基于事故鏈和Markov過程時滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

孟德強

(國網(wǎng)冀北電力有限公司，北京 100052)

0 引言

隨著時滯的存在使電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析和控制變得愈加復(fù)雜，已成為系統(tǒng)不穩(wěn)定及性能變差的根源[1-3]。因此，對時滯穩(wěn)定性的研究需要更進(jìn)一步。

目前已有一些理論成果，主要分為兩大類：

(1) 頻域法。文獻(xiàn)[4-7]基于Rekasius變換來求解系統(tǒng)時滯穩(wěn)定上限。文獻(xiàn)[8]通過復(fù)頻域系統(tǒng)求解電力系統(tǒng)時滯的穩(wěn)定性。具體方法是將系統(tǒng)特征根方程轉(zhuǎn)為多項式求解復(fù)頻域虛軸上的解，忽略實數(shù)的值。

(2) 時域法。文獻(xiàn)[9-11]分別將Finsler引理、Park不等式、Moon不等式和Fridman廣義模型變換方法與李雅伏諾夫穩(wěn)定性分析理論相結(jié)合，求解系統(tǒng)時滯。文獻(xiàn)[12]在文獻(xiàn)[9-11]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析得出保守性更小的解，并拓展得到時域上更穩(wěn)定的解法。

目前隨著電網(wǎng)的規(guī)模不斷擴大，容量不斷增加，系統(tǒng)的復(fù)雜性也隨著增強，所以當(dāng)某一地區(qū)放生故障時，有可能導(dǎo)致連環(huán)故障。在這種情況下，電網(wǎng)時滯穩(wěn)定性研究更加重要。因此，本文提出了基于事故鏈和馬爾科夫動態(tài)過程的時滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法。這種方法能夠在事故鏈方程的基礎(chǔ)上求解時滯穩(wěn)定的上限，還能在物理意義上對電力系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定性進(jìn)行分析，從而能更好地解決系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。并且，本文根據(jù)這一算法給出了仿真驗證。

1 事故鏈的基本理論

事故鏈理論認(rèn)為區(qū)域事故一般由一條事故鏈引發(fā)其他事故鏈造，一條事故鏈可以表述為：

Lj={Lj1→Lj2→Lj3→…→Ljn}

(1)

式中：Lj是一條事故鏈；Lji代表Lj的第i個環(huán)節(jié)；n代表中間環(huán)節(jié)的個數(shù)。由電力系統(tǒng)故障分析可知：一條線路故障引發(fā)其他線路的故障，具體過程是：通過某條線路預(yù)測下一條故障線路，觀察其頻率振蕩特性，判斷是否失穩(wěn)。本文主要基于潮流轉(zhuǎn)移生成事故鏈。實際電力系統(tǒng)發(fā)生連鎖故障時，相鄰兩級故障間的時間跨度一般長達(dá)數(shù)分鐘甚至數(shù)十分鐘，其間系統(tǒng)暫態(tài)過程基本結(jié)束[13-14]。

電力系統(tǒng)某條運行線路發(fā)生故障時會被系統(tǒng)中切除，這條線路上的原負(fù)荷會發(fā)生轉(zhuǎn)移，這個過程可能會引起繼電保護設(shè)備誤動作而擴大故障范圍。本文分別采用α、β、γ來表示潮流變化率，過負(fù)荷裕度以及故障線路與預(yù)測線路之間的耦合度，且中間環(huán)節(jié)預(yù)測指標(biāo)用φ來表示，該指標(biāo)決定了事故鏈的下一級的故障線路。

假定系統(tǒng)中線路i發(fā)生了故障，線路i中通過的潮流為Si，則α、β和γ的計算式[15-18]如下：

(2)

(3)

(4)

式(4)中：Si(tf)代表事故前線路i中通過的潮流；Sj(tf)代表事故前線路j中通過的潮流；Sj(tb)代表線路i發(fā)生事故后線路j中通過的潮流；Sjmax代表線路j中允許流過的最大潮流。

