反應擴散方程組不變區(qū)域的應用*

王慶慶

(華北電力大學數(shù)理學院，北京 102206)

1 問題的提出

考慮一般的反應擴散系統(tǒng)

(1)

其中：ε>0；Ω為R中的開區(qū)間；D(x,t)和M(x,t)均為定義在開子集U×V?Rn×Ω上的矩陣值函數(shù)，D≥O；v和f為U×R+到Rn的光滑映射.J Smoller[1]給出了方程組(1)的解的存在性判定性質：

引理1假設B是可容許的巴拿赫空間，v0(x)∈B,若0≤t≤T≤+∞，解的L∞模先驗有界，則方程組(1)的解對于?t(0≤t≤T)存在且v(x,t)∈B.

為了利用引理1判定反應擴散方程的解的整體存在性，引入不變區(qū)域的相關理論[1-3]：

定義1閉集Σ(Σ?Rn)稱為方程組(1)的解v(x,t)的(正)不變區(qū)域，如果v(x,t)的初值和邊界條件均屬于Σ，且對于?(x,t)∈Ω×(0,T]，滿足v(x,t)∈Σ.

J Smoller[1]和K Chueh等[2]指出，不變區(qū)域Σ可由“半空間”的交集組成，即

(2)

其中Gi(v(x,t))為定義在Rn中開集U到R的光滑函數(shù)，且dGi(v(x,t))≠0(i=1,2,…,n).

不變區(qū)域本質上是給出解的L∞模先驗有界，因此尋找方程組的不變區(qū)域對于研究解的整體存在性具有重要意義.

2 主要結果及其證明

引理2假設Σ由(2)式定義，若對于?t∈R+和每一個v0(x)∈?Σ(對i有Gi(v0(x))=0)，以下條件成立：

(ⅰ) 對于?x∈Ω，dGi(v(x,t))在v0處是D(v0(x),x)和M(v0(x),x)的左特征向量；

(ⅱ) 若dGi(v0(x))D(v0(x),x)=μdGi(v0(x))，μ≠0，則Gi(v(x,t))在v0(x)處擬凸；

(ⅲ) 對于?t∈R+，在v0(x)處有dGi(v0(x))·f(v0(x),t)<0.

則對于每一個ε>0，Σ是方程組(1)的不變區(qū)域.

證明見文獻[1].

注1若方程組(1)是f穩(wěn)定的，則引理2的條件(ⅲ)可放寬為：

(ⅳ)對于?t∈R+，在v0(x)處有dGi(v0(x),t)·f(v0(x),t)≤0.

證明取Gi(v(x,t))=vi(x,t)-bi，則dGi(v(x,t))=(0,0,…,1,0,…,0)(第i個分量為1).因為D和M都是對角矩陣，所以dGi(v(x,t))是D和M的左特征向量.存在η(η∈Rn)，如果dGi(v(x,t))·η|vi(x,t)=bi=0，那么ηTd2G(v(x,t))η|vi(x,t)=bi=0，因此Gi(v(x,t))在vi(x,t)=bi處是擬凸的.又因為dGi(v(x,t))·f(v(x,t),t)|vi(x,t)=bi<0，所以Gi(v(x,t))=vi(x,t)-bi≤0，即vi(x,t)≤bi是方程組(1)的不變區(qū)域.再取Gi(v(x,t))=ai-vi(x,t)，同理可證明vi(x,t)≥ai也是方程組(1)的不變區(qū)域.

3 應用實例

例1Tyson模型是Belousov-Zhabotinsky化學反應中的一個典型模型，J J Tyson[4]和徐世英等[5]對其進行了詳細的描述.Tyson模型的數(shù)學表達式為：

(3)

其中：u和v分別為化學反應中催化劑和反應物的濃度；0<ε?1；0

Ut=DUxx+F(U).

(4)

另外，因為D是對角矩陣，M=O,所以可以應用定理1尋找方程組(3)的不變矩形.令Σ={(u,v):0≤u≤a,0≤v≤b}，1

注意到(-1,0)是D的左特征向量，令G(u,v)=-u，則

所以-u=G(u,v)≤0，即u≥0.相似地，令G(u,v)=-v，則

dG(u,v)·F(U)|v=0=-(u-v)|v=0=-u≤0，

所以v≥0.再令G(u,v)=u-a，則

所以u≤a.最后令G(u,v)=v-b，則

dG(u,v)·F(U)|v=b=u-v|v=b=u-b≤a-b<0，

所以v≤b.以上計算表明Σ是(4)式的不變區(qū)域.同理，可以構造出任意大的不變區(qū)域.根據(jù)引理1，只要保證方程組(3)的初值在可容許巴拿赫空間內，帶此初值的Tyson模型對于?t>0就存在整體解.

例2[6-7] 生物學中描述形態(tài)形成的一個反應擴散方程組為：

(5)

其中：a,δ,Y>0；u，v分別為活化劑和抑制劑的濃度.

Ut=DΔU+F(U).

(6)

圖1 反應擴散方程組不變矩形Fig.1 Invariant Rectangle of Reaction-Diffusion System

接下來，利用幾何構造的方法尋找(6)式的不變矩形，如圖1所示.圖1中繪制了向量場F(U)的零集合，“+”和“-”為F(U)中各函數(shù)在其零集合邊上的符號.構造矩形ABCD,其中AB邊和CD邊平行于v軸，AD邊和BC邊平行于u軸，并且滿足

δu-Yv|AD<0，δu-Yv|BC>0，

au-u3-v|AB>0，au-u3-v|CD<0.

若取Σ為矩形ABCD，則在?Σ上F(U)嚴格指向Σ內部，滿足定理1;因此Σ是方程組(5)的不變矩形.同理，可以構造任意大的不變矩形，只要保證方程組(5)的初值在可容許巴拿赫空間內，帶此初值的方程組(5)就存在整體解.

由實例可以看出，尋找反應擴散方程組的不變區(qū)域為研究整體解的存在性提供了條件.另外，在利用比較定理時，不變區(qū)域提供了解的先驗估計，在分析解的漸近行為等方面發(fā)揮著重要的作用.

參考文獻：

[1] SMOLLER JOEL.Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations[M].2nd Ed.New York:Springer,1999：278-280.

[2] CHUEH K N,CONLEY C C,SMOLLER J A.Positively Invariant Regions for Systems of Nonlinear Diffusion Equations[J].Indiana University Mathematics Journal,1977,26(2):373-392.

[3] 葉其孝,李正元.反應擴散方程引論[M].北京:科學出版社,1990：32-36.

[4] TYSON J J.Some Further Studies of Nonlinear Oscillations in Chemical Systems[J].Journal of Chemical Physics,1973,58(9):3 913-3 930.

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[7] ROTHE FRANZ.Global Solutions of Reaction-Diffusion Systems[M].New York:Springer,1984：129-130.