天梯研究的公開文獻(xiàn)少之又少，對于太空艙的運動方式和天梯的供能形式更是一筆帶過。

1 月球天梯系統(tǒng)模型的建立

目前地球天梯的設(shè)想模型為：將特殊材料制作的纜繩一端固定在地球表面上，另一端連接地球同步軌道上的太空站，在萬有引力和系統(tǒng)繞地球轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的離心加速度的作用下纜繩因張力而繃緊，太空電梯可利用太陽能沿纜繩穿梭于氣球與太空之間[3-4]。根據(jù)同步軌道和受力平衡兩個關(guān)鍵點，將月球天梯系統(tǒng)中的太空站建在地月連線上的引力平衡點（即地月之間地球?qū)μ照镜囊Φ扔谠虑驅(qū)μ照疽c），太空站一端和月球赤道上的基站連接，一端和靠近地球的平衡錘連接，通過平衡錘在引力和向心加速度的作用下使纜繩繃緊，從而達(dá)到太空站和平衡錘繞月球同步運轉(zhuǎn)的目的。通過以上分析建立的無太空艙運行時的月球天梯系統(tǒng)模型圖如1所示。

圖1 月球天梯系統(tǒng)模型圖（無太空艙時）

在該模型中，對平衡錘進(jìn)行受力分析，則

對太空站進(jìn)行受力分析，則

式中：F1為軌道段纜繩的拉，F(xiàn)2為非軌道段纜繩的拉力，F(xiàn)a為平衡錘所受萬有引力合力；mp為平衡錘的質(zhì)量，mz為太空站的質(zhì)量；r月為月球半徑，T為月球自轉(zhuǎn)周期，s為太空站距基站的距離，r為平衡錘距基站的距離。

當(dāng)太空艙在軌道上運行時，當(dāng)其處于上升加速度階段和下降減速階段時對它進(jìn)行受力分析，可知太空艙所受的合力向上（取力的方向為沿軌道段指向太空艙為向上）。根據(jù)牛頓第三定律可知此時軌道段會受到一個太空艙對它產(chǎn)生向下的拉力。為了避免太空艙運行過程中產(chǎn)生的對軌道向下的拉力改變太空站的位置甚至將太空站拉下來，故在太空站連接基站這一端對軌道段纜繩設(shè)有動力裝置，其目的是抗衡太空艙運行過程中對軌道產(chǎn)生的向下拉力，保證月球天梯系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此動力裝置可采用電機(jī)加帶傳動結(jié)構(gòu)，繪制出的原理圖如圖2所示。

圖2 動力裝置原理圖

圖2中主動輪軸由電機(jī)帶動，帶傳動中的帶以一定的初拉力F0緊套在兩個帶輪上，張緊輪壓在帶的松邊內(nèi)側(cè)并靠近大帶輪[5]。張緊輪與軌道收縮裝置實際為剛性連接的整體，在此稱為張緊裝置。當(dāng)太空艙對軌道產(chǎn)生向下的拉力時，位于軌道收縮裝置上傳感器感知軌道繩索上的拉力大小，自動控制軌道收縮裝置將軌道收縮相應(yīng)長度。在軌道被收縮時，帶的松邊被進(jìn)一步張緊而發(fā)生彈性變形，此時對張緊輪和軌道收縮固連成的一個整體受力分析如圖3所示。

圖3 張緊裝置受力分析圖

由圖3可知：

其中：F1為帶松邊拉力，F(xiàn)2為軌道所受拉力，角度θ為松邊張緊后形成角的1/2。通過（3）式可知該裝置可以通過自動調(diào)節(jié)軌道的長度來改變角度θ的大小，從而達(dá)到自動平衡太空艙運行過程中對軌道產(chǎn)生的向下拉力保證月球天梯系統(tǒng)的穩(wěn)定性的要求。

2 太空艙的運動方式

在物體運動的起點和終點，速度沒有突變，則不存在剛性沖擊；加速度沒有突變，則不存在柔性沖擊。剛性沖擊只適用于低速場合，柔性沖擊存在的運動只能夠適用于中速場合，而在高速場合則應(yīng)盡量避免柔性沖擊和剛性沖擊[6]。根據(jù)地月平衡點上地球?qū)μ照镜娜f有引力等于月球?qū)μ照镜娜f有引力，得太空站距基站的距離s=3.668 1×107m?？紤]到太空旅游中的乘坐時間的舒適性問題，選擇太空艙運行兩天左右到達(dá)太空站，根據(jù)公式（4）：