中間環(huán)節(jié)預(yù)測指標(biāo)φ的定義為：

(5)

式中：φij的值代表線路i對線路j的影響率，所以式(6)可以計算出由潮流轉(zhuǎn)移引起的狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率：

(6)

通過上述分析可以得出，電力系統(tǒng)某一條線路故障，會引發(fā)其他線路故障，且引發(fā)條件只跟上一級事故鏈有聯(lián)系?；谝陨蠗l件，假設(shè)系統(tǒng)模態(tài)為rt=r(t)，它取值于有限集合S={1,2,…,s}，是齊次Markov過程。對于事故鏈L={L1→L2→L3→…→Ln}，首先將任意環(huán)節(jié)Li(i=1,2,3,…,n)作為隨機Markov過程的模態(tài)ri=r(i)，即系統(tǒng)中線路i發(fā)生故障，再利用式(6)計算出下一級線路故障的轉(zhuǎn)移概率pij，由此可得出Markov轉(zhuǎn)移概率矩陣π，至此，建立了基于事故鏈L的Markov過程[19]，最后算出電力系統(tǒng)最大時滯。算法的具體流程如圖1所示。

圖1 時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析流程圖

2 時滯Markov跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

2.1 時滯Markov電力系統(tǒng)模型

時滯Markov跳變系統(tǒng)的模型可以由下式表示：

(7)

時滯ht滿足條件：

(8)

式中：x(t)∈Rn和z(t)∈Rn分別是系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)和輸出函數(shù)；Ar(t)、Adr(t)、Br(t)、Bdr(t)為適當(dāng)維數(shù)的已知矩陣；ht為系統(tǒng)時滯，rt=r(t)為時滯穩(wěn)定上限；rt=r(t)為時滯的變化率。rt=r(t)為系統(tǒng)模態(tài)，取值于有限集合S={1,2,…,s}，為齊次的馬爾科夫動態(tài)過程，矩陣π為馬爾科夫的轉(zhuǎn)移概率矩陣，其非對角線上的元素值可通過式(7)計算得到，對角線上的元素值為該行非對角線元素之和的相反數(shù)，具體的表達(dá)式為：

(9)

(10)

Ω2=[N+M,L-N, -L-M]

其中：

(11)

其中：

i={1,2，…，N}

本文中*表示相應(yīng)的對稱部分。

2.2 時滯穩(wěn)定上限參數(shù)求解

(12)

(13)

(14)

(15)

mind

s.t.(13) (14)

(16)

以式(13)和式(14)為約束，通過求解式(15)得到最小d，最終，令h=1/d，可以推導(dǎo)求出在連鎖故障情況下，電力系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定上限。

3 算例分析

為驗證本文所提方法的有效性和低保守性，以IEEE16機68節(jié)點的系統(tǒng)為例，采用時域仿真的方法，計算基于事故鏈和Markov過程的時滯電力系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定上限。如圖2發(fā)電機模型采用的是6階模型在仿真計算中，待求解模型動態(tài)方程的具體維數(shù)為10階，通過定理1進(jìn)行時滯穩(wěn)定判斷所需求解的待求變量數(shù)為21個。

圖2 16機68節(jié)點系統(tǒng)圖

線路故障在電力系統(tǒng)故障中占大多數(shù)，并且考慮到區(qū)域間聯(lián)絡(luò)線的重要性，將事故鏈的觸發(fā)環(huán)節(jié)定為聯(lián)絡(luò)線故障。根據(jù)本文第一節(jié)中的指標(biāo)，預(yù)測事故鏈為：

L1={線路1-2 → 線路3-4 → 線路 2-3}

(17)

L2={線路46-49 → 線路32-33→

線路 31-38}

(18)

建立對應(yīng)事故鏈L1和L2的Markov過程，系統(tǒng)模態(tài)rt=r(t)分別取值于有限集Sm={1,2,3},m=1,2，其轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

(19)

(20)