計算出太空艙運動的平均速度為215 m/s，此平均速度為高速運動，則太空艙的運動方式應(yīng)該選擇無剛性沖擊和柔性沖擊的運動。為使非勻速階段 加速度連續(xù)且無突變，這里選擇加速度方式為二次多項式，建立出模型如下：

加速度表示為：

速度表示為：

因為太空艙在軌道上運行時，在上升加速度階段和下降減速階段會對繩子產(chǎn)生向下的拉力（主要由慣性力導(dǎo)致），為了減小這個拉力則應(yīng)減小加速度的大小，故選擇加速度小但加速時間長的運動方式；太空艙運行時在上升減速階段和下降加速階段不用考慮對繩子產(chǎn)生的拉力，故選擇加速度大但加速時間短的運動方式，考慮到這兩個因素并結(jié)合（5）（6）兩式便可得到太空艙運動方程。

為了初步計算出太空艙運動過程中的能耗，暫定太空艙運動過程中的加速度大小和加速時間如下：當(dāng)太空艙處于上升加速階段和下降減速階段時，結(jié)合目前高鐵的運動方式，選擇加速度為0.5 m/s2左右，加速時間為10 min，及t1=600 s；當(dāng)太空艙處于上升減速階段和下降加速階段時選擇加速度為5 m/s2左右，加速時間為1 min，及t3=60 s。建立相應(yīng)的等式，便可以求得每個階段的m、n和c的值，得到太空艙的具體運動方式，見下頁表1，其中t2=170 279 s。

3 太空艙的能耗計算

太空艙位于上升加速階段時，對太空艙進(jìn)行受力分析，得到此階段的牽引力為：

式（7）中：Fy為月球?qū)μ张摰娜f有引力，F(xiàn)d為地球?qū)μ张摰娜f有引力，F(xiàn)g為加速度產(chǎn)生的慣性力，F(xiàn)x為圓周運動產(chǎn)生的向心力。各力的計算公式如（8）式。

表1 太空艙運動方式參數(shù)表

功率表示為：

式中：G為萬有引力常數(shù)，取6.672 59×10-11N·m2/kg2；m月是月球質(zhì)量，取 7.349×1022kg；m地為地球質(zhì)量，取5.96×1022kg；mc為太空艙質(zhì)量，取100000 kg；L為地月球心間的距離，384 400 km；r月為月球半徑，1 738.3 km；x為太空艙距基站的距離；T為月球自轉(zhuǎn)周期，2 360 448 s。根據(jù)公式（8）（9）繪制出該階段牽引力和功率圖如圖4所示。

圖4 上升加速階段牽引力和功率曲線

太空艙位于上升勻速階段時，此階段牽引力為：

式中：s1是上升加速階段走的位移，為64500 m。根據(jù)式（8）（10）（11）繪制出該階段牽引力和功率曲線，如圖5所示。

太空艙位于上升減速階段時，此階段牽引力為：

式中：s2是上升勻速階段走的位移，36 610 050 m。根據(jù)式（8）（12）（13）繪制得到該階段牽引力和功率曲線，如圖6所示。

圖5 上升勻速階段牽引力和功率曲線

圖6 上升減速階段牽引力和功率曲線

太空艙下降階段的運動形式和上升階段相似，采用相同分析方法得到太空艙運動過程中不同階段的最大牽引力、最大功率和能耗值如表2所示。

表2 太空艙運動情況表

根據(jù)表2，得到最終總能耗kW·h。

4 太空艙供能方式的選擇

能源是太空艙正常運行的重要保障，在月球天梯系統(tǒng)中，供能方式的選擇有著舉足輕重的地位。目前主要的空間能源供應(yīng)方式有太陽能供能、激光束供能、化學(xué)燃料供能、核燃料供能等[8]。其中：核燃料電池由于系統(tǒng)設(shè)備復(fù)雜和核裂變技術(shù)不好控制而被采用得較少；激光束供能為非接觸供能，但整個運行過程中需要控制非常精準(zhǔn)的聚焦，技術(shù)難度大；化學(xué)燃料供能由于體積大、質(zhì)量重，其攜帶具有一定的限制，但為目前最為成熟的技術(shù)；太陽能電池供電在飛行器和航天器中被采用得比較多，一般設(shè)計為空間可展開的太陽能帆板結(jié)構(gòu)。該技術(shù)目前處于研發(fā)初期，其產(chǎn)生的推力比較小，適合于質(zhì)量輕一些的小型衛(wèi)星或者無人航天器供能。