3.1 事故鏈L1

為了使本文所提方法的可行性和有效性得到驗證，利用H2/H∞控制方法設(shè)計了IEEE 16機68節(jié)點系統(tǒng)的阻尼控制器如圖2所示，詳細(xì)參考文獻(xiàn)[19]。將阻尼控制器分3個時段設(shè)置時滯，圖3所示為發(fā)電機8～15與發(fā)電機1～16之間的相對功角差的動態(tài)響應(yīng)曲線。

在事故發(fā)生的最終環(huán)節(jié)，發(fā)電機8～15與發(fā)電機1～16的相對功角差曲線阻尼比分別如表1和表2所示，該阻尼比是利用prony算法[20-21]得到的。

圖3 系統(tǒng)不同時滯下發(fā)電機相對功角動態(tài)響應(yīng)

由表1和表2可知，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生連鎖故障，且時滯達(dá)到82.9 ms時，功角差曲線的阻尼比分別減小到8.49%和9.62%，不滿足控制要求。由此可得，通過結(jié)合事故鏈與馬爾科夫動態(tài)過程來分析故障電力系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定性的方法是切實可行的。也是比較符合實際需求的。

表1 系統(tǒng)G8與G15功角差各時滯時間下的阻尼比

表2 系統(tǒng)G1與G16功角差各時滯時間下的阻尼比

3.2 事故鏈 L2

表3 系統(tǒng)G4與G13功角差各時滯時間下的阻尼比

由圖4分析得出，當(dāng)時滯的大小小于時滯穩(wěn)定上限時，事故鏈的各個環(huán)節(jié)均可以在20 s內(nèi)阻尼區(qū)間振蕩；當(dāng)時滯由0 ms增大到101.4 ms時，阻尼對電力系統(tǒng)頻率振蕩的負(fù)反饋作用降低，曲線發(fā)生擺動，當(dāng)時滯增加至150 ms時，功角曲線擺動幅值增大，說明此時系統(tǒng)已經(jīng)失穩(wěn)。

圖4 系統(tǒng)不同時滯下發(fā)電機相對功角動態(tài)響應(yīng)

由圖4和表3、表4的分析可以得出，結(jié)合分析事故鏈與馬爾科夫動態(tài)過程，合理地反映出故障時電力系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定性，有效地求得系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定上限。在事故鏈L1和事故鏈L2的分析過程中，通過定理1計算16機系統(tǒng)時滯穩(wěn)定上限所用的計算時間分別為11.549 1 s(事故鏈L1)、10.294 6 s(事故鏈L2)。求解時滯穩(wěn)定上限時所用計算平臺的配置為：1) Windows 7 操作系統(tǒng)；2) Intel i5430 M處理器；3)1 GB DDR3內(nèi)存；4)500G硬盤。

表4 系統(tǒng)G7與G14功角差各時滯時間下的阻尼比

3.3 保守性驗證

表5 不同方法所能得到的時滯穩(wěn)定上限

4 結(jié)論

本文提出一種基于事故鏈和Markov過程結(jié)合分析電力系統(tǒng)時滯穩(wěn)定性的方法，得到如下結(jié)論：

(1)基于李雅普諾夫法并結(jié)合事故鏈與馬爾科夫動態(tài)過程，能夠計算得到時滯穩(wěn)定性的上限，并且在一定程度上分析電力系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定性。

(2)如果將轉(zhuǎn)移速率矩陣構(gòu)建的自由權(quán)項引入到目標(biāo)泛函的弱無窮小算子中，則能連續(xù)傳遞Markov過程轉(zhuǎn)移速率矩陣信息。能夠?qū)崟r更新計算時滯穩(wěn)定性的參數(shù)，提高結(jié)果的精確性。

(3)將Newton-Leibniz公式構(gòu)造的自由權(quán)項引入目標(biāo)泛函的弱無窮小算子中，在時域下將時滯分為兩個子區(qū)間，這種運算方法大大降低了保守性。

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