考慮到太空艙運動過程中需要的最大推力Fmax=5.375×105N，從短期上來看，只有傳統(tǒng)的化學(xué)燃料供能方式才能提供足夠的推力。結(jié)合現(xiàn)有的條件，國內(nèi)能研發(fā)并生產(chǎn)推力為50 t的液氫液氧發(fā)動機(jī)、推力為120 t的新型煤油液氧發(fā)動機(jī)[9]，此后開發(fā)出滿足太空艙運動需求的化學(xué)燃料發(fā)動機(jī)是具有極大可行性的。但是從長遠(yuǎn)來看，太陽能帆供能作為一項不需要攜帶過重燃料的技術(shù)，具有功率大、壽命長、質(zhì)量小、結(jié)構(gòu)簡單、性能可靠等一系列優(yōu)點，在航天中的研究和設(shè)計一直受到各國的重視。目前，太陽帆推進(jìn)技術(shù)已在地球的真空室內(nèi)取得實驗成功，隨著太陽能帆板在各種航天器包括空間站、衛(wèi)星、載人飛船上的應(yīng)用與發(fā)展，如果未來能夠克服其產(chǎn)生的推力小的弊端，則在太陽系內(nèi)的星際間旅行人類將可能主要利用太陽能供能。在此假設(shè)下，下面也對太陽能帆的面積進(jìn)行了簡單的計算。

太陽光照通量I的表達(dá)式如下[10]：

其中：I*為1 AU處太陽帆單位面積受到太陽輻射的能量，成為太陽常數(shù)，數(shù)值取1 367 W/m2；r為星日距離，AU，這里取1（地月距離為36～40萬公里，相對于地日距離1.5億公里在此忽略不計）。

設(shè)太空艙太陽能帆板面積為S，能量轉(zhuǎn)化效率為γ（根據(jù)目前技術(shù)，取20%），那么太陽能帆板能夠為航天器提供的最大功率P0為：

已知太空艙運行過程中的最大功率Pmax=7.629×107W，則

結(jié)合式（14）（15）（16），計算得到所需太陽能帆板的面積為

5 結(jié)論

1）在月球天梯系統(tǒng)模型中，當(dāng)太空艙在軌道上運行時軌道的受力是隨時變化的。當(dāng)太空艙處于上升加速階段和下降減速階段時，軌道的受力向下，在該力作用下容易導(dǎo)致太空站的位置發(fā)生改變，于是需要設(shè)立一個動力裝置保持月球系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文提出的動力裝置的基本原理采用帶傳動，因為需要平衡的力比較大，故該裝置中帶的材料采用和軌道一樣的碳納米管。

2）考慮到乘客乘坐時間的舒適性問題，太空艙在軌道上需要高速運行，故太空艙的運動需要無剛性沖擊和柔性沖擊。本文提出了一種加速度二項式運動方式，該方式中的加速度大小和加速時間可以結(jié)合實際情況選取，其限制條件主要是考慮乘坐的舒適性問題和軌道的受力情況。

3）尋找供能方式中本文發(fā)現(xiàn)需要解決的最大問題就是推力問題，本文中太空艙運動過程中需要的最大推力Fmax=5.375×105N，目前能穩(wěn)定達(dá)到要求的只有傳統(tǒng)的化學(xué)燃料供能方式。未來空間供能技術(shù)中太陽帆供能因其具有功率大、壽命長、質(zhì)量小、可實現(xiàn)性強(qiáng)等特點，目前成為太空供能系統(tǒng)研究的主要發(fā)展對象。一旦克服其目前產(chǎn)生的推力小的弊端，則未來會迅速成為太陽系內(nèi)星際旅游的主要供能方式。

